資源簡介

4.1　兩個計數原理
第1課時　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
學習目標 1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義，培養學生直覺觀察、分類討論的邏輯推理能力. 2.通過簡單實際問題的解決提升邏輯推理、數學運算、直觀想象的核心素養.
任務一　分類加法計數原理
如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第 n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能獨立完成這件事，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.我們把分類加法計數原理簡稱為分類計數原理，或加法原理.
某校高三共有三個班，其各班人數如下表：
班級 男生數 女生數 總數
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
(1)從三個班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？
(2)從(1)班、(2)班男生中或從(3)班女生中選一名學生任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？
解：(1)從三個班中任選一名學生，可分三類：
第1類，從高三(1)班任選一名學生，有50種不同選法；
第2類，從高三(2)班任選一名學生，有60種不同選法；
第3類，從高三(3)班任選一名學生，有55種不同選法.
由分類加法計數原理知，不同的選法共有N＝50＋60＋55＝165(種).
(2)由題設知共有三類：
第1類，從(1)班男生中任選一名學生，有30種不同選法；
第2類，從(2)班男生中任選一名學生，有30種不同選法；
第3類，從(3)班女生中任選一名學生，有20種不同選法.
由分類加法計數原理知，不同的選法共有N＝30＋30＋20＝80(種).
分類加法計數原理解題的一般思路
對點練1.連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形的個數為(　　)
A.40　　　　 B.30　　　　
C.20　　　　 D.10
答案：A
解析：由題意知滿足條件的三角形分為兩類：
第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個；
第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個).
由分類加法計數原理，知滿足條件的三角形有8＋32＝40(個).
對點練2.已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P Q.把滿足上述條件的一個有序數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數為(　　)
A.9 B.14
C.15 D.21
答案：B
解析：因為集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P Q，所以x＝y≠1，2或x＝2，y≠1，2.分兩類：①當x＝y≠1，2時，x可取3，4，5，6，7，8，9，則有序數對(x，y)共有7種情況；②當x＝2，y≠1，2時，y可取3，4，5，6，7，8，9，則有序數對(x，y)共有7種情況.由分類加法計數原理，知這樣的點的個數為7＋7＝14.
任務二　分步乘法計數原理
如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.我們把分步乘法計數原理簡稱為分步計數原理，或乘法原理.
有6名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法(不一定6名同學都參加)？
(1)每人恰好參加一項，每項人數不限；
(2)每項只允許報一人，且每人至多參加一項；
(3)每項只允許報一人，但每人參加的項目不限.
解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為36＝729.
(2)每項只允許報一人，且每人至多參加一項，
因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，
第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為6×5×4＝120.
(3)每人參加的項目不限，
因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為63＝216.
分步乘法計數原理解題的一般思路
對點練3.回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99，3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999，則
(1)4位回文數有　　　　個；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文數有　　　　個.
答案：(1)90　(2)9×10n
解析：(1)4位回文數相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，中間兩位相同，有10種填法，共計9×10＝90(種)填法，即4位回文數有90個.
(2)根據回文數的定義，此問題也可以轉化成填方格.由分步乘法計數原理，知2n＋1(n∈N＋)位回文數有9×10n個.
任務三　兩個原理的綜合應用
有一項活動，需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？
解：(1)選1人，可分三類：
第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；
第2類，從男同學中選1人，有8種不同的選法；
第3類，從女同學中選1人，有5種不同的選法.
共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法.
(2)選教師、男同學、女同學各1人，分三步進行：
第1步，選教師，有3種不同的選法；
第2步，選男同學，有8種不同的選法；
第3步，選女同學，有5種不同的選法.
共有3×8×5＝120(種)不同的選法.
使用兩個原理的原則 　　使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數原理.
對點練4.某校高中三年級一班有優秀團員8人，二班有優秀團員10人，三班有優秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地.
(1)推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？
(2)每班選1人為組長，有多少種不同的選法？
(3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？
解：(1)分三類，第一類是從一班的8名優秀團員中產生，共有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優秀團員中產生，共有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優秀團員中產生，共有6種不同的選法，由分類加法計數原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法.
(2)分三步，第一步從一班的8名優秀團員中選1名組長，共有8種不同的選法；第二步從二班的10名優秀團員中選1名組長，共10種不同的選法；第三步是從三班的6名優秀團員中選1名組長，共6種不同的選法，由分步乘法計數原理可得，共有N＝8×10×6＝480(種)不同的選法.
