資源簡介

3.1　橢圓
3.1.1　橢圓的標準方程
學習目標 1.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，培養數學抽象的核心素養. 2.掌握橢圓的定義和標準方程，提升邏輯推理的核心素養. 3.會求橢圓的標準方程，提升數學運算的核心素養.
任務一　橢圓的定義及標準方程
問題1.取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點F1，F2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 在這一過程中，移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
提示：橢圓，筆尖到兩個定點的距離的和等于常數.
問題2.觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立平面直角坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？
提示：觀察可以發現橢圓具有對稱性，而且過兩焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經過橢圓兩焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示，此時，橢圓的焦點分別為F1(－c，0)和F2(c，0).
根據橢圓的定義，設M與焦點F1，F2的距離的和等于2a.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}.因為｜MF1｜＝，｜MF2｜＝，
所以＋＝2a.①
為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得＝2a－.②
對方程②兩邊平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
對方程③兩邊平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由橢圓的定義可知2a＞2c＞0 ，即a＞c＞0，
所以a2－c2＞0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0).⑥
我們將方程⑥稱為焦點在x軸上的橢圓方程.
問題3.如圖，如果焦點F1，F2在y軸上，且F1，F2的坐標分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？
提示：＋＝1(a＞b＞0).
1.橢圓的定義
平面上到與兩個定點F1，F2的距離之和為常數(大于｜F1F2｜)的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點F1，F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離｜F1F2｜叫作焦距.
2.橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
圖形
焦點 坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的關系 c2＝a2－b2
(多選)平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是(　　)
A.M到兩定點，的距離之和為4
B.M到兩定點，的距離之和為6
C.M到兩定點，的距離之和為6
D.M到兩定點，的距離之和為8
答案：BD
解析：因為兩定點，的距離為4＜6，所以選項A不符合橢圓定義，選項B符合橢圓定義；因為兩定點，的距離為6＜8，所以選項C不符合橢圓定義，選項D符合.故選BD.
　　在橢圓定義中，要求常數必須大于兩定點F1，F2之間的距離，這是橢圓定義中非常重要的一個條件，可以驗證：如果這個常數等于兩定點F1，F2之間的距離，動點的軌跡將是一條線段；如果這個常數小于兩定點F1，F2之間的距離，動點的軌跡將不存在.因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件.
對點練1.(1)設P(x，y)滿足＋＝10，則P點的軌跡為(　　)
A.圓 B.橢圓
C.線段 D.不存在
(2)平面內一點M到兩定點F1，F2 的距離之和等于12，則點M的軌跡是　　　　.
答案：(1)B　(2)線段F1F2
解析：(1)因為＋＝10表示P(x，y)到定點F1，F2的距離之和為10，即＋＝10＞＝8，所以P點的軌跡為橢圓.故選B.
(2)由題意知＋＝12，且＝12，故＋＝＝12， 所以點M的軌跡是線段F1F2.
求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)焦點在y軸上，且經過兩個點(0，2)和(1，0)；
(2)兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0，2)，并且橢圓經過點；
(3)經過點P，Q.
解：(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0).
又橢圓經過點(0，2)和(1，0)，
所以
所以所求橢圓的標準方程為＋x2＝1.
(2)因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由橢圓的定義知，
2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(3)法一：①當橢圓焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0).
依題意，有
由a＞b＞0，知不合題意，故舍去；
②當橢圓焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為
＋＝1(a＞b＞0).
依題意，有
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
法二：設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
則
所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，
故橢圓的標準方程為＋＝1.
確定橢圓標準方程的方法 1.“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式. 2.“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程(組)求解.
對點練2.求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過兩點(2，－)，；
(2)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同的焦點.
解：(1)法一：(分類討論法)若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0).
由已知條件得
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0).
由已知條件得
則a2＜b2，與題設中a＞b＞0矛盾，舍去.
綜上，所求橢圓的標準方程為＋＝1.
法二：(待定系數法)設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).
將兩點(2，－)，代入，
得
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)因為所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0).
因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(，－)在橢圓上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
任務二　橢圓定義的應用
已知P為橢圓＋＝1上一點，F1，F2是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.
解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
從而｜F1F2｜＝2c＝6，
在△F1PF2中，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，
即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜.①
由橢圓的定義得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，
即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜.②
由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4.
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝.
[變式探究]
若將本例中“∠F1PF2＝60°”變為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積.
解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3.
從而｜F1F2｜＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2，即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋36，
