資源簡介

3.3　拋物線 3.3.1　拋物線的標準方程
學習目標 1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，培養數學抽象、直觀想象的核心素養. 2.掌握拋物線定義的應用，體會數形結合思想和提升直觀想象的核心素養. 3.會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的定義
問題1.利用信息技術作圖，如圖所示，F是定點，l是不經過點F的定直線，H是直線l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，點M隨之運動，你能發現點M滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
提示：點M隨著點H運動的過程中，始終有｜MF｜＝｜MH｜，即點M與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點M的軌跡形狀與二次函數的圖象相似.
平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)距離相等的點的軌跡叫作拋物線，點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(1)已知定點F和定直線l，點F不在直線l上，動圓M過點F且與直線l相切，則動圓圓心M的軌跡是(　　)
A.射線 B.直線
C.拋物線 D.橢圓
(2)正方體ABCD A1B1C1D1中，P為面ABCD所在平面上的一個動點，且點P到平面BCC1B1的距離等于點P到直線DD1的距離，則動點P的軌跡是(　　)
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)因為動圓M過定點F，則動圓M的半徑為｜MF｜，又動圓M與直線l相切，則圓心M到直線l的距離等于圓的半徑｜MF｜，
因此，動點M到定點F的距離等于它到定直線l的距離，又定點F不在定直線l上，由拋物線的定義得，圓心M的軌跡是拋物線，所以動圓圓心M的軌跡是拋物線.故選C.
(2)如圖，因為ABCD A1B1C1D1是正方體，
所以D1D⊥面ABCD，
而PD 面ABCD，
所以D1D⊥DP，
即點P到直線D1D的距離是DP的長度，
過點P作PM⊥BC于M，因為ABCD A1B1C1D1是正方體，
所以面BCC1B1⊥面ABCD，而面BCC1B1∩面ABCD＝BC，所以PM⊥面BCC1B1，
則PM的長為P到平面BCC1B1的距離，
點P到平面BCC1B1的距離等于點P到直線DD1的距離，
即P到定點D的距離等于P到定直線BC的距離，
所以點P的軌跡為拋物線.
故選D.
對點練1.設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(　　)
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
答案：A
解析：設C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A.因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線.故選A.
任務二　拋物線的標準方程
問題2.比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立坐標系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？
提示：我們取經過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系Oxy.設｜KF｜＝p(p＞0)，那么焦點F的坐標為，準線l的方程為x＝－.
設M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.
則M到F的距離為｜MF｜＝，M到直線l的距離為，
所以 ＝，
將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p＞0).
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2＝2px (p＞0) x＝－
y2＝－2px (p＞0) x＝
x2＝2py (p＞0) y＝－
x2＝－2py (p＞0) y＝
[微提醒]　四個標準方程的區分：焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定.當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向.
求適合下列條件的拋物線的標準方程.
(1)過點M(－6，6)；
(2)焦點F在直線l：3x－2y－6＝0上.
解：(1)由于點M(－6，6)在第二象限，
所以過M的拋物線開口向左或開口向上.
若拋物線開口向左，焦點在x軸上，
設其方程為y2＝－2px(p＞0)，
將點M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
所以p＝3.所以拋物線的方程為y2＝－6x.
若拋物線開口向上，焦點在y軸上，
設其方程為x2＝2py(p＞0)，
將點M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
所以p＝3，所以拋物線的方程為x2＝6y.
綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①因為直線l與x軸的交點為(2，0)，
所以拋物線的焦點是F(2，0)，所以＝2，
所以p＝4，
所以拋物線的標準方程是y2＝8x.
②因為直線l與y軸的交點為(0，－3)，
即拋物線的焦點是F(0，－3)，
所以＝3，所以p＝6，
所以拋物線的標準方程是x2＝－12y.
綜上所述，所求拋物線的標準方程是y2＝8x或x2＝－12y.