(3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優秀團員中各選1人，有8×10種不同的選法；第二類是從二班、三班的優秀團員中各選1人，有10×6種不同的選法；第三類是從一班、三班的優秀團員中各選1人，有8×6種不同的選法.因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(種)不同的選法.
1.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當組長，不同的選法有(　　)
A.32種　 　 B.9種　 　
C.12種　 　 D.20種
答案：C
解析：由分類加法計數原理知，不同的選法有N＝8＋4＝12(種).
2. 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40 000大的偶數的個數為(　　)
A.144　　　 　 B.120　　　 　
C.96　　　 　 D.72
答案：B
解析：這里大于40 000的數可以分兩類：
①當5在萬位上時，個位上的數字可以是0，2，4三個數中的一個，有3種選法；十位、百位、千位上的數字沒有限制，故分別有4種、3種、2種選法.根據分步乘法計數原理，共有3×4×3×2＝72種選法，即有72個符合要求的數.
②當4在萬位上時，個位上的數字可以是0，2兩個數中的一個，有2種選法；十位、百位、千位上的數字沒有限制，故分別有4種、3種、2種選法.根據分步乘法計數原理，共有2×4×3×2＝48種選法，即有48個符合要求的數.
綜上，總共有72＋48＝120個.故選B.
3.用0，1，2，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為　　　　.
答案：252
解析：用0，1，2，…，9十個數字組成三位數時，0不能在百位上，故百位上的數字有9種選法；十位、個位上的數字可以任意選，都有10種選法.由分步乘法計數原理得，由0，1，2，…，9組成的所有三位數的個數為9×10×10＝900.同理，用0，1，2，…，9組成無重復數字的三位數時，百位上的數字有9種選法，十位上的數字有9種選法，個位上的數字有8種選法.由分步乘法計數原理得，由0，1，2，…，9組成的無重復數字的三位數的個數為9×9×8＝648.故有重復數字的三位數的個數為900－648＝252.
4.書架上放有6本語文書、5本數學書和3本英語書.
(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？
(2)從書架上任取語文書、數學書、英語書各1本，有多少種不同的取法？
解：(1)任取1本，可分三類：
第1類：從語文書中取1本，有6種不同的選法；
第2類：從數學書中取1本，有5種不同的選法；
第3類：從英語書中取1本，有3種不同的選法.
共有6＋5＋3＝14(種)不同的選法.
(2)任取語文書、數學書、英語書各1本，分三步進行：
第1步：取語文書，有6種不同的選法；
第2步：取數學書，有5種不同的選法；
第3步：取英語書，有3種不同的選法；
共有6×5×3＝90(種)不同的選法.
課時測評38　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.設集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程＋＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有(　　)
A.6個　 　 B.8個　 　
C.12個　 　 D.16個
答案：A
解析：因為橢圓的焦點在x軸上，所以m＞n.當m＝4時，n＝1，2，3；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個).
2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符從A，B中選，后兩個字符(允許重復)從a，b，c中選，則不同的編號共有 (　　)
A.8個　　　　 B.9個　　　　
C.12個　　　　 D.18個
答案：D
解析：完成這件事可以分為三步：第一步確定首字符，共有2種方法；第二步確定第二個字符，共有3種方法；第三步確定第三個字符，共有3種方法.所以不同的編號共有2×3×3＝18(個).
3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為(　　)
A.40 B.16
C.13 D.10
答案：C
解析：分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面.故可以確定8＋5＝13個不同的平面.
4.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序實數對(a，b)的個數為(　　)
A.14 B.13
C.12 D.10
答案：B
解析：由題意得，4－4ab≥0，即ab≤1，
當a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；
當a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；
當a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；
當a＝2時，b＝－1，0，有2種可能.
所以共有有序實數對(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13.
5.(多選)現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有(　　)
A.從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法
B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法
C.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法
D.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法
答案：ABC
解析：對于A：分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據分類加法計數原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法，A正確；
對于B：分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法，B正確；
對于C：分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫.由分步乘法計數原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法，C正確；
對于D：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數是N＝3×2＝6.D錯誤，故選ABC.
6.現有A，B兩種類型的車床各一臺，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙兩種車床都會操作，丙只會操作A種車床.現在要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩臺車床，則不同的選派方法有　　　　種.
答案：4
解析：若選甲、乙兩人，則甲操作A種車床，乙操作B種車床，或甲操作B種車床，乙操作A種車床，共有2種選派方法.
若選甲、丙兩人，則甲操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派方法.
