資源簡介

第2課時　橢圓方程及其性質的應用
學習目標 1.了解橢圓在實際生活中的應用. 2.進一步掌握橢圓的方程及其性質的應用，會判斷直線與橢圓的位置關系，提升邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養.
應用一　直線與橢圓的位置關系
已知橢圓C：＋y2＝1.
(1)若(，n)在橢圓內，求實數n的取值范圍；
(2)m為何值時，直線y＝x＋m與橢圓C相交、相切、相離？
解：(1)因為(，n)在橢圓內，
所以＋n2＜1，解得－＜n＜.
所以n的取值范圍是.
(2)由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5)＝16(5－m2).
當Δ＝16(5－m2)＞0，即－＜m＜時，直線與橢圓相交；
當Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±時，
直線與橢圓相切；
當Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞或m＜－時，直線與橢圓相離.
直線與橢圓位置關系的判斷方法
對點練1.若直線y＝kx＋1與焦點在x軸上的橢圓＋＝1總有公共點，求m的取值范圍.
解：因為直線y＝kx＋1過定點A(0，1).由題意知，點A在橢圓＋＝1內或橢圓上.
所以＋≤1，所以m≥1.又橢圓焦點在x軸上，所以m＜5，
故m的取值范圍為[1，5).
應用二　直線與橢圓的相交弦問題
已知橢圓＋＝1和點P(4，2)，直線l經過點P且與橢圓交于A，B兩點.
(1)當直線l的斜率為時，求線段AB的長度；
(2)當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程.
解：(1)由已知可得直線l的方程為
y－2＝(x－4)，
即y＝x.由
可得x2－18＝0，若設A(x1，y1)，B(x2，y2).
則x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是｜AB｜＝
＝
＝＝×6＝3，
所以線段AB的長度為3.
(2)法一：易知直線l的斜率存在，不妨設為k，則其方程為y－2＝k(x－4).
聯立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若設A(x1，y1)，B(x2，y2).
則x1＋x2＝，
由于AB的中點恰好為P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且滿足Δ＞0.
這時直線的方程為y－2＝－(x－4).
即y＝－x＋4.
法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有
兩式相減得＋＝0.
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中點，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
于是kAB＝－＝－，
于是直線AB的方程為y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
1.直線與橢圓相交弦長的求法 (1)直接利用兩點間距離公式：當弦的兩端點的坐標易求時，可直接求出交點坐標，再用兩點距離公式求弦長. (2)弦長公式：當弦的兩端點的坐標不易求時，可用弦長公式. 2.解決橢圓中點弦問題的兩種方法 (1)根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決. (2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則 由①－②， 得－)＋－)＝0，變形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
對點練2. 已知橢圓＋＝1的弦AB的中點M的坐標為(2，1)，求直線AB的方程.
解：設點A(x1，y1)，B(x2，y2).
因為M(2，1)為AB的中點，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B兩點在橢圓上，
則＋4＝16，＋4＝16，
兩式相減，得(－)＋4(－)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
經檢驗，所求直線滿足題意.
對點練3.橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓與直線x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且｜PQ｜＝，求橢圓方程.
解：因為e＝，所以b2＝a2，所以橢圓方程為x2＋4y2＝a2.
與x＋2y＋8＝0聯立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0得a2＞32，由弦長公式得10＝×[64－2(64－a2)]，所以a2＝36，b2＝9.所以橢圓方程為＋＝1.
應用三　與橢圓有關的最值(范圍)問題
(1)已知橢圓C：＋x2＝1的離心率為，P為橢圓C上的一個動點，定點A，則的最大值為(　　)
A. B.2
C. D.3
(2)已知F是橢圓＋＝1的左焦點，P是此橢圓上的動點.①若A(1，1)是一定點，則｜PA｜＋｜PF｜的最大值為　　　　；②若M(3，3)是一定點，則｜PM｜＋｜PF｜的最大值為　　　　.
答案：(1)B 　(2)①6＋　②6＋
解析：(1)因為橢圓C：＋x2＝1，所以橢圓的離心率e＝＝＝，又b2＝1，則a2＝2，所以橢圓方程為＋x2＝1.設橢圓上一動點P(x0，y0)，則＝2－2，所以＝＝＝＝，因為－1≤x0≤1，所以當x0＝1時，取最大值2.故選B.
(2)設橢圓的右焦點為F2，①根據橢圓的定義：｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PA｜＋｜PF｜取得最大值時，即｜PA｜－｜PF2｜最大，如圖①所示.｜PA｜＋｜PF｜≤2a＋｜AF2｜＝6＋＝6＋，當P，A，F2共線且F2在A，P之間時取得最大值.所以｜PA｜＋｜PF｜的最大值為6＋﹒
②根據橢圓的定義：｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PM｜＋｜PF｜取得最大值時，即｜PM｜－｜PF2｜最大，如圖②所示.｜PM｜＋｜PF｜≤2a＋｜MF2｜＝6＋＝6＋，當P，M，F2共線且F2在P，M之間時取得最大值.所以｜PM｜＋｜PF｜的最大值為6＋﹒
求與橢圓有關的最值、范圍問題的方法 1.定義法：利用定義轉化為幾何問題處理. 2.數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解. 3.函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍.
對點練4.(1)點P為橢圓＋＝1上任意一點，F1，F2分別為左、右焦點，則·的最大值為(　　)
A.2 B.3
C.4 D.不存在
(2)在橢圓＋＝1上求一點M，使點M到直線x＋2y－10＝0的距離最大時，點M的坐標為　　　　　　.
答案：(1)B　(2)
解析：(1)設P(x，y)，F1(－1，0)，F2(1，0)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋3－x2－1＝x2＋2(－2≤x≤2)，所以當x＝±2時，取到最大值，最大值為3.故選B.