1.用待定系數法求拋物線標準方程的步驟 2.求拋物線的標準方程的注意點 (1)把握開口方向與方程間的對應關系； (2)當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為y2＝mx或x2＝ny，這樣可以減少討論的次數； (3)注意p與的幾何意義.
對點練2.拋物線2y2－5x＝0的焦點坐標為　　　　，準線方程為　　　　.
答案：　x＝－
解析：將2y2－5x＝0變形為y2＝x，
所以2p＝，p＝，
所以焦點坐標為，
準線方程為x＝－.
對點練3.拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，｜AF｜＝5，求拋物線的標準方程.
解：設所求焦點在x軸上的拋物線的標準方程為y2＝2ax(a≠0)，點A(m，－3).
由拋物線的定義得｜AF｜＝＝5，
又(－3)2＝2am，所以a＝±1或a＝±9.
所以所求拋物線的標準方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
任務三　拋物線定義的應用
(1)若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程.
(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值.
解：(1)設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R.由已知可得定圓圓心為C(2，0)，半徑r＝1.
因為兩圓外切，
所以｜MC｜＝R＋1.
又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，
所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.
所以｜MC｜＝d＋1.
即動點M到定點C(2，0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離.
由拋物線的定義可知，點M的軌跡是以C為焦點，x＋2＝0為準線的拋物線，且＝2，p＝4，
故其方程為y2＝8x.
(2)由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離，由圖可知，點P，點(0，2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，所以最小值為
d＝＝.
[變式探究]　
若將本例(2)中的點(0，2)改為點A(3，2).其他條件不變，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
解：將x＝3代入
y2＝2x，
得y＝±.
所以點A在拋物線內部.
設點P為其上一點，點P到準線(設為l)x＝－的距離為d.
則｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.
由圖可知，當PA⊥l時，
｜PA｜＋d最小，最小值是.
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值為.
拋物線定義的2種應用 1.實現距離轉化.根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題. 2.解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題.
對點練4.設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是6，則點P到該拋物線焦點的距離為(　　)
A.12　　　　 B.8　　　　
C.6　　　　 D.4
答案：B
解析：因為點P到y軸的距離為6，所以點P到拋物線y2＝8x的準線x＝－2的距離d＝6＋2＝8.根據拋物線的定義知，點P到拋物線焦點的距離為8.
對點練5.已知點A(0，－2)，直線l：y＝2，則過點A且與直線l相切的圓的圓心的軌跡方程為　　　　.
答案：x2＝－8y
解析：設圓的圓心為C，則｜CA｜＝d，其中d為點C到直線l的距離，所以C的軌跡是以原點為頂點，A為焦點，l為準線的拋物線.所以所求動圓圓心的軌跡方程為x2＝－8y.
1.已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經過點(－1，1)，則該拋物線焦點坐標為(　　)
A.(－1，0) B.(1，0)
C.(0，－1) D.(0，1)
答案：B
解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準線為x＝－，
因為準線經過點(－1，1)，所以－＝－1，p＝2，
所以拋物線焦點坐標為(1，0)，故選B.
2.以雙曲線－＝1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為(　　)
A.y2＝16x B.y2＝－16x
C.y2＝8x D.y2＝－8x
答案：A
解析：因為雙曲線－＝1的右頂點為(4，0)，即拋物線的焦點坐標為(4，0)，所以拋物線的標準方程為y2＝16x.
3.(多選)經過點P(4，－2)的拋物線的標準方程為(　　)
A.y2＝x B.y2＝8x
C.y2＝－8x D.x2＝－8y
答案：AD
解析：當開口向右時，設拋物線方程為y2＝2p1x(p1＞0)， 則(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以拋物線方程為y2＝x.當開口向下時，設拋物線方程為x2＝－2p2y(p2＞0)，則42＝4p2，p2＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y.
4.若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，且點M到焦點的距離為10，求點M的坐標.
