資源簡介

3.5　圓錐曲線的應用
學習目標 1.了解圓錐曲線在自然界客觀存在，了解圓錐曲線獨特的幾何性質、物理性質. 2.理解圓錐曲線的幾何性質、物理性質在實際生活、生產實踐中的應用，提升數學建模、邏輯推理、數學運算的核心素養.
應用一　實際生活中的橢圓問題
(多選)中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.2019年9月25日，中國科研人員利用嫦娥四號數據精確定位了嫦娥四號的著陸位置，并再現了嫦娥四號的落月過程，該成果由國際科學期刊《自然·通訊》在線發表.如圖所示，現假設“四號星”沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是(　　)
A.a1＋c1＝a2＋c2　　　　 B.a1－c1＝a2－c2
C.＜ D.＞
答案：BD
解析：由圖可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A不正確；
在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，
在橢圓軌道Ⅱ中可得，｜PF｜＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；
a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，
所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，由圖可得，＞，
所以2a1c2＜2a2c1，＜，所以C錯誤，D正確.
解決和橢圓有關的實際問題的思路(數學抽象) 1.通過數學抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉化為數學問題. 2.確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質求出數學問題的解. 3.用解得的結果說明原來的實際問題.
對點練1.某隧道的拱線設計為半個橢圓的形狀，最大拱高h為6米(如圖所示)，路面設計是雙向車道，車道總寬為8 米，如果限制通行車輛的高度不超過4.5米，那么隧道設計的拱寬d至少應是　　　　　　米.
答案：32
解析：設橢圓方程為＋＝1，
當點(4，4.5)在橢圓上時，＋＝1，解得a＝16，
因為車輛高度不超過4.5米，所以a≥16，d＝2a≥32，
故拱寬至少為32米.
應用二　雙曲線的實際生活應用
“神舟九號”飛船返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預計到達區域安排了三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P為航天員著陸點.某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發現P的方位角.
解：如圖所示，
以直線AB為x 軸，線段AB的垂直平分線為y 軸建立平面直角坐標系，
則A(3，0)，B(－3，0)，
C(－5，2).
因為｜PB｜＝｜PC｜，
所以點P在線段BC的垂直平分線上，
又易知kBC＝－，線段BC的中點D(－4，)，
所以直線PD的方程為y－＝(x＋4)，①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
所以點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，且a＝2，c＝3，
所以雙曲線方程為－＝1(x≥2)，②
聯立①②，得P點坐標為(8，5)，
所以kPA＝＝，因此在A處發現P的方位角為北偏東30°.
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟 1.建立適當的坐標系. 2.求出雙曲線的標準方程. 3.根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義).
對點練2.如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2 km，則曲線PQ的軌跡方程是　　　　；現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是　　　km.
答案：x2－＝1(x＞0)　2－2
解析：如圖所示，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.
則｜DA｜－｜DB｜＝2，根據雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.
故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故軌跡方程為x2－＝1(x＞0).
根據題意知C(3，)，｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2.
當A，M，C共線時等號成立.
應用三　拋物線的實際應用問題
河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？
解：如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系.設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上，故p＝，得x2＝－y.當船面兩側和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為AA'，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h＝｜yA｜＋0.75＝2(m).所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時，小船開始不能通航.
　　涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當的平面直角坐標系，利用拋物線的標準方程進行求解.
對點練3.某橋的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
答案：A
解析：如圖所示，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系Oxy.設拋物線為x2＝－2py(p＞0)，結合題意可知，該拋物線經過點，則＝2hp，解得p＝，故橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為p＝.
應用四　圓錐曲線的光學性質的實際應用
在天文望遠鏡的設計中利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點出發的入射光線經雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，M是C的右支上一點，直線l與C相切于點M.由點F2出發的入射光線碰到點M后反射光線為MQ，法線(在光線投射點與分界面垂直的直線)交x軸于點N，此時直線l起到了反射鏡的作用.若＝，則C的離心率為　　　.