(2)設直線x＋2y＋b＝0與橢圓＋＝1相切，聯立方程得25y2＋16by＋4b2－36＝0①，因為直線與橢圓相切，所以Δ＝(16b)2－4×25(4b2－36)＝0，得b＝±5，結合直線與橢圓的位置關系，當b＝5時，x＋2y＋5＝0與x＋2y－10＝0的距離最大，最大距離為3，把b＝5代入①得，25y2＋80y＋64＝(5y＋8)2＝0，得y＝－，代入x＋2y＋5＝0，得x＝－，所以點M的坐標為(－，－).
1.已知直線l過點(3，－1)，且橢圓C：＋＝1，則直線l與橢圓C的公共點的個數為(　　)
A.1 B.1或2
C.2 D.0
答案：C
解析：因為直線過定點(3，－1)且＋＜1，所以點(3，－1)在橢圓的內部，故直線l與橢圓有2個公共點.
2.直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是　　　　　　　.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又因為直線與橢圓有兩個公共點，
所以Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m＞0，
解得m＞1或m＜0.
又因為m＞0且m≠3，所以m＞1且m≠3.
3.過橢圓＋＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為　　　　.
答案：4，3
解析：過橢圓焦點的最長弦為長軸，其長度為2a＝4；最短弦為垂直于長軸的弦，因為c＝1，將x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的長為2×＝3.
4.已知斜率為2的直線經過橢圓＋＝1的右焦點F2，與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長.
解：因為直線AB過橢圓＋＝1的右焦點F2(1，0)，且斜率為2，
所以直線AB的方程為y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程組
消去y得3x2－5x＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝0.
所以｜AB｜＝
＝
＝
＝＝.
課時測評29　橢圓方程及其性質的應用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.若點A(a，1)在橢圓＋＝1的內部，則a的取值范圍是(　　)
A.－＜a＜ B.a＜－或a＞
C.－2＜a＜2 D.－1＜a＜1
答案：A
解析：由題意知＋＜1.
解得－＜a＜.
2.過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點作傾斜角為的弦AB，則弦AB的長為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：橢圓的左焦點F1(－，0)，kAB＝，故直線AB：y＝(x＋)，由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦長公式得｜AB｜＝＝.
3.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　)
A.3 B.2
C.2 D.4
答案：C
解析：設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0.由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，所以2a＝2.故選C.
4.若直線kx－y＋3＝0與橢圓＋＝1有兩個公共點，則實數k的取值范圍是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
答案：C
解析：由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0.
當Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－時，直線與橢圓有兩個公共點，故選C.
5.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點是M(－4，1)，則橢圓的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：設直線x－y＋5＝0與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直線AB的斜率k＝＝1.
由
得＋＝0，
所以＝－＝1，所以＝，
故橢圓的離心率e＝＝＝.故選C.
6.直線y＝x＋m(m∈R)被橢圓2x2＋y2＝2截得的線段的中點的橫坐標為，則中點的縱坐標為　　　　.
答案：－
解析：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，
設線段的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，
所以－＝，解得m＝－，
由截得的線段的中點在直線y＝x－上，得中點的縱坐標y＝－＝－.
7.橢圓x2＋2y2＝2與直線y＝x＋m交于A，B兩點，且｜AB｜＝，則實數m的值為　　　　.
答案：±1
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝
＝
＝.
解得m2＝1，即m＝±1.
8.已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，則橢圓的離心率為　　　　，若過點F2且垂直于長軸的直線與橢圓交于兩點，其中一點為A，則｜F1A｜＝　　　　.
答案：　
解析：由題意，可得a＝2，b＝，則c＝1，所以橢圓的離心率e＝＝.過點F2且垂直于長軸的直線與橢圓交于點A，所以｜AF2｜＝＝.由橢圓的定義，可知｜F1A｜＝2a－｜AF2｜＝4－＝.
9.(10分)已知橢圓有兩個頂點A(－1，0)，B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C，D兩點，若｜CD｜＝，求直線l的方程.
解：因為橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由已知得b＝1，c＝1，所以a＝.
所以橢圓方程為＋x2＝1.
當直線l垂直于x軸時CD＝2，與題意不符，
故設直線l的方程為y＝kx＋1，聯立橢圓方程，化簡
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝－.
｜CD｜＝·
＝，
由已知得＝，
解得k＝±.
所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.
10.(13分)已知直線l：y＝x－，橢圓C：x2＋4y2＝4.
(1)求證：直線l與橢圓C有兩個交點；
(2)求連接這兩個交點所成線段的長.
解：(1)證明：由
消去y得5x2－4x－3＝0.
所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0，
所以直線l與橢圓C有兩個交點.
(2)設兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2＝，x1·x2＝－，
所以｜AB｜＝
＝·
＝·
＝·