若選乙、丙兩人，則乙操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派方法.
故不同的選派方法共有2＋1＋1＝4(種).
7.如圖，某系統由甲、乙、丙3個部件組成，其中有6個接點A，B，C，D，E，F，如果任一接點脫落，整個系統就不能正常工作.現發現系統不能正常工作，那么接點脫落的可能情況共有　　　　種.
答案：63
解析：因為每個接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個接點脫落，則系統就不能正常工作，所以接點脫落的可能情況共有26－1＝63(種).
8.已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x｜x∈A或x∈B}，則當集合C中有且只有一個元素時，C的情況有　　　　種.
答案：7
解析：分兩種情況：當集合C中的元素屬于集合A時，有3種情況；當集合C中的元素屬于集合B時，有4種情況.因為集合A與集合B無公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7種.
9.(10分)某班有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會.
(1)若學校分配給該班1名代表，則有多少種不同的選法？
(2)若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？
解：(1)選出1名代表，可以選男生，也可以選女生，因此完成“選1名代表”這件事分2類：
第1類，從男生中選出1名代表，有28種不同方法；
第2類，從女生中選出1名代表，有20種不同方法.
根據分類加法計數原理，共有28＋20＝48種不同的選法.
(2)完成“選出男、女生代表各1名”這件事，可以分2步完成：
第1步，選1名男生代表，有28種不同方法；
第2步，選1名女生代表，有20種不同方法.
根據分步乘法計數原理，共有28×20＝560種不同的選法.
10.(10分)若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數字中任取兩個不同的數字，則方程所表示的不同直線共有多少條？
解：分兩類完成：
第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條.
第2類，當A，B不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：
第1步，確定A的值，有4種不同的方法；
第2步，確定B的值，有3種不同的方法.
由分步乘法計數原理知，共可確定4×3＝12條直線.
由分類加法計數原理知，方程所表示的不同直線的條數共有2＋12＝14.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11. 中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有(　　)
A.30種 B.50種
C.60種 D.90種
答案：B
解析：①甲同學選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20種，
②甲同學選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30種，
所以總共有20＋30＝50種.故選B.
12.(多選)已知集合A＝{－1，2，3，4}，m，n∈A，則對于方程＋＝1的說法正確的是(　　)
A.可表示3個不同的圓
B.可表示6個不同的橢圓
C.可表示3個不同的雙曲線
D.表示焦點位于x軸上的橢圓有3個
答案：ABD
解析：當m＝n＞0時，方程＋＝1表示圓，故有3個，選項A正確；當m≠n且m，n＞0時，方程＋＝1表示橢圓，焦點在x，y軸上的橢圓分別有3個，故有3×2＝6(個)，選項B正確；若橢圓的焦點在x軸上，則m＞n＞0，當m＝4時，n＝2，3；當m＝3時，n＝2，即所求的橢圓共有2＋1＝3(個)，選項D正確；當mn＜0時，方程＋＝1表示雙曲線，故有3×1＋1×3＝6個，選項C錯誤.
13.如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通.今發現A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有　　　　種.
答案：13
解析：按照焊接點脫落的個數進行分類：
第一類：脫落一個焊接點，只能是脫落1或4，有2種情況；
第二類：脫落兩個焊接點，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共有6種情況；
第三類：脫落三個焊接點，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共有4種情況；
第四類：脫落四個焊接點，只有(1，2，3，4)一種情況.
于是脫落焊接點的情況共有2＋6＋4＋1＝13(種).
14.(13分)現有3名醫生，5名護士，2名麻醉師.
(1)從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法？
(2)從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療小組，有多少種不同的選法？
解：(1)分三類：第一類：選出的是醫生，共有3種選法；
第二類：選出的是護士，共有5種選法；
第三類：選出的是麻醉師，共有2種選法；
根據分類加法計數原理，共有3＋5＋2＝10種選法.
(2)分三步：第一步：選出1名醫生，共有3種選法；
第二步：選出1名護士，共有5種選法；
第三步：選出1名麻醉師，共有2種選法；
根據分步乘法計數原理，共有3×5×2＝30種選法.
15.(5分)如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為(　　)
A.26 B.24
C.20 D.19
答案：D
解析：因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類加法計數原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故單位時間內傳遞的最大信息量為四條不同網線上傳遞的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
16. (17分)某校學生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成.