答案：
解析：如圖所示，過點F1作F1A⊥l于點A，延長F1A交MF2的延長線于點B.設l上有一點T，由題意可得∠TMQ＝∠F1MA，∠QMN＝∠F2MN.又NM⊥l，所以∠TMQ＝∠F2MA，所以∠F1MA＝∠F2MA，故＝.由雙曲線定義可得－＝2a，故－＝＝2a.因為F1B⊥l，NM⊥l，所以F1B∥MN，故＝ ＝，故離心率為e＝＝＝＝.
對點練4.(多選)橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A，B分別是它的左、右焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是(　　)
A.4a B.2(a－c)
C.2(a＋c) D.4c
答案：ABC
解析：①靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁左頂點反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是2(a－c)；②靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁右頂點反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是2(a＋c)；③靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁(非左、右頂點)反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是4a.故選ABC.
應用五　圓錐曲線在建筑、工藝中的應用
(新情境)單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖①，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖②，最細處的直徑為100 m，樓底的直徑為50 m，樓頂直徑為50 m，最細處距樓底300 m，則該地標建筑的高為(　　)
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
答案：C
解析：以地標建筑的最細處所在直線為x 軸，雙曲線的虛軸為y 軸，建立平面直角坐標系如圖所示，由題意可得A，C(25，－300)，設B，雙曲線的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，則－＝1，將點B－＝1，解得y0＝100，所以該地標建筑的高為300＋100＝400.故選C.
解決和圓錐曲線有關的實際問題的思路 1.通過數學抽象，找出實際問題中涉及的圓錐曲線的類型，將原實際問題轉化為數學問題； 2.確定圓錐曲線的位置及要素，并利用圓錐曲線的方程或幾何性質求出數學問題的解； 3.用解得的結果說明原來的實際問題.
對點練5.清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征.如圖所示，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3 cm，碗蓋口直徑為8 cm，碗體口直徑為10 cm，碗體深6.25 cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為(碗和碗蓋的厚度忽略不計)(　　)
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
答案：C
解析：以碗體的最低點為原點，向上方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.設碗體的拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，將點代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，則x2＝4y.設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為h，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到x2＝4y，得42＝4，解得h＝7.故選C.
1.相距4k千米的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2秒，若聲速每秒k千米，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是(　　)
A.雙曲線的一支　　　　　 B.雙曲線
C.橢圓 D.拋物線
答案：B
解析：由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，
根據雙曲線的定義可知，點P在以A，B為焦點雙曲線上，
則炮彈爆炸點P的軌跡可能是雙曲線.
2.(多選)某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m千米，遠地點B(離地面最遠的點)距地面n千米，并且F，A，B三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則(　　)
A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R
C.2a＝m＋n D.b＝
答案：ABD
解析：因為地球的中心是橢圓的一個焦點，
并且根據圖象可得(*)
所以a－c＝m＋R，故A正確；
a＋c＝n＋R，故B正確；
(*)中兩式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正確；
由(*)可得兩式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
因為a2－c2＝b2，
所以b2＝(m＋R)(n＋R) b＝，故D正確.
3.為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點(　　)
A.0.5 m　　　 B.1 m　　　
C.1.5 m　　　 D.2 m
答案：B
解析：若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，
如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，
設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，集光板端點A(1，0.25) ，
代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標是F(0，1).
所以容器灶圈應距離集光板頂點1 m.