解：由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得焦點坐標為F，準線方程為x＝.設點M到準線的距離為d，則d＝｜MF｜＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設點M的縱坐標為y0，由點M(－9，y0)在拋物線上，得y0＝±6，故點M的坐標為(－9，6)或(－9，－6).
課時測評33　拋物線的標準方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.拋物線y＝2x2的焦點坐標是(　　)
A.(1，0)　　　　　　 B.
C. D.
答案：D
解析：拋物線的方程可化為x2＝y，可知焦點在y軸上，且＝，所以焦點坐標是.故選D.
2.已知拋物線x2＝2ay的準線方程為y＝4，則實數a的值為(　　)
A.8　 　　 B.　 　　
C.－8　 　　 D.－
答案：C
解析：因為拋物線x2＝2ay的準線方程為y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故選C.
3.動點到點(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.直線
C.圓 D.拋物線
答案：D
解析：由題可知動點到點(3，0)的距離與到直線x＝－3的距離相等，故動點的軌跡為拋物線.
4.設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.12
答案：B
解析：如圖所示，拋物線的準線l的方程為x＝－2，F是拋物線的焦點，過點P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交準線l于點B，則｜AB｜＝2.由于點P到y軸的距離為4，則點P到準線l的距離｜PB｜＝4＋2＝6，所以點P到焦點F的距離｜PF｜＝｜PB｜＝6.故選B.
5.(多選)對標準形式的拋物線，給出下列條件中滿足拋物線方程y2＝10x的有(　　)
A.焦點在y軸上
B.焦點在x軸上
C.拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6
D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1)
答案：BD
解析：拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，B滿足，A不滿足；設M(1，y0)是拋物線y2＝10x上一點，則｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以C不滿足；若由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足為(2，1)，則該直線斜率存在，又拋物線y2＝10x的焦點坐標為，可設過該焦點的直線方程為y＝k，則k＝－2，此時直線存在，所以D滿足.所以滿足拋物線y2＝10x的有BD.
6.拋物線y＝12x2上的點到焦點的距離的最小值為　　　　.
答案：
解析：將方程化為標準形式是x2＝y，因為2p＝，所以p＝.故到焦點的距離最小值為.
7.已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線相切，則p＝　　　　，準線方程為　　　　.
答案：2　x＝－1
解析：由題意知圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3，0)，半徑為4，拋物線的準線為x＝－.由題意知3＋＝4，所以p＝2.準線方程為x＝－1.
8.在拋物線y2＝－12x上，與焦點的距離等于9的點的坐標是　　　　　　　.
答案：(－6，6)，(－6，－6)
解析：由方程y2＝－12x，知焦點F(－3，0)，準線l：x＝3.設所求點為P(x，y)，則由定義知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求點的坐標為(－6，6)，(－6，－6.)
9.(10分)分別求出滿足下列條件的拋物線的標準方程.
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上.
解：(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8，故拋物線的標準方程為x2＝8y.
(2)因為點(3，－4)在第四象限，
所以設拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
所以所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0).
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.
10.(13分)已知動圓M經過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，求動圓圓心M的軌跡方程.
解：設動點M(x，y)，☉M與直線l：x＝－3的切點為N，
則｜MA｜＝｜MN｜，即動點M到定點A的距離與到定直線l：x＝－3的距離相等，
所以點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線，所以＝3，所以p＝6，所以動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.拋物線y2＝4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線l上的動點，當△FPM為等邊三角形時，其面積為(　　)
A.2 B.4
C.6 D.4
答案：D
解析：如圖，因為△FPM是等邊三角形，所以｜PF｜＝｜PM｜＝｜FM｜，
由拋物線的定義知PM⊥l.
在Rt△MQF中，｜QF｜＝2，∠QMF＝30°，所以｜MF｜＝4，
所以S△PMF＝×42＝4.故選D.