又由橢圓定義知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2×2＝4，
所以｜PF2｜＝4－｜PF1｜.
從而有(4－｜PF1｜)2＝｜PF1｜2＋36，解得｜PF1｜＝.
所以△F1PF2的面積S＝·｜PF1｜·｜F1F2｜＝×6＝，
即△F1PF2的面積是.
橢圓定義的應用技巧 1.橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化. 2.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解.
對點練3.設P為橢圓C：＋＝1上一點，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，且△PF1F2的重心為點G，若｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4，那么△GPF1的面積為(　　)
A.24 B.12
C.8 D.6
答案：C
解析：因為P為橢圓C：＋＝1上一點，｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝14，
所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝8.
又｜F1F2｜＝2c＝2＝10，
所以易知△PF1F2是直角三角形，＝｜PF1｜·｜PF2｜＝24.
因為△PF1F2的重心為點G， 所以＝3，
所以△GPF1的面積為8.
任務三　與橢圓有關的軌跡問題
(1)已知B，C是兩個定點，｜BC｜＝8，且△ABC的周長等于18，求這個三角形的頂點A的軌跡方程；
(2)已知P是橢圓＋＝1上一動點，O為坐標原點，求線段OP的中點Q的軌跡方程.
解：(1)以過B，C兩點的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示.
由｜BC｜＝8，可知點B(－4，0)，C(4，0)，
由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10，
因此，點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和為2a＝10，c＝4，但點A不在x軸上.
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以點A的軌跡方程為＋＝1(y≠0).
(2)設Q(x，y)，P(x0，y0)，由Q是線段OP的中點知，x0＝2x，y0＝2y.
又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1，所以點Q的軌跡方程為x2＋＝1.
解決與橢圓有關的軌跡問題的兩種方法 1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可. 2.相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關點法. 注意：相關點法求軌跡問題的四步曲為：設點、求關系式、代換、得方程.
對點練4.已知x軸上一定點A(1，0)，Q為橢圓＋y2＝1上任一點，求線段AQ的中點M的軌跡方程.
解：設中點M的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x0，y0)，
利用中點坐標公式，得
所以
因為點Q(x0，y0)在橢圓＋y2＝1上，
所以＋＝1.
將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故線段AQ的中點M的軌跡方程是(x－)2＋4y2＝1.
1.設F1，F2為定點，｜F1F2｜＝6，動點M滿足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，則動點M的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.直線
C.圓 D.線段
答案：D
解析：因為｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＝｜F1F2｜，
所以動點M的軌跡是線段.
2.已知橢圓的焦點為(－1，0)和(1，0)，點P(2，0)在橢圓上，則橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
答案：A
解析：c＝1，由點P(2，0)在橢圓上，可得a＝2，b2＝3，
所以橢圓的方程為＋＝1.
3.(多選)已知在平面直角坐標系中，點A，B(3，0)，點P為一動點，且＋＝2a，則下列說法中正確的是(　　)
A.當a＝2時，點P的軌跡不存在
B.當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3
C.當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6
D.當a＝3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓
答案：AC
解析：對于A，2a＝4＜，故點P的軌跡不存在，故A正確；對于B、C，2a＝8＞，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為＝6，故B錯誤，C正確；對于D，2a＝6＝，故點P的軌跡為線段AB，故D錯誤.故選AC.
4.已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)
A.2 B.6
C.4 D.12
答案：C
解析：設在BC邊上的另一個焦點為F，利用橢圓的定義，｜BA｜＋｜BF｜＝2，｜CA｜＋｜CF｜＝2，便可求得△ABC的周長為4.
課時測評27　橢圓的標準方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.已知A，B，動點C滿足＋＝10，則點C的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.直線
C.線段 D.點
答案：C
解析：因為A，B，所以＋＝10＝，知點C的軌跡是線段AB.故選C.
2.已知橢圓過點P和點Q，則此橢圓的標準方程是(　　)
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.以上都不對
答案：A
解析：設橢圓方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，
由題意得
所以此橢圓的標準方程為＋x2＝1.
3.已知F1，F2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，若｜AB｜＝5，則｜AF1｜＋｜BF1｜等于(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
答案：C
解析：根據橢圓定義，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，
所以△AF1B的周長為｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.
4.“2＜m＜6”是“方程＋＝1為橢圓”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案：B
解析：若方程＋＝1表示橢圓，
則解得2＜m＜6且m≠4，
所以“2＜m＜6”是“方程＋＝1為橢圓”的必要不充分條件.
5.設P為橢圓＋＝1上的任意一點，F1，F2為其上、下焦點，則｜PF1｜·｜PF2｜的最大值是(　　)
A.4 B.6
C.9 D.12
答案：C
解析：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，｜PF1｜·｜PF2｜≤＝9，
當且僅當｜PF1｜＝｜PF2｜時取等號.
6.P是橢圓＋＝1上一點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，若｜PF1｜·｜PF2｜＝12，則∠F1PF2的大小為(　　)
A.60° B.30°
C.120° D.150°
答案：A
解析：由橢圓的定義得
｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，｜F1F2｜＝2，
所以(｜PF1｜＋｜PF2｜)2＝64，
因為｜PF1｜·｜PF2｜＝12，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝40，
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，
因為0°＜∠F1PF2＜180°，
所以∠F1PF2＝60°.
7.已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2，則此橢圓的標準方程為　　　　.
答案：＋x2＝1
解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又橢圓的焦點在y軸上，所以橢圓的標準方程為＋x2＝1.
8.已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合.若點M關于C的焦點F1，F2的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則 ｜AN｜＋｜BN｜＝　　　　.
答案：12
解析：如圖，取MN的中點G，G在橢圓C上，
