資源簡介

2.5.2　圓的一般方程
學習目標 1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的一般方程及其特點，培養數學抽象的核心素養. 2.會將圓的一般方程化為圓的標準方程，并能熟練地指出圓心的坐標和半徑的大小，提升數學運算的核心素養. 3.能根據某些具體條件求圓的一般方程，會求與圓有關的簡單的軌跡方程問題，提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　圓的一般方程
問題1.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圓的方程，有什么條件？
提示：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得＋＝，當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓.
問題2.當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么圖形？
提示：當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點.
1.圓的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圓的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0 表示一個點
D2＋E2－4F＞0 表示以為圓心，以為半徑的圓
判斷下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標和半徑.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0；
(4)x2＋y2－x＝0；
(5)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0).
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數不相同，故原方程不能表示圓；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy項，故原方程不能表示圓；
(3)因為D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圓；
(4)法一：因為D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，所以方程能表示圓，圓心坐標為，即，半徑r＝＝.
法二：方程x2＋y2－x＝0可化為＋y2＝，它表示以為圓心，為半徑的圓.
(5)因為D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不能表示圓.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圓的2種判斷方法 1.配方法：對形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通過配方變形成標準形式后，觀察是否表示圓. 2.運用圓的一般方程的判斷方法求解，即通過判斷D2＋E2－4F的符號是否為正，確定它是否表示圓.
對點練1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a的值為(　　)
A.1或－2 B.2或－1
C.－1 D.2
答案：C
解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0中二次項系數不一定為1，因此若它表示圓，需要二次項的系數相等且不等于0，轉化為一般式后滿足D2＋E2＋4F＞0.則解得a＝－1.
任務二　求圓的一般方程
(1)△ABC的三個頂點坐標分別為A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圓的方程；
(2)圓C過點P(1，2)和點Q(－2，3)，且圓C在兩坐標軸上截得的弦長相等，求圓C的方程.
解：(1)法一：設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由題意得
故所求的圓的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.
法二：由題意可求得線段AC的垂直平分線的方程為x＝2，線段BC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0.
所以圓心是兩垂直平分線的交點(2，1)，半徑r＝＝5，所以所求的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.
(2)設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因為圓C過點P(1，2)和點Q(－2，3)，
所以
所以圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝0，將y＝0代入得x2＋Dx＋11－7D＝0.
所以圓C在x軸上截得的弦長為｜x1－x2｜＝ .
將x＝0代入得y2＋(3D－8)y＋11－7D＝0，所以圓C在y軸上截得的弦長為｜y1－y2｜＝.
由題意有＝，即D2－4(11－7D)＝(3D－8)2－4(11－7D)，解得D＝4或D＝2.
故所求的圓的方程為x2＋y2＋4x＋4y－17＝0或x2＋y2＋2x－2y－3＝0.
待定系數法求圓的一般方程的步驟 1.根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 2.根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組. 3.解此方程組，求出D，E，F的值. 4.將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程.
對點練2.已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為，求圓C的一般方程.
解：由題意得圓心C，
因為圓心在直線x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半徑r＝＝，所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得
又圓心在第二象限，所以－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0.
所以所以圓C的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
任務三　與圓有關的最值問題
已知實數x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值.
解：原方程表示以點(2，0)為圓心，為半徑的圓，設＝k，即y＝kx，
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±.
故，最小值為－.
[變式探究]
1.在本例條件下，求y－x的最大值和最小值.
解：設y－x＝b，即y＝x＋b，
當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值為－2＋，
最小值為－2－.
2.在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值.
解：x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
與圓有關的最值問題常見的幾種類型 1.形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題； 2.形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋截距的最值問題； 3.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.
任務四　與圓有關的軌跡方程問題
角度1　直接法求軌跡方程
求到兩個定點A，B的距離之比等于2的點的軌跡方程.
解：設M為所求軌跡上一點，則＝2，
所以＝2，即＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
整理可得x2－4x＋y2＝0，即＋y2＝4.