課時測評37　圓錐曲線的應用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.某人造地球衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設地球半徑為R，該衛星近地點離地面的距離為r，則該衛星遠地點離地面的距離為(　　)
A.r＋R　　　 B.r＋R
C.r＋R D.r＋R
答案：A
解析：橢圓的離心率e＝∈(0，1)(c為半焦距，a為長半軸)，
設衛星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖所示
則n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，
c＝，
n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.
2.德國天文學家開普勒發現天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，軌道近日點到太陽中心的距離和遠日點到太陽中心的距離之比是29∶30，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是(　　)
A.　　　　 B.　　　
C.　　　　 D.
答案：A
解析：設橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，
由題意可得＝，
整理得a＝59c，即＝.
所以地球運行軌道所在橢圓的離心率是.
3.如圖所示，拋物線形拱橋的頂點距水面2 m時，測得拱橋內水面寬為12 m，當水面升高1 m后，拱橋內水面寬度是(　　)
A.6 m B.6 m
C.3 m D.3 m
答案：A
解析：以拋物線頂點為坐標原點，平行水面的直線x軸建立直角坐標系，如圖所示，
可設拋物線方程為x2＝my，
因為過點(6，－2)，
所以62＝－2m，m＝－18，x2＝－18y，
令y＝－1，則｜x｜＝3，所以2｜x｜＝6 m.
4.已知水平地面上有一籃球，球的中心為O'，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓(如圖所示)，在平面直角坐標系中，橢圓中心O為原點，設橢圓的方程為＋＝1，籃球與地面的接觸點為H，則｜OH｜的長為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：在照射過程中，橢圓的短半軸長是球的半徑，
由圖得∠O'AB＋∠O'BA＝(∠A'AB＋∠B'BA)＝×180°＝90°，
所以∠AO'B＝90°，由O是中點，故有球心到橢圓中心的距離是橢圓的長半軸長，
過球心向地面做垂線，垂足是H，
在構成的直角三角形O'HO中，OO'2＝OH2＋O'H2，
所以OH＝＝＝.
5.有一凸透鏡其剖面圖(如圖所示)是由橢圓＋＝1和雙曲線－＝1(a＞m＞0)的實線部分組成，已知兩曲線有共同焦點M，N，A，B分別在左右兩部分實線上運動，則△ANB周長的最小值為(　　)
A.2(a－m) B.(a－m)
C.2(b－n) D.2(a＋m)
答案：A
解析：由題得，設周長為l，
l＝｜AB｜＋｜BN｜＋
｜AN｜＝｜AB｜＋2a－
｜BM｜＋｜AM｜－2m，
因為｜AB｜＋｜AM｜≥｜BM｜ l≥2a－2m，
當且僅當M，A，B共線時，△ANB的周長最小.
6.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農場，如圖所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝，tan∠PFE＝－2，試建立適當的平面直角坐標系，求出分別以E，F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程為　　　　　　 　.
答案：－＝1
解析：以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
設以E，F為焦點且過點P的雙曲線方程為－＝1，
焦點為E(－c，0)，F(c，0).
由tan∠PEF＝，tan∠EFP＝－2，
設∠PFx＝α，則tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直線PE和直線PF的方程分別為y＝(x＋c)①
和y＝2(x－c).②
將①②聯立，解得x＝c，y＝c，
即P點坐標為.
在△EFP中，｜EF｜＝2c，EF上的高為點P的縱坐標，
由題設條件S△EFP＝c2＝12，
所以c＝3，即P點坐標為(5，4).
由兩點間的距離公式｜PE｜＝＝4，
｜PF｜＝＝2，｜PE｜－｜PF｜＝2a，
所以a＝，
又b2＝c2－a2＝4，
故所求雙曲線的方程為－＝1.
7.美學四大構件是：史詩、音樂、造型(繪畫、建筑等)和數學.素描是學習繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步.某同學在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫作切面圓柱體)的過程中，發現“切面”是一個橢圓(如圖所示)，若“切面”所在平面與底面成60°角，則該橢圓的離心率為　 　　　.
答案：
解析：橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，“切面”是一個橢圓，由“切面”所在平面與底面成60°角，
可得＝cos 60°，即a＝2b，
所以e＝＝＝.
8.萬眾矚目的北京冬奧會于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場(又名鳥巢)再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40 cm，短軸長為20 cm，小橢圓的短軸長為10 cm，則小橢圓的長軸長為　　　 　　cm.
答案：20
解析：因為兩個橢圓的扁平程度相同，所以橢圓的離心率相同，所以＝，
即＝.
所以 ＝，解得a小＝10.
所以小橢圓的長軸長為20 cm.
9.(10分)某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處，經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發現過魚群，以A，B所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示.
(1)求曲線C的標準方程；
(2)某日，研究人員在A，B兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號(傳播速度相同)，A，B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5∶3，你能否確定P處的位置(即點P的坐標)？
解：(1)由題意知曲線C是以A，B為焦點且2a為8的橢圓，又2c＝4，則c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲線C的方程＋＝1.
