資源簡介

3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
學習目標 1.掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等簡單的幾何性質，培養直觀想象、數學運算的核心素養. 2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍，能利用雙曲線的簡單幾何性質求標準方程，提升數學運算的核心素養.
任務一　雙曲線的幾何性質
問題.類比對橢圓幾何性質的研究，探究雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的幾何性質.
提示：1.范圍
利用雙曲線的方程求出它的范圍，由方程－＝1可得＝1＋≥1，
于是，雙曲線上點的坐標(x，y)都適合不等式≥1，y∈R，
所以x≥a 或x≤－a； y∈R.
2.對稱性
－＝1(a＞0，b＞0)關于x軸、y軸和原點都對稱.
x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫作雙曲線的中心.
3.頂點
(1)雙曲線與對稱軸的交點，叫作雙曲線的頂點 .
頂點是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有兩個.
(2)如圖，線段A1A2 叫作雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫作實半軸長；線段B1B2 叫作雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫作雙曲線的虛半軸長.
(3)實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.
方程為x2－y2＝m(m≠0).
4.漸近線
雙曲線在第一象限內部分的方程為y＝，
它與y＝x的位置關系：在y＝x的下方.
它與y＝x的位置的變化趨勢：慢慢靠近.
(1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x.
(2)利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖.
5.離心率
(1)定義：e＝.
(2)e的范圍：e＞1.
(3)e的含義：因為c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，說明越趨近于1，則的值越小，因此雙曲線的漸近線所夾的雙曲線區域越狹窄.
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝ 1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c間的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.
解：將9y2－4x2＝－36化為標準方程為－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此頂點坐標為A1(－3，0)，A2(3，0)，
焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，
實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，離心率e＝＝，
漸近線方程為y＝±x＝±x.
[變式探究]
若將雙曲線的方程變為nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.
解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化為標準方程為－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，實半軸長a＝，
虛半軸長b＝，c＝，
焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝ ，
頂點坐標為(－，0)，(，0)，
所以漸近線方程為y＝± x，即y＝±x.
由雙曲線的方程研究其幾何性質 1.把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關鍵. 2.由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值. 3.由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質.
對點練1.求雙曲線25y2－16x2＝400的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.
解：把方程25y2－16x2＝400化為標準方程為－＝1.
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝5；
c＝＝＝，
焦點坐標是(0，－)，(0，)；
離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x.
任務二　由雙曲線的幾何性質求標準方程
求滿足下列條件的雙曲線的方程：
(1)已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為，且經過點M(－3，2)；
(2)漸近線方程為y＝±x，且經過點A(2，－3).
解：(1)設所求雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0).
因為e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝.
由題意得
所以所求的雙曲線方程為－＝1.
(2)由雙曲線的漸近線方程為y＝±x，可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)，
因為A(2，－3)在雙曲線上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
由雙曲線的性質求雙曲線的標準方程 1.根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式. 2.設雙曲線方程的技巧 (1)與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設為－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (2)與雙曲線－＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0). (3)漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
對點練2.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為；
(2)過點(2，0)，與雙曲線－＝1的離心率相等.
解：(1)設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
由題意知2b＝8，e＝＝，從而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，
可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝，
故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1；
當所求雙曲線的焦點在y軸上時，
可設其方程為－＝λ(λ＞0)，
將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝－＜0(舍去).
綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.
任務三　求雙曲線的離心率
已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
答案：C
解析：由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，可得其一條漸近線的方程為y＝x，即bx－ay＝0，
又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0，5)，半徑r＝2，
則圓心到直線的距離為d＝＝，則＝2，可得e＝＝.
求雙曲線離心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝得解. 2.解方程法：若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
對點練3.已知F1，F2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果∠PF2Q＝90°，求雙曲線的離心率.
解：設F1(c，0)，將x＝c代入雙曲線的方程得－＝1，那么y＝±.