角度2　定義法求軌跡方程
已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點C的軌跡方程.
解：設AB的中點為 D，由中點坐標公式，
得D(1，0).
由直角三角形的性質，知｜CD｜＝｜AB｜＝2.
由圓的定義，知動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長的圓(因為A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).
設C(x，y)，則直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
角度3　代入法求軌跡方程
已知定點Q，動點P在圓x2＋y2＝1上，求線段PQ的中點M的軌跡方程.
解：設P，PQ的中點M的坐標為，
因為Q，所以
又因為點P在圓x2＋y2＝1上，所以＋＝1，
所以＋4y2＝1，
即線段PQ的中點M的軌跡方程為x2＋y2－3x＋2＝0.
求與圓有關的軌跡問題的方法 1.直接法：根據題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明. 2.定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程. 3.代入法：若動點P(x，y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1，y1)而運動，把x1，y1用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中，得點P的軌跡方程.
對點練3.(1)若線段AB的端點分別在x軸、y軸上運動，且｜AB｜＝4，求線段AB中點M的軌跡方程.
(2)(一題多解)已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經過點A(1，2)的弦的中點P的軌跡方程.
解：(1)由題意，設原點為O(0，0)，
則｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圓的定義，M在以O(0，0)為圓心，2為半徑的圓上，
即x2＋y2＝4，即為M的軌跡方程.
(2)法一：設點P的坐標為(x，y).
當AP垂直于x軸，即點P的坐標為(1，0)時符合題意；
當AP垂直于y軸，即點P的坐標為(0，2)時，符合題意；
當點P與點A或點O重合，即點P的坐標為(1，2)或(0，0)時，符合題意；
當x≠0，且x≠1時，根據題意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
因為kAP＝，kOP＝，
所以·＝－1，
即(x－)2＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1).
經檢驗，點(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也適合上式.
即中點P的軌跡方程為(x－)2＋(y－1)2＝.
法二：設點P的坐標為(x，y)，則A，P重合或OP重合或OP⊥AP，總有·＝0，
即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，
亦即(x－)2＋(y－1)2＝.
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一個圓的方程，則實數m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根據題意，得(－1)2＋12－4×(－2m)＞0，
所以m＞－.
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則D，E，F分別為(　　)
A.4，8，－4 B.－4，8，4
C.8，－4，16 D.4，－8，16
答案：B
解析：圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展開得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比較系數知D，E，F分別是－4，8，4.
3.長度為6的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為　　　　　　.
答案：x2＋y2＝9
解析：設M(x，y)，O(0，0)，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3為定值，由圓的定義，故M的軌跡為以O為圓心，3為半徑的圓，故x2＋y2＝9即為所求.
4.求圓心在直線y＝x上，且經過點A(－1，1)，B(3，－1)的圓的一般方程.
解：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則圓心是.
由題意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圓的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
課時測評23　圓的一般方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的標準方程為(　　)
A.(x－2)2＋(y－3)2＝16
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16
D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
答案：C
解析：將x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2.過A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三點的圓的一般方程是(　　)
A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0
C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0
答案：D
解析：設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因為A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三點在圓上，則所以所求圓的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
3.與圓x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圓心，且過點(1，－1)的圓的方程是(　　)
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
答案：B
解析：設所求圓的方程為x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由該圓過點(1，－1)，得m＝8，所以所求圓的方程為x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
4.若a∈，則方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示的圓的個數為(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：B
解析：因為方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圓，
所以(2a)2＋(2a)2－4(a2＋a)＞0，即a2－a＞0，
解得a＜0或a＞1，
所以當a∈時，只有a＝－2時，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圓.故選B.
5.(多選)關于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圓，下列說法正確的是(　　)
A.圓心在直線y＝－x上 B.圓心在直線y＝x上
C.圓過原點 D.圓的半徑為｜a｜
答案：ACD
解析：圓x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化為(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圓心坐標為(－a，a)，適合方程y＝－x，
不適合y＝x，故A正確，B錯誤；把(0，0)代入圓的方程，C正確；又r2＝2a2，r＝｜a｜，故D正確.故選ACD.