(1)選其中1人為學生會主席，有多少種不同的選法？
(2)若每年級選1人為校學生會常委，有多少種不同的選法？
(3)若要選出不同年級的兩人參加市里組織的活動，有多少種不同的選法？
解：(1)選其中1人為學生會主席，各年級均可，分三類：N＝5＋6＋4＝15種；
(2)每年級選1人為校學生會常委，可分步從各年級分別選擇，N＝5×6×4＝120種；
(3)要選出不同年級的兩人參加市里組織的活動，首先按年級分三類“一，二年級”，“一，三年級”，“二，三年級”，
再各類分步選擇：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74種.
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第1課時　分類加法計數原理與分步乘
法計數原理
　
第4章　4.1　兩個計數原理
學習目標
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義，培養學生直覺觀察、分類討論的邏輯推理能力.
2.通過簡單實際問題的解決提升邏輯推理、數學運算、直觀想象的核心素養.
任務一　分類加法計數原理
如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第 n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能獨立完成這件事，那么完成這件事共有N＝________________種不同的方法.我們把分類加法計數原理簡稱為分類計數原理，或加法
原理.
新知構建
m1＋m2＋…＋mn
某校高三共有三個班，其各班人數如下表：
(1)從三個班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？
解：從三個班中任選一名學生，可分三類：
第1類，從高三(1)班任選一名學生，有50種不同選法；
第2類，從高三(2)班任選一名學生，有60種不同選法；
第3類，從高三(3)班任選一名學生，有55種不同選法.
由分類加法計數原理知，不同的選法共有N＝50＋60＋55＝165(種).
典例1
班級 男生數 女生數 總數
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
(2)從(1)班、(2)班男生中或從(3)班女生中選一名學生任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？
解：由題設知共有三類：
第1類，從(1)班男生中任選一名學生，有30種不同選法；
第2類，從(2)班男生中任選一名學生，有30種不同選法；
第3類，從(3)班女生中任選一名學生，有20種不同選法.
由分類加法計數原理知，不同的選法共有N＝30＋30＋20＝80(種).
班級 男生數 女生數 總數
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
規律方法
分類加法計數原理解題的一般思路
對點練1．連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形的個數為
A.40　　　　 B.30　　　　
C.20　　　　 D.10
由題意知滿足條件的三角形分為兩類：
第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個；
第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個).
由分類加法計數原理，知滿足條件的三角形有8＋32＝40(個).
√
對點練2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P Q.把滿足上述條件的一個有序數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數為
A.9 B.14
C.15 D.21
因為集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P Q，所以x＝y≠1，2或x＝2，y≠1，2.分兩類：①當x＝y≠1，2時，x可取3，4，5，6，7，8，9，則有序數對(x，y)共有7種情況；②當x＝2，y≠1，2時，y可取3，4，5，6，7，8，9，則有序數對(x，y)共有7種情況.由分類加法計數原理，知這樣的點的個數為7＋7＝14.
√
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任務二　分步乘法計數原理
如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有N＝________________種不同的方法.我們把分步乘法計數原理簡稱為分步計數原理，或乘法原理.
新知構建
m1×m2×…×mn
有6名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法(不一定6名同學都參加)？
(1)每人恰好參加一項，每項人數不限；
解：每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為36＝729.
典例2
(2)每項只允許報一人，且每人至多參加一項；
解：每項只允許報一人，且每人至多參加一項，
因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，
第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為6×5×4＝120.
(3)每項只允許報一人，但每人參加的項目不限.
解：每人參加的項目不限，
因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽.
根據分步乘法計數原理，
可得不同的報名方法種數為63＝216.
規律方法
分步乘法計數原理解題的一般思路
對點練3．回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99，3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999，則
(1)4位回文數有_____個；
90
4位回文數相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，中間兩位相同，有10種填法，共計9×10＝90(種)填法，即4位回文數有90個.
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文數有_______個.
9×10n
根據回文數的定義，此問題也可以轉化成填方格.由分步乘法計數原理，知2n＋1(n∈N＋)位回文數有9×10n個.
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任務三　兩個原理的綜合應用
有一項活動，需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？
解：選1人，可分三類：
第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；
第2類，從男同學中選1人，有8種不同的選法；
第3類，從女同學中選1人，有5種不同的選法.
共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法.
典例3
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？
解：選教師、男同學、女同學各1人，分三步進行：
第1步，選教師，有3種不同的選法；
第2步，選男同學，有8種不同的選法；
第3步，選女同學，有5種不同的選法.
共有3×8×5＝120(種)不同的選法.
規律方法
使用兩個原理的原則
　　使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數原理.