12.已知拋物線y2＝4x上一點P到準線的距離為d1，到直線l：4x－3y＋11＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為(　　)
A.3 B.4
C. D.
答案：A
解析：設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知拋物線上的點P到準線的距離等于到焦點F的距離.過焦點F作直線4x－3y＋11＝0的垂線，如圖，當點P為該垂線與拋物線的交點時，d1＋d2取得最小值.由F(1，0)，直線方程為4x－3y＋11＝0，得(d1＋d2)min＝＝3.故選A.
13.設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上的一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么｜PF｜＝　　　　.
答案：8
解析：如圖，∠AFE＝60°，
因為F(2，0)，
所以E(－2，0)，
則＝tan 60°，
即｜AE｜＝4，
所以點P的坐標為(6，4)，
故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8.
14.(15分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，焦點為F，準線為l，拋物線C上一點A的橫坐標為3，且點A到準線l的距離為5.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若P為拋物線C上的動點，求線段FP的中點M的軌跡方程.
解：(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，因為拋物線C上一點A的橫坐標為3，且點A到準線l的距離為5，所以根據拋物線的定義可知，3＋＝5，所以p＝4，所以拋物線C的方程是y2＝8x.
(2)由(1)可知F(2，0)，設P(x0，y0)，M(x，y)，
則
而點P(x0，y0)在拋物線C上，
所以＝8x0，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，
所以點M的軌跡方程是y2＝4(x－1).
15.(17分)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F為拋物線的焦點.
(1)若點P到直線x＝－1的距離為d，A(－1，1)，求｜PA｜＋d的最小值；
(2)若B(3，2)，求｜PB｜＋｜PF｜的最小值.
解：(1)依題意，拋物線的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.
由拋物線的定義，知｜PF｜＝d，
于是問題轉化為求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
如圖，連接AF，交拋物線于點P，此時｜PA｜＋d最小，最小值為＝.
(2)把點B的橫坐標代入y2＝4x中，得y＝±2，
因為2＞2，所以點B在拋物線內部.
過點B作BQ垂直于準線于點Q，交拋物線于點P1(如圖).
由拋物線的定義，
知｜P1Q｜＝｜P1F｜，
則｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝3＋1＝4.
即｜PB｜＋｜PF｜的最小值為4.
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3.3.1　拋物線的標準方程
　
第3章　3.3　拋物線
學習目標
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，培養數學抽象、直觀想象的核心素養.
2.掌握拋物線定義的應用，體會數形結合思想和提升直觀想象的核心素養.
3.會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的定義
問題1．利用信息技術作圖，如圖所示，F是定點，l是不經過點F的定直線，H是直線l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，點M隨之運動，你能發現點M滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
提示：點M隨著點H運動的過程中，始終有｜MF｜＝｜MH｜，即點M與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點M的軌跡形狀與二次函數的圖象相似.
問題導思
平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)__________的點的軌跡叫作拋物線，點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
新知構建
距離相等
(1)已知定點F和定直線l，點F不在直線l上，動圓M過點F且與直線l相切，則動圓圓心M的軌跡是
A.射線 B.直線
C.拋物線 D.橢圓
典例1
√
因為動圓M過定點F，則動圓M的半徑為｜MF｜，又動圓M與直線l相切，則圓心M到直線l的距離等于圓的半徑｜MF｜，
因此，動點M到定點F的距離等于它到定直線l的距離，又定點F不在定直線l上，由拋物線的定義得，圓心M的軌跡是拋物線，所以動圓圓心M的軌跡是拋物線.故選C.
(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為面ABCD所在平面上的一個動點，且點P到平面BCC1B1的距離等于點P到直線DD1的距離，則動點P的軌跡是
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
√
如圖，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，
所以D1D⊥面ABCD，
而PD 面ABCD，
所以D1D⊥DP，
即點P到直線D1D的距離是DP的長度，
過點P作PM⊥BC于M，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，
所以面BCC1B1⊥面ABCD，而面BCC1B1∩面ABCD＝BC，所以PM⊥面BCC1B1，
則PM的長為P到平面BCC1B1的距離，
點P到平面BCC1B1的距離等于點P到直線DD1的距離，
即P到定點D的距離等于P到定直線BC的距離，
所以點P的軌跡為拋物線.