6.圓心在x軸上，半徑為3，且過點(1，0)的圓的一般方程為　　　　　　　　.
答案：x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0
解析：設圓的方程為(x－a)2＋y2＝9.
把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2，
所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9，
即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0.
7.設圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是　　　　　　　　.
答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
解析：設M的坐標為(x，y)，
由題意可知圓心A的坐標為(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圓上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是　　　　，半徑是　　　　.
答案：(－2，－4)　5
解析：由題意知a2＝a＋2，則a＝2或a＝－1.
當a＝2時，方程為x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圓；當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圓心坐標是(－2，－4)，半徑是5.
9.(10分)已知一圓過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的一般方程.
解：設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
將P，Q的坐標分別代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③
由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的兩根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　④
聯立①②④解得，
故所求方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
10.(13分)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形MNPQ的底邊長分別為6和4，高為3，O為MN的中點，求這個等腰梯形的外接圓方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑.
解：由等腰梯形MNPQ的底邊長分別為6和4，高為3，知點M，N，P的坐標分別為(－3，0)，(3，0)，(2，3).
設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
將M，N，P三點的坐標代入上述方程，
可得
故所求圓的方程為x2＋y2－y－9＝0.
將圓的一般方程x2＋y2－y－9＝0化為標準方程，得x2＋(y－)2＝，
故所求圓的圓心坐標為(0，)，半徑為.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線為圓，則有(　　)
A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0
B.D2＋E2－4F＞0
C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0
D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
答案：C
解析：由題意A＝C≠0，方程化為x2＋y2＋x＋y＋＝0，則＋－4＞0，即D2＋E2－4AF＞0，故選C.
12.已知圓C：x2＋y2＝4，則圓C關于直線l：x－y－3＝0對稱的圓的方程為(　　)
A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0
B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0
C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0
D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0
答案：A
解析：設圓心C(0，0)關于直線l：x－y－3＝0的對稱點為D(a，b)，則由
所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化為一般方程為x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.故選A.
13.已知點P(7，3)，圓M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，點Q為圓M上一點，點S在x軸上，則｜SP｜＋｜SQ｜的最小值為(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：C
解析：由題意知圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圓心為M(1，5)，半徑為1.如圖所示，作點P(7，3)關于x軸的對稱點P'(7，－3)，
連接MP'，交圓M于點Q，交x軸于點S，此時｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否則，在x軸上另取一點S'，連接S'P，S'P'，S'Q，由于P與P'關于x軸對稱，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜.
故(｜SP｜＋｜SQ｜)min＝｜P'M｜－1＝－1＝9.
14.(15分)已知圓的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圓的圓心與半徑；
(2)求證：不論m為何實數，它們表示圓心在同一條直線上的半徑相等的圓.
解：(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化為[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，所以圓心為(1－m，2m)，半徑r＝3.
(2)證明：由(1)可知，圓的半徑為定值3，且圓心(a，b)滿足方程組即2a＋b＝2.所以不論m為何值，方程表示的是圓心在直線2x＋y－2＝0上，半徑都等于3的圓.
15.(17分)在平面直角坐標系xOy中，長度為2的線段EF的兩端點E，F分別在兩坐標軸上運動.
(1)求線段EF的中點G的軌跡C的方程；
(2)設軌跡C與x軸交于A1，A2兩點，P是軌跡C上異于A1，A2的任意一點，直線PA1交直線l：x＝3于M點，直線PA2交直線l于N點，求證：以MN為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標.
解：(1)設G(x，y)，由中點坐標公式得E(2x，0)，F(0，2y)，所以｜EF｜＝＝2，
整理得x2＋y2＝1，
所以線段EF的中點G的軌跡C的方程為x2＋y2＝1.