由｜PF2｜＝｜QF2｜，∠PF2Q＝90°，
知｜PF1｜＝｜F1F2｜，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以雙曲線的離心率為1＋.
1. (多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A.實軸長為8　　　　　 B.虛軸長為4
C.焦距為6 D.離心率為
答案：ABD
解析：雙曲線方程x2－8y2＝32化為標準方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4，焦距為12，離心率為.
2.已知△ABC為等邊三角形，點O為△ABC的中心，若以A，O為雙曲線E的兩頂點，且雙曲線E過點B，則雙曲線E的離心率為　　　　.
答案：
解析：如圖所示，不妨設AO＝2，D為BC的中點，則OD＝1，AD＝3，BD＝.以AO的中點O'為原點，AD方向為x軸，AO的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.因為＝2，所以＝＝1，即雙曲線的實半軸長a＝1，所以雙曲線的方程可以設為x2－＝1，將B的坐標，代入解得b＝1，所以c＝，所以e＝＝.
3.中心在原點，焦點在x軸上，且一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是(　　)
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
答案：A
解析：令y＝0，得x＝－4，
所以等軸雙曲線的一個焦點為(－4，0)，
所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故選A.
4.中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為　　　　.
答案：y＝±x
解析：因為＝，所以＝＝，
所以＝，所以＝，所以＝.
又因為雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線方程－＝1(a＞0，b＞0)，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
所以所求雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
課時測評31　雙曲線的簡單幾何性質
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.已知雙曲線－＝1(a＞0)的右焦點為(3，0)，則雙曲線的離心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
2.已知雙曲線的實軸和虛軸等長，且過點(5，3)，則雙曲線方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以雙曲線方程為x2－y2＝16，即－＝1.
3.若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：B
解析：因為e＝，所以＝，即＝3，
所以b2＝2a2，所以雙曲線方程為－＝1，
所以漸近線方程為y＝±x.
4.設雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：C
解析：由雙曲線的幾何性質可得，雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為y＝±x，又因為漸近線方程為3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
5.(多選)若雙曲線C的一個焦點F(5，0)，P是雙曲線上一點，且漸近線方程為y＝±x，則下列結論正確的是(　　)
A.C的方程為－＝1
B.C的離心率為
C.焦點到漸近線的距離為3
D.｜PF｜的最小值為2
答案：AD
解析：雙曲線C的一個焦點F(5，0)，且漸近線方程為y＝±x，可得c＝5，焦點坐標在x軸上，所以＝，因為c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程為－＝1，A正確；離心率為e＝，B不正確；
焦點到漸近線的距離為d＝＝4，C不正確；
｜PF｜的最小值為c－a＝2，D正確.
6.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點分別為F1，F2，若雙曲線上存在點P滿足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，則該雙曲線的離心率為(　　)
A.2 B.
C. D.5
答案：B
解析：e＝＝＝.
7.雙曲線x2－＝1的一個焦點到一條漸近線的距離等于　　　　.
答案：
解析：雙曲線x2－＝1的一個焦點坐標是(2，0)，一條漸近線的方程為y＝x，
因此焦點到漸近線的距離d＝＝.
8.若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該雙曲線的方程為　　　　　　　.
答案：－＝1
解析：橢圓4x2＋y2＝64可變形為＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
所以焦點為(0，4)，(0，－4)，離心率e＝，
則雙曲線的焦點在y軸上，c'＝4，e'＝＝，
從而a'＝6，b'2＝12，
故所求雙曲線的方程為－＝1.
9.(10分)求適合下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)兩頂點間的距離是6，兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分；
(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點間的距離是6.
解：(1)由兩頂點間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.
由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦點所在的坐標軸不確定，故所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(2)設雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由題意得a＝3.
當λ＞0時，＝9，λ＝36，雙曲線方程為－＝1；
當λ＜0時，＝9，λ＝－81，雙曲線方程為－＝1.
故所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
10.(10分)設雙曲線－＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率.
解：直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，兩邊平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
兩邊同時除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，則e＝2.