(2)由于A，B兩島收到魚群反射信號的時間比為5∶3，因此設魚群此時距A，B兩島的距離比為5∶3，即魚群分別距A，B兩島的距離為5海里和3海里，設P(x，y)，B(2，0)，由｜PB｜＝3，得＝3，
所以
所以點P的坐標為(2，3)或(2，－3).
10.(13分)汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197 mm，反光曲面的頂點到燈口的距離是69 mm.由拋物線的性質可知，當燈泡安裝在拋物線的焦點處時，經反光曲面反射后的光線是平行光線.為了獲得平行光線，應怎樣安裝燈泡？(精確到1 mm)
解：如圖，在車燈的一個軸截面上建立平面直角坐標系，設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，燈泡應安裝在其焦點F處.在x軸上取一點C，使｜OC｜＝69 mm，過點C作x軸的垂線，交拋物線于A，B兩點，線段AB就是燈口的直徑，
即｜AB｜＝197 mm，則點A的坐標為.
將點A的坐標代入方程y2＝2px(p＞0)，解得p≈70，此時焦點F的坐標約為(35，0).
因此，燈泡應安裝在對稱軸上距頂點約35 mm處.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.圓錐曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯系，如圖所示，底面半徑為1，高為3的圓柱內放有一個半徑為1的球，球與圓柱下底面相切，作不與圓柱底面平行的平面α與球相切于點F，若平面α與圓柱側面相交所得曲線為封閉曲線τ，τ是以F為一個焦點的橢圓，則τ的的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：當α與底面趨于平行時τ幾乎成為一個圓，因此離心率可以充分接近0.當α與底面的夾角最大時，τ的離心率達到最大，下面求解這一最大值.如圖，AB為長軸，F為焦點時，e最大，a＋c＝｜BF｜＝｜BG｜＝2，
易知b＝1，所以則e＝＝，則離心率的取值范圍是.
12.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實現了中國人民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為橢圓的一個焦點，如圖所示.假設航天員到地球的最近距離為d1，最遠距離為d2，地球的半徑為R，我們想象存在一個鏡像地球，其中心在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面住著一個神秘生物發射某種神秘信號，需要飛行中的航天員中轉后地球人才能接收到，則傳送神秘信號的最短距離為(　　)
A.d1＋d2＋R B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R D.d1＋d2
答案：D
解析：設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，半焦距為c，兩焦點分別為F1，F2，飛行中的航天員為點P，由已知可得則2a＝d1＋d2＋2R，故傳送神秘信號的最短距離為｜PF1｜＋｜PF2｜－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
13.光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發出；如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C'：－＝1(m＞0，n＞0)有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發，在橢圓與雙曲線間連續反射，則光線經過2k(k∈N＋)次反射后回到左焦點所經過的路徑長為　　　　.
答案：2k(a－m)
解析：光線從左焦點出發經過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，如圖，
｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，
｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，
所以光線經過2k(k∈N＋)次反射后回到左焦點所經過的路徑長為2k(a－m).
14.(15分)某工程需要開挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖)，｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工.
解：如圖，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設M是分界線上的點，則｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50(m)，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.這說明分界線是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a＝25.
而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界線的方程為－＝1(x≥25).
即在運土時，將此分界線左側的土沿道路AP運到P處，右側的土沿道路BP運到P處最省工.
15.(17分)如圖，我區新城公園將在長34米、寬30米的矩形地塊內開鑿一個“撻圓”形水池，水池邊緣由兩個半橢圓＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)組成，其中a＞b＞9，“撻圓”內切于矩形(即“撻圓”與矩形各邊均有且只有一個公共點).
(1)求“撻圓”的方程；
(2)在“撻圓”形水池內建一矩形網箱養殖觀賞魚，若該矩形網箱的一條邊所在直線方程為y＝t(t∈(0，15))，求該網箱所占水面面積的最大值.
解：(1)由題意知b＝15，a＋9＝34，
解得a＝25，b＝15.
所以“撻圓”方程為＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0).
(2)設P(x0，t)為矩形在第一象限內的頂點，Q(x1，t)為矩形在第二象限內的頂點，
則＋＝1，＋＝1，
可得x1＝－x0.
所以內接矩形的面積S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，
當且僅當＝時，S取最大值510.
所以網箱所占水面面積的最大值為510 m2.
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3.5　圓錐曲線的應用
　
第1章　圓錐曲線與方程
學習目標
1.了解圓錐曲線在自然界客觀存在，了解圓錐曲線獨特的幾何性質、物理性質.
2.理解圓錐曲線的幾何性質、物理性質在實際生活、生產實踐中的應用，提升數學建模、邏輯推理、數學運算的核心素養.
應用一　實際生活中的橢圓問題
典例1
√
√