(2)證明：由已知設A1(－1，0)，A2(1，0)，
設P(x0，y0)，x0≠±1，＋＝1，
直線PA1的方程為y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，則M，
同理，可求N，MN的中點坐標為，｜MN｜＝＝2，
所以以MN為直徑的圓C的方程為(x－3)2＋＝.
令y＝0，得(x－3)2＝－＋＝＝8.
所以x＝3±2，圓C總過定點，定點坐標為(3＋2，0)或(3－2，0).
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第2章　 2.5 圓的方程
2.5.2　圓的一般方程
學習目標
1. 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的一般方程及其特點，培養數學抽象的核心素養.
2. 會將圓的一般方程化為圓的標準方程，并能熟練地指出圓心的坐標和半徑的大小，提升數學運算的核心素養.
3. 能根據某些具體條件求圓的一般方程，會求與圓有關的簡單的軌跡方程問題，提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　圓的一般方程
問題導思
1.圓的一般方程
方程_____________________________________叫作圓的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
新知構建
條件 圖形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F＞0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
典例1
判斷下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標和半徑.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數不相同，故原方程不能表示圓；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy項，故原方程不能表示圓；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0；
解：因為D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圓；
規律方法
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示
圓的2種判斷方法
1.配方法：對形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通過配方變形成標準形式后，觀察是否表示圓.
2.運用圓的一般方程的判斷方法求解，即通過判斷D2＋E2－4F的符號是否為正，確定它是否表示圓.
對點練1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a的值為
A.1或－2 B.2或－1
C.－1 D.2

√
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任務二　求圓的一般方程
典例2
規律方法
待定系數法求圓的一般方程的步驟
1.根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
2.根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組.
3.解此方程組，求出D，E，F的值.
4.將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程.
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任務三　與圓有關的最值問題
典例3
規律方法

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任務四　與圓有關的軌跡方程問題
典例4
典例5
典例6
規律方法
求與圓有關的軌跡問題的方法
1.直接法：根據題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明.
2.定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程.
3.代入法：若動點P(x，y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1，y1)而運動，把x1，y1用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中，得點P的軌跡方程.
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隨堂評價
√
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則D，E，F分別為
A.4，8，－4 B.－4，8，4
C.8，－4，16 D.4，－8，16
√
圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展開得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比較系數知D，E，F分別是－4，8，4.
3.長度為6的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為___________.
x2＋y2＝9
課時測評
1.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的標準方程為
A.(x－2)2＋(y－3)2＝16
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16
D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
將x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
√
2.過A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三點的圓的一般方程是
A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0
C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0
√
3.與圓x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圓心，且過點(1，－1)的圓的方程是
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
√
設所求圓的方程為x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由該圓過點(1，－1)，得m＝8，所以所求圓的方程為x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
√
√
√
√
6.圓心在x軸上，半徑為3，且過點(1，0)的圓的一般方程為_____________
______________________.
設圓的方程為(x－a)2＋y2＝9.
把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2，
所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9，
即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0.
＝0或x2＋4x＋y2－5＝0
x2－8x＋y2＋7
7.設圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是_______________________.
設M的坐標為(x，y)，
由題意可知圓心A的坐標為(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圓上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是_____________，半徑是_____.
　5
(－2，－4)
11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線為圓，則有
A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0
B.D2＋E2－4F＞0
C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0
D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
√
12.已知圓C：x2＋y2＝4，則圓C關于直線l：x－y－3＝0對稱的圓的方程為
A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0 B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0
C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0 D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0

√
13.已知點P(7，3)，圓M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，點Q為圓M上一點，點S在x軸上，則｜SP｜＋｜SQ｜的最小值為
A.7 B.8
C.9 D.10
√
由題意知圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－5)2＝1，
所以圓心為M(1，5)，半徑為1.如圖所示，作點
P(7，3)關于x軸的對稱點P'(7，－3)，

連接MP'，交圓M于點Q，交x軸于點S，此時｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否則，在x軸上另取一點S'，連接S'P，S'P'，S'Q，由于P與P'關于x軸對稱，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜.
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