于是雙曲線的離心率為2.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由題意，點P(2，1)在雙曲線的漸近線y＝x上，所以＝，即a＝2b.
又2c＝10，所以c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求雙曲線方程為－＝1.
12.若雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y＝－x，則雙曲線的方程為(　　)
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160
C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
答案：D
解析：設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點為(0，±4)，所以λ＜0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故選D.
13.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，設左、右焦點分別為F1，F2，｜F1F2｜＝2c，在C的右支上存在一點P，使得以F1F2，F2P為鄰邊的平行四邊形為菱形，且直線PF1與圓(x－c)2＋y2＝c2相切，則該雙曲線C的離心率為(　　)
A. B.
C. D.2
答案：B
解析：由題意得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，如圖所示，設直線PF1與圓(x－c)2＋y2＝c2相切于點T，
則PF1⊥TF2，｜TF2｜＝c，
在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60° ｜PF1｜＝2c，
則由雙曲線的定義可得｜PF2｜＝｜PF1｜－2a＝2c－2a，
所以2c＝2c－2a，解得e＝＝.
14.(13分)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為雙曲線C同一支上的兩點.若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(，0)在線段PQ上，求△PQF的周長.
解：根據題意，雙曲線C：－＝1的左焦點F(－，0)，
所以點A(，0)是雙曲線的右焦點，P，Q為雙曲線C右支上的兩點.虛軸長為6，
所以｜PQ｜＝12.雙曲線圖象如圖.
｜PF｜－｜AP｜＝2a＝4，①
｜QF｜－｜QA｜＝2a＝4，②
①＋②得｜PF｜＋｜QF｜－｜PQ｜＝8，
所以周長為｜PF｜＋｜QF｜＋｜PQ｜＝8＋2｜PQ｜＝32.
15.(5分)(多選)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F1(2，0)，點A的坐標為(0，1)，點P為雙曲線左支上的動點，且△APF1的周長不小于14，則雙曲線C的離心率可能為(　　)
A. B.2
C. D.3
答案：ABC
解析：由右焦點為F1(2，0)，點A的坐標為(0，1)，｜AF1｜＝＝5，
△APF1的周長不小于14，即周長的最小值不小于14，可得｜PA｜＋｜PF1｜的最小值不小于9，如圖所示，
又F2為雙曲線的左焦點，可得｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a ，
當A，P，F2三點共線時，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值5＋2a，
所以5＋2a≥9，即a≥2，
因為c＝2，可得e＝≤.即1＜e≤.
16.(17分)已知F1，F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，當取最小值時，求雙曲線的離心率e的取值范圍.
解：因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線右支上的任意一點，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，當且僅當＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a時取等號，
所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a，
因為｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝≤3，所以e∈(1，3].
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3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
　
第3章　3.2　雙曲線
學習目標
1.掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等簡單的幾何性質，培養直觀想象、數學運算的核心素養.
2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍，能利用雙曲線的簡單幾何性質求標準方程，提升數學運算的核心素養.
任務一　雙曲線的幾何性質
問題導思
新知構建
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
圖形
性質 范圍 _________________ _________________
對稱性 對稱軸：________；對稱中心：______
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
坐標軸
原點
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
性質 頂點坐標 ________________________ ________________________
漸近線
離心率
a，b，c間的關系 c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1，＋∞)
a2＋b2
典例1
規律方法
由雙曲線的方程研究其幾何性質
1.把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關鍵.
2.由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值.
3.由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質.
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任務二　由雙曲線的幾何性質求標準方程
典例2
規律方法
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任務三　求雙曲線的離心率
典例3
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規律方法
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隨堂評價
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2.已知△ABC為等邊三角形，點O為△ABC的中心，若以A，O為雙曲線E的兩頂點，且雙曲線E過點B，則雙曲線E的離心率為_____.


3.中心在原點，焦點在x軸上，且一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
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課時測評
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8.若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒
數，則該雙曲線的方程為___________.

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