規律方法
解決和橢圓有關的實際問題的思路(數學抽象)
1.通過數學抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉化為數學問題.
2.確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質求出數學問題的解.
3.用解得的結果說明原來的實際問題.

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應用二　雙曲線的實際生活應用
典例2
規律方法
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
1.建立適當的坐標系.
2.求出雙曲線的標準方程.
3.根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義).
對點練2．如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2
km，則曲線PQ的軌跡方程是________________；現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km.

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應用三　拋物線的實際應用問題
典例3
規律方法
　
涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當的平面直角坐標系，利用拋物線的標準方程進行求解.
√

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應用四　圓錐曲線的光學性質的實際應用
典例4


對點練4．(多選)橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A，B分別是它的左、右焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是
A.4a B.2(a－c)
C.2(a＋c) D.4c
√
√
√
①靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁左頂點反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是2(a－c)；②靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁右頂點反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是2(a＋c)；③靜放在點A的小球(小球的半徑不計)從點A沿直線出發，經橢圓壁(非左、右頂點)反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是4a.故選ABC.
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應用五　圓錐曲線在建筑、工藝中的應用
典例5
√

規律方法
解決和圓錐曲線有關的實際問題的思路
1.通過數學抽象，找出實際問題中涉及的圓錐曲線的類型，將原實際問題轉化為數學問題；
2.確定圓錐曲線的位置及要素，并利用圓錐曲線的方程或幾何性質求出數學問題的解；
3.用解得的結果說明原來的實際問題.
對點練5．清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征.如圖所示，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3 cm，碗蓋口直徑為8 cm，碗體口直徑為10 cm，碗體深6.25 cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為(碗和碗蓋的厚度忽略不計)
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8.25 cm
√

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隨堂評價
1.相距4k千米的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2秒，若聲速每秒k千米，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是
A.雙曲線的一支　　　　　 B.雙曲線
C.橢圓 D.拋物線
√
由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，
根據雙曲線的定義可知，點P在以A，B為焦點雙曲線上，
則炮彈爆炸點P的軌跡可能是雙曲線.
√
√
√

3.為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點
A.0.5 m　　　
B.1 m　　　
C.1.5 m　　　
D.2 m
√
若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，
如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，
設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，集光板端點A(1，
0.25) ，
代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標是F(0，1).
所以容器灶圈應距離集光板頂點1 m.
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課時測評
√

√

√
√

√



7.美學四大構件是：史詩、音樂、造型(繪畫、建筑等)和數學.素描是學習繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步.某同學在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫作切面圓柱體)的過程中，發現“切面”是一個橢圓(如圖所示)，若“切面”所在平面與底面成60°
角，則該橢圓的離心率為___.


8.萬眾矚目的北京冬奧會于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場(又名鳥巢)再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40 cm，短軸長為20 cm，小橢圓的短軸長為10 cm，則小橢圓的長軸長為_____cm.
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√

√
12.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實現了中國人民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為橢圓的一個焦點，如圖所示.假設航天員到地球的最近距離為d1，最遠距離為d2，地球的半徑為R，我們想象存在一個鏡像地球，其中心在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面住著一個神秘生物發射某種神秘信號，需要飛行中的航天員中轉后地球人才能接收到，則傳送神秘信號的最短距離為
A.d1＋d2＋R
B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R
D.d1＋d2

2k(a
－m)
光線從左焦點出發經過橢圓反射要回到另一個焦點，
光線從雙曲線的左焦點出發被雙曲線反射后，反射光
線的反向延長線過另一個焦點，如圖，
｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，
｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，
所以光線經過2k(k∈N＋)次反射后回到左焦點所經過的路徑長為2k(a－m).
14.(15分)某工程需要開挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖)，｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工.
解：如圖，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設M是分界線上的點，則｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50(m)，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.這說明分界線是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a＝25.
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