對點練4．某校高中三年級一班有優秀團員8人，二班有優秀團員10人，三班有優秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地.
(1)推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？
解：分三類，第一類是從一班的8名優秀團員中產生，共有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優秀團員中產生，共有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優秀團員中產生，共有6種不同的選法，由分類加法計數原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法.
(2)每班選1人為組長，有多少種不同的選法？
解：分三步，第一步從一班的8名優秀團員中選1名組長，共有8種不同的選法；第二步從二班的10名優秀團員中選1名組長，共10種不同的選法；第三步是從三班的6名優秀團員中選1名組長，共6種不同的選法，由分步乘法計數原理可得，共有N＝8×10×6＝480(種)不同的選法.
(3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的
選法？
解：分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優秀團員中各選1人，有8×10種不同的選法；第二類是從二班、三班的優秀團員中各選1人，有10×6種不同的選法；第三類是從一班、三班的優秀團員中各選1人，有8×6種不同的選法.因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(種)不同的選法.
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隨堂評價
1.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當組長，不同的選法有
A.32種　 　 B.9種　 　
C.12種　 　 D.20種
√
由分類加法計數原理知，不同的選法有N＝8＋4＝12(種).
2. 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40 000大的偶數的個數為
A.144　　　 　 B.120　　　 　
C.96　　　 　 D.72
√
這里大于40 000的數可以分兩類：
①當5在萬位上時，個位上的數字可以是0，2，4三個數中的一個，有3種選法；十位、百位、千位上的數字沒有限制，故分別有4種、3種、2種選法.根據分步乘法計數原理，共有3×4×3×2＝72種選法，即有72個符合要求的數.
②當4在萬位上時，個位上的數字可以是0，2兩個數中的一個，有2種選法；十位、百位、千位上的數字沒有限制，故分別有4種、3種、2種選法.根據分步乘法計數原理，共有2×4×3×2＝48種選法，即有48個符合要求的數.
綜上，總共有72＋48＝120個.故選B.
3.用0，1，2，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為____.
用0，1，2，…，9十個數字組成三位數時，0不能在百位上，故百位上的數字有9種選法；十位、個位上的數字可以任意選，都有10種選法.由分步乘法計數原理得，由0，1，2，…，9組成的所有三位數的個數為9×10×10＝900.同理，用0，1，2，…，9組成無重復數字的三位數時，百位上的數字有9種選法，十位上的數字有9種選法，個位上的數字有8種選法.由分步乘法計數原理得，由0，1，2，…，9組成的無重復數字的三位數的個數為9×9×8＝648.故有重復數字的三位數的個數為900－648＝252.
252
4.書架上放有6本語文書、5本數學書和3本英語書.
(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？
解：任取1本，可分三類：
第1類：從語文書中取1本，有6種不同的選法；
第2類：從數學書中取1本，有5種不同的選法；
第3類：從英語書中取1本，有3種不同的選法.
共有6＋5＋3＝14(種)不同的選法.
(2)從書架上任取語文書、數學書、英語書各1本，有多少種不同的取法？
解：(任取語文書、數學書、英語書各1本，分三步進行：
第1步：取語文書，有6種不同的選法；
第2步：取數學書，有5種不同的選法；
第3步：取英語書，有3種不同的選法；
共有6×5×3＝90(種)不同的選法.
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課時測評
因為橢圓的焦點在x軸上，所以m＞n.當m＝4時，n＝1，2，3；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個).
√
2.給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符從A，B中選，后兩個字符(允許重復)從a，b，c中選，則不同的編號共有
A.8個　　　　 B.9個　　　　
C.12個　　　　 D.18個
√
完成這件事可以分為三步：第一步確定首字符，共有2種方法；第二步確定第二個字符，共有3種方法；第三步確定第三個字符，共有3種方法.所以不同的編號共有2×3×3＝18(個).
3.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為
A.40 B.16
C.13 D.10
√
分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面.故可以確定8＋5＝13個不同的平面.
4.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序實數對(a，b)的個數為
A.14 B.13
C.12 D.10
由題意得，4－4ab≥0，即ab≤1，
當a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；
當a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；
當a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；
當a＝2時，b＝－1，0，有2種可能.
所以共有有序實數對(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13.
√
5.(多選)現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有
A.從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法
B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法
C.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法
D.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法
√
√
√
對于A：分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據分類加法計數原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法，A正確；
對于B：分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法，B
正確；
對于C：分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫.由分步乘法計數原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的
選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法，C正確；
對于D：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數是N＝3×2＝6.D錯誤，故選ABC.