故選D.
對點練1．設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
設C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A.因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線.故選A.
√
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任務二　拋物線的標準方程
問題導思
新知構建
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
______________ ______________ ________
________________
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)

圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
________________ __________
________________
_____
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
　 四個標準方程的區分：焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定.當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向.
微提醒
求適合下列條件的拋物線的標準方程.
(1)過點M(－6，6)；
解：由于點M(－6，6)在第二象限，
所以過M的拋物線開口向左或開口向上.
若拋物線開口向左，焦點在x軸上，
設其方程為y2＝－2px(p＞0)，
將點M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
所以p＝3.所以拋物線的方程為y2＝－6x.
若拋物線開口向上，焦點在y軸上，
設其方程為x2＝2py(p＞0)，
將點M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
所以p＝3，所以拋物線的方程為x2＝6y.
綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－6x或x2＝6y.
典例2
規律方法
1.用待定系數法求拋物線標準方程的步驟
規律方法
對點練2．拋物線2y2－5x＝0的焦點坐標為________，準線方程為______.


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任務三　拋物線定義的應用
(1)若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程.
解：設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R.由已知可得定圓圓心為C(2，0)，半徑r＝1.
因為兩圓外切，
所以｜MC｜＝R＋1.
又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，
所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.
所以｜MC｜＝d＋1.
典例3
規律方法
拋物線定義的2種應用
1.實現距離轉化.根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題.
2.解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題.
對點練4．設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是6，則點P到該拋物線焦點的距離為
A.12　　　　 B.8　　　　
C.6　　　　 D.4
因為點P到y軸的距離為6，所以點P到拋物線y2＝8x的準線x＝－2的距離d＝6＋2＝8.根據拋物線的定義知，點P到拋物線焦點的距離為8.
√
對點練5．已知點A(0，－2)，直線l：y＝2，則過點A且與直線l相切的圓的圓心的軌跡方程為__________.
設圓的圓心為C，則｜CA｜＝d，其中d為點C到直線l的距離，所以C的軌跡是以原點為頂點，A為焦點，l為準線的拋物線.所以所求動圓圓心的軌跡方程為x2＝－8y.
x2＝－8y
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隨堂評價
1.已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經過點(－1，1)，則該拋物線焦點坐
標為
A.(－1，0) B.(1，0)
C.(0，－1) D.(0，1)
√
√
3.(多選)經過點P(4，－2)的拋物線的標準方程為
A.y2＝x B.y2＝8x
C.y2＝－8x D.x2＝－8y
√
√
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課時測評
√
√
3.動點到點(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是
A.橢圓 B.直線
C.圓 D.拋物線
√
由題可知動點到點(3，0)的距離與到直線x＝－3的距離相等，故動點的軌跡為拋物線.
4.設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是
A.4 B.6
C.8 D.12
如圖所示，拋物線的準線l的方程為x＝－2，F是拋物
線的焦點，過點P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交準
線l于點B，則｜AB｜＝2.由于點P到y軸的距離為4，
則點P到準線l的距離｜PB｜＝4＋2＝6，所以點P到焦
點F的距離｜PF｜＝｜PB｜＝6.故選B.
√
5.(多選)對標準形式的拋物線，給出下列條件中滿足拋物線方程y2＝10x的有
A.焦點在y軸上
B.焦點在x軸上
C.拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6
D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1)
√
√
6.拋物線y＝12x2上的點到焦點的距離的最小值為_____.

7.已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線相切，則p＝___，準線方程為_______.
2
x＝－1
8.在拋物線y2＝－12x上，與焦點的距離等于9的點的坐標是____________
_____________.
√

√

8

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