因為點M關于C的焦點F1，F2的對稱點分別為A，B，
故有｜GF1｜＝｜AN｜，｜GF2｜＝｜BN｜，
所以｜AN｜＋｜BN｜＝2(｜GF1｜＋｜GF2｜)＝4a＝12.
9.(13分)已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過點P作焦點所在的坐標軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程.
解：設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，
不妨取｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，
由橢圓的定義，知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，
即a＝.
由｜PF1｜＞｜PF2｜知，PF2垂直于焦點所在的坐標軸.
在Rt△PF2F1中，4c2＝｜PF1｜2－｜PF2｜2＝，
所以c2＝，所以b2＝a2－c2＝.
又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
10.(15分)已知橢圓M與橢圓N：＋＝1有相同的焦點，且橢圓M過點.
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)設橢圓M的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓M上，且△PF1F2的面積為1，求點P的坐標.
解：(1)由題意，知橢圓N的焦點為(－2，0)，(2，0)，
設橢圓M的方程為＋＝1(a＞b＞0)，
則化簡并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故橢圓M的標準方程為＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
設P(x0，y0)，則△PF1F2的面積為×4×｜y0｜＝1，解得y0＝±.
又＋＝1，
所以＝，x0＝±，
所以點P有4個，它們的坐標分別為，，，.
(11—14小題，每小題5分，共20分)
11.橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標為(　　)
A.± B.±
C.± D.±
答案：D
解析：因為線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點(F2為橢圓的另一個焦點)，
所以PF2⊥x軸，所以點P的橫坐標是±3，
因為點P在橢圓上，所以＋＝1，即y2＝，所以y＝±.
所以點M的縱坐標為±.
12.設P是橢圓＋＝1上一點，M，N分別是圓A：(x＋4)2＋y2＝1和圓B：(x－4)2＋y2＝1上的點，則｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分別為(　　)
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
答案：C
解析：如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點，由橢圓的定義知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，連接PA，PB，分別與左、右兩圓相交于M，N兩點，此時｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值為｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延長PA，PB，分別與左、右兩圓相交于M'，N'兩點，此時｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值為｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分別為8，12.
13.若橢圓3x2－ty2＝6的一個焦點為F(0，2)，則實數t＝　　　　.
答案：－1
解析：橢圓3x2－ty2＝6的標準方程為＋＝1，
因為其一個焦點為F(0，2)，所以a2＝－，b2＝2，
所以－－2＝4，解得t＝－1.
14.在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－3，0)和C(3，0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝　　　　.
答案：
解析：由橢圓的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
因為△ABC的頂點A(－3，0)和C(3，0)，頂點B在橢圓＋＝1上，
所以｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10，
所以由正弦定理可知＝＝＝.
15.(5分)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若｜AF2｜＝｜BF2｜，｜BF1｜＝2｜BF2｜，則橢圓C的方程為　　　　　.
答案：＋＝1
解析：設｜BF2｜＝2m，則｜AF2｜＝3m，｜BF1｜＝4m，
由橢圓定義知｜BF1｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝6m，
所以｜AF1｜＝6m－3m＝3m，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜，
故點A為橢圓的上(下)頂點，設A(0，±b)，
由＝，得B，又點B在橢圓上，故＋＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故橢圓的方程為＋＝1.
16.(17分)設F1，F2分別是橢圓 ＋y2＝1的兩焦點，B為橢圓上的點且坐標為(0，－1).
(1)若P是該橢圓上的一個動點，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值；
(2)設M是該橢圓上的一個動點，求△MBF1的周長的最大值.
解：(1)因為橢圓的方程為 ＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即｜F1F2｜＝2 ，
又因為｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，
所以｜PF1｜·｜PF2｜≤ 2 ＝ 2 ＝4.
當且僅當｜PF1｜＝｜PF2｜＝2時取等號，
所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值為4.
(2)因為｜MF1｜＋｜MB｜＝4－｜MF2｜＋｜MB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△MBF1的周長≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以當M點位于直線BF2與橢圓的交點處時，△MBF1的周長最大，最大值為8.
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第3章　 3.1　橢圓
3.1.1　橢圓的標準方程
學習目標
1. 了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，培養數學抽象的核心素養.
2. 掌握橢圓的定義和標準方程，提升邏輯推理的核心素養.
3. 會求橢圓的標準方程，提升數學運算的核心素養.
任務一　橢圓的定義及標準方程
問題1.取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板
的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆
尖(動點)畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開
一段距離，分別固定在圖板中的兩點F1，F2，套上鉛
筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 在這一過程中，移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？
提示：橢圓，筆尖到兩個定點的距離的和等于常數.
問題導思
問題2.觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立平面直角坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？
提示：觀察可以發現橢圓具有對稱性，而且過兩焦點
的直線是它的對稱軸，所以我們以經過橢圓兩焦點F1，
F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立
平面直角坐標系Oxy，如圖所示，此時，橢圓的焦點
分別為F1(－c，0)和F2(c，0).
1.橢圓的定義
平面上到與兩個定點F1，F2的距離之和為__________________的點的軌跡叫作橢圓，這____________F1，F2叫作橢圓的焦點，__________________
____________叫作焦距.
新知構建
常數(大于｜F1F2｜)
兩個定點
兩個焦點之間的
距離｜F1F2｜
2.橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
___________________
____________________
圖形