6.現有A，B兩種類型的車床各一臺，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙兩種車床都會操作，丙只會操作A種車床.現在要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩臺車床，則不同的選派方法有____種.
4
若選甲、乙兩人，則甲操作A種車床，乙操作B種車床，或甲操作B種車床，乙操作A種車床，共有2種選派方法.
若選甲、丙兩人，則甲操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派
方法.
若選乙、丙兩人，則乙操作B種車床，丙操作A種車床，共有1種選派
方法.
故不同的選派方法共有2＋1＋1＝4(種).
7.如圖，某系統由甲、乙、丙3個部件組成，其中有6個接點A，B，C，D，E，F，如果任一接點脫落，整個系統就不能正常工作.現發現系統不能正常工作，那么接點脫落的可能情況共有____種.
因為每個接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個接點脫落，則系統就不能正常工作，所以接點脫落的可能情況共有26－1＝63(種).
63
8.已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x｜x∈A或x∈B}，則當集合C中有且只有一個元素時，C的情況有___種.
分兩種情況：當集合C中的元素屬于集合A時，有3種情況；當集合C中的元素屬于集合B時，有4種情況.因為集合A與集合B無公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7種.
7
9.(10分)某班有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會.
(1)若學校分配給該班1名代表，則有多少種不同的選法？
解：選出1名代表，可以選男生，也可以選女生，因此完成“選1名代表”這件事分2類：
第1類，從男生中選出1名代表，有28種不同方法；
第2類，從女生中選出1名代表，有20種不同方法.
根據分類加法計數原理，共有28＋20＝48種不同的選法.
(2)若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？
解：完成“選出男、女生代表各1名”這件事，可以分2步完成：
第1步，選1名男生代表，有28種不同方法；
第2步，選1名女生代表，有20種不同方法.
根據分步乘法計數原理，共有28×20＝560種不同的選法.
10.(10分)若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數字中任取兩個不同的數字，則方程所表示的不同直線共有多少條？
解：分兩類完成：
第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條.
第2類，當A，B不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：
第1步，確定A的值，有4種不同的方法；
第2步，確定B的值，有3種不同的方法.
由分步乘法計數原理知，共可確定4×3＝12條直線.
由分類加法計數原理知，方程所表示的不同直線的條數共有2＋12＝14.
√
11. 中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有
A.30種 B.50種
C.60種 D.90種
①甲同學選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20種，
②甲同學選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30種，
所以總共有20＋30＝50種.故選B.
√
√
√

13.如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通.今發現A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_____種.
13
按照焊接點脫落的個數進行分類：
第一類：脫落一個焊接點，只能是脫落1或4，有2種情況；
第二類：脫落兩個焊接點，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共有6種情況；
第三類：脫落三個焊接點，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共有4種情況；
第四類：脫落四個焊接點，只有(1，2，3，4)一種情況.
于是脫落焊接點的情況共有2＋6＋4＋1＝13(種).
14.(13分)現有3名醫生，5名護士，2名麻醉師.
(1)從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法？
解：分三類：第一類：選出的是醫生，共有3種選法；
第二類：選出的是護士，共有5種選法；
第三類：選出的是麻醉師，共有2種選法；
根據分類加法計數原理，共有3＋5＋2＝10種選法.
(2)從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療小組，有多少種不同的選法？
解：分三步：第一步：選出1名醫生，共有3種選法；
第二步：選出1名護士，共有5種選法；
第三步：選出1名麻醉師，共有2種選法；
根據分步乘法計數原理，共有3×5×2＝30種選法.
15.(5分)如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的線段表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為
A.26
B.24
C.20
D.19
√
因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類加法計數原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故單位時間內傳遞的最大信息量為四條不同網線上傳遞的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
16. (17分)某校學生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成.
(1)選其中1人為學生會主席，有多少種不同的選法？
解：選其中1人為學生會主席，各年級均可，分三類：N＝5＋6＋4＝15種；
(2)若每年級選1人為校學生會常委，有多少種不同的選法？
解：每年級選1人為校學生會常委，可分步從各年級分別選擇，N＝5×6×4＝120種；
(3)若要選出不同年級的兩人參加市里組織的活動，有多少種不同的選法？
解：要選出不同年級的兩人參加市里組織的活動，首先按年級分三類“一，二年級”，“一，三年級”，“二，三年級”，
再各類分步選擇：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74種.
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