＝.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x＜0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0).如圖所示，設點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為(　　)
A.，1 B.，1
C.5，3 D.5，4
答案：A
解析：由題意知，a2－b2＝c2＝｜OF0｜2＝＝，
b2－c2＝｜OF1｜2＝＝，
所以b2＝c2＋＝＋＝1，b＝1.
所以a2＝b2＋c2＝1＋＝，a＝.
12.(多選)橢圓的方程為＋＝1，斜率為k的直線l不經過原點O，且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則下列結論正確的是(　　)
A.kAB·kOM＝－1
B.若點M坐標為(1，1)，則直線l的方程為2x＋y－3＝0
C.若直線l的方程為y＝x＋1，則點M坐標為(，)
D.若直線l的方程為y＝x＋2，則｜AB｜＝
答案：BD
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.對于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正確；對于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直線l的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正確；對于C，若直線l的方程為y＝x＋1，M(，)，則kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，
所以C不正確；對于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正確.故選BD.
13.橢圓＋＝1(a＞b＞0)短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，若該三角形內切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為　　　　.
答案：
解析：由橢圓＋＝1(a＞b＞0)短軸的一個端點和兩個焦點所構成的三角形面積S＝bc，周長為2a＋2c.由題意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，得a＋c＝5c，所以e＝＝，因此該橢圓的離心率為.
14.(15分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1和F2，離心率e＝，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為4.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設A，B是直線l：x＝2上的不同兩點，若·＝0，求｜AB｜的最小值.
解：(1)由題意，得
解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)由(1)知，F1，F2的坐標分別為F1(－，0)，F2(，0)，設直線l：x＝2上A，B兩點的坐標分別為A(2，y1)，B(2，y2)，
則＝(－3，－y1)，＝(－，－y2).
由·＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－.
不妨設y1＞0，則｜AB｜＝｜y1－y2｜＝y1＋≥2，當y1＝，y2＝－時取等號，所以｜AB｜的最小值是2.
15.(17分)已知點A，B的坐標分別是(－1，0)，(1，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－2.
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)若過點N的直線l交動點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程.
解：(1)設M(x，y).
因為kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，
化簡得2x2＋y2＝2(x≠±1).
即點M的軌跡方程為2x2＋y2＝2(x≠±1).
(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2).
當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x＝，易知此時線段CD的中點不是N，不符合題意.
當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y－1＝k，將點C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐標代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2＋＝2，①
2＋＝2，②
①－②整理得k＝＝－＝
－＝－1，
故直線l的方程為y－1＝－，
即所求直線l的方程為2x＋2y－3＝0.
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第3章　 3.1　橢圓
3.1.2　橢圓的簡單幾何性質
第2課時 橢圓方程及其性質的應用
學習目標
1. 了解橢圓在實際生活中的應用.
2. 進一步掌握橢圓的方程及其性質的應用，會判斷直線與橢圓的位置關系，提升邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養.
應用一　直線與橢圓的位置關系
典例1
規律方法
直線與橢圓位置關系的判斷方法
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應用二　直線與橢圓的相交弦問題
典例2
規律方法
1.直線與橢圓相交弦長的求法
(1)直接利用兩點間距離公式：當弦的兩端點的坐標易求時，可直接求出交點坐標，再用兩點距離公式求弦長.
(2)弦長公式：當弦的兩端點的坐標不易求時，可用弦長公式.
2.解決橢圓中點弦問題的兩種方法
(1)根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
規律方法
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應用三　與橢圓有關的最值(范圍)問題
典例3
√



規律方法
求與橢圓有關的最值、范圍問題的方法
1.定義法：利用定義轉化為幾何問題處理.
2.數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解.
3.函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍.
√


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隨堂評價
√

(1，3)∪(3，＋∞)
4，3
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課時測評
√
√

√
√
√


±1




√

√
√


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