焦點坐標 ________________________ ________________________
a，b，c的關系 c2＝________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2－b2
典例1
√
√
規律方法
　　在橢圓定義中，要求常數必須大于兩定點F1，F2之間的距離，這是橢圓定義中非常重要的一個條件，可以驗證：如果這個常數等于兩定點F1，F2之間的距離，動點的軌跡將是一條線段；如果這個常數小于兩定點F1，F2之間的距離，動點的軌跡將不存在.因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件.

√
線段F1F2
典例2
規律方法
確定橢圓標準方程的方法
1.“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式.
2.“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程(組)求解.
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任務二　橢圓定義的應用
典例3
規律方法
橢圓定義的應用技巧
1.橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化.
2.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解.
√

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任務三　與橢圓有關的軌跡問題
典例4
規律方法
解決與橢圓有關的軌跡問題的兩種方法
1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可.
2.相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關點法.
注意：相關點法求軌跡問題的四步曲為：設點、求關系式、代換、得方程.
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隨堂評價
1.設F1，F2為定點，｜F1F2｜＝6，動點M滿足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，則動點M的軌跡是
A.橢圓 B.直線
C.圓 D.線段
√
因為｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＝｜F1F2｜，
所以動點M的軌跡是線段.
√
√
√
√
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課時測評
√
√

√
根據橢圓定義，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，
所以△AF1B的周長為｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.

√
√
√

12
√

√
如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓
的兩個焦點，由橢圓的定義知｜PA｜＋｜PB｜＝
2a＝10，連接PA，PB，分別與左、右兩圓相交于
M，N兩點，此時｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值
為｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延長PA，PB，分別與左、右兩圓相交于M'，N'兩點，此時｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值為｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分別為8，12.
13.若橢圓3x2－ty2＝6的一個焦點為F(0，2)，則實數t＝______.
－1


設｜BF2｜＝2m，則｜AF2｜＝3m，｜BF1｜＝4m，
由橢圓定義知｜BF1｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝6m，
所以｜AF1｜＝6m－3m＝3m，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜，
故點A為橢圓的上(下)頂點，設A(0，±b)，

(2)設M是該橢圓上的一個動點，求△MBF1的周長的最大值.
解：因為｜MF1｜＋｜MB｜＝4－｜MF2｜＋｜MB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△MBF1的周長≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以當M點位于直線BF2與橢圓的交點處時，△MBF1的周長最大，最大值為8.
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