資源簡介

4.2　排列
第1課時　排列與排列數(shù)
學(xué)習(xí)目標 1.通過實例，理解并掌握排列的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 2.理解排列數(shù)的意義，能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單具體問題的排列數(shù)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 3.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　排列的概念
1.定義
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.排列相同的條件
兩個排列相同，當且僅當這個排列的元素及其排列順序完全相同.
下列問題是排列問題的為　　　　.
①選2個小組分別去植樹和種菜；
②選2個小組分別去種菜；
③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；
④從1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)字相除；
⑤10個車站，站與站間的車票.
答案：①③④⑤
解析：①植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題；
②不存在順序問題，不是排列問題；
③存在順序問題，是排列問題；
④兩個數(shù)相除與這兩個數(shù)的順序有關(guān)，是排列問題；
⑤車票使用時有起點和終點之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題.
判斷一個具體問題是否為排列問題的思路
對點練1.判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；
(2)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；
(3)選3個人分別擔任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員.
解：(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.
(2)不存在順序問題，不屬于排列問題.
(3)每個人的職務(wù)不同，例如甲當班長或當學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.
所以在上述各題中(3)是排列問題，(1)(2)不是排列問題.
任務(wù)二　排列數(shù)及排列數(shù)公式
排列數(shù) 定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，所有不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)
符號表示
全排列 從n個不同的元素取出n個不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n個元素的一個全排列.此時， ＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1
階乘 正整數(shù)1到n的連乘積，叫作n的階乘，用n！表示.于是，n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成＝n！.規(guī)定0！＝1
乘積式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，且m≤n)
階乘式 ＝(m，n∈N＋，且m≤n)
(1)計算；
(2)求證：＋2＋3＋…＋n＝(n＋1)！－1.
解：(1)法一：
＝
＝
＝.
法二：＝＝＝.
(2)證明：法一：因為＝2－＝－，
2＝3－＝－，
3＝4－＝－，
…
n＝(n＋1)－＝－，
所以左邊＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－
＝(n＋1)！－1
＝右邊，
所以原式成立.
法二：因為(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝n＋＝n＋n＝n＋(n－1)＋＝n＋(n－1)＋(n－2)＋＝…＝n＋(n－1)＋…＋2＋＋，
所以(n＋1)！－＝＋2＋3＋…＋n，
所以原式成立.
排列數(shù)公式的選擇 1.排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù). 2.排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算.
對點練2.解不等式：3＞4.
解：由3＞4，得＞，
所以＞，
化簡得x2－19x＋78＞0，解得x＜6或x＞13.
又1≤x≤8且1≤x－1≤9，x∈N＋，
所以2≤x＜6，x∈N＋，所以x＝2，3，4，5，
即不等式的解集為{2，3，4，5}.
任務(wù)三　排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用
(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？
(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？
解：(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有＝7×6×5＝210(種)不同的送法.
(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的送法7×7×7＝343(種).
解簡單排列應(yīng)用題的思路 1.認真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序. 2.如果是的話，再進一步分析，這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素的每一種排列對應(yīng)的是什么事件. 3.運用排列數(shù)公式求解.
對點練3.(1)一天有6節(jié)課，安排6門學(xué)科，一天的課程表有幾種排法？
(2)將4名體育生，4名美術(shù)生分配到4個不同的班，每個班要分配一名體育生和一名美術(shù)生，共有多少種分配方案？
解：(1)這是6個元素的全排列問題，其排列數(shù)，即為一天的課程的排法種數(shù).
(2)解決這類問題可以分為兩步：
第1步：把4名體育生分配到4個不同的班有種方法，第2步：把4名美術(shù)生分配到4個不同的班，有種方法，由分步乘法計數(shù)原理得共有N＝＝576(種)分配方案.
1.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(　　)
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
答案：C
解析：從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
2.若＝10，則n＝(　　)
A.6　　　 　 B.7　　　 　
C.8　　　 　 D.9
答案：C
解析：因為＝10，所以n≥3，n∈N＋，
所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，
即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8.故選C.
3.從a，b，c，d這4個字母中，每次取出2個字母的所有排列有　　　　個.
答案：12
解析：畫出樹形圖如圖所示：
因此，共計有12個不同的排列，它們是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
4.求證：＝＝(n＋1).
證明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2，
(n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
綜上，＝＝(n＋1).
課時測評40　排列與排列數(shù)
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.(多選)下面問題中，不是排列問題的是(　　)
A.由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人抽樣調(diào)查
D.從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合
答案：BCD
解析：選項A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項B，C，D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關(guān).
2.89×90×91×92×…×100可表示為(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
答案：C
解析：89×90×91×92×…×100＝＝＝.
3.已知－＝10，則n的值為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：B
解析：由－＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
4.2022北京車展期間，某調(diào)研機構(gòu)準備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為(　　)
A.12 B.24
C.36 D.60
答案：D
解析：由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有5×4×3＝60(種).
5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(　　)
A.6 B.4
C.8 D.10
答案：B
解析：列樹形圖如下：
故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種.
6.＝　　　　.
答案：36
解析：＝＝36.
7.滿足不等式＞12的最小正整數(shù)n的值為　　　　.
答案：10
解析：＝＝＞12
得：(n－5)(n－6)＞12.
解得： n＞9或n＜2(應(yīng)舍去).
8.從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成　　　　個以b為首的不同的排列，它們分別是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析：畫出樹形圖如下：
可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
9.(10分)(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)；
(2)計算；
(3)求證－＝m.
解：(1)因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個元素，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝.
(2)
＝
＝＝1.
(3)證明：法一：因為－＝－
＝·＝·
＝m·＝m，
所以－＝m.
法二：表示從n＋1個元素中取出m個元素的排列個數(shù)，其中不含元素a1的有個.
含有a1的可這樣進行排列：
先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m－1個元素排在剩下的m－1個位置上，有種排法.
故＝m＋，
所以m＝－.
10.(10分)判斷下列問題是否為排列問題.
(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？
(2)從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程＋＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程－＝1？
(3)平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？
解：(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題.
(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線－＝1中，不管a＞b還是a＜b，方程－＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.
(3)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.已知自然數(shù)x滿足3＝2＋6，則x＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：因為自然數(shù)x滿足3＝2＋6，
所以3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，由x是正自然數(shù)，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，所以x＝4.
12.一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字(如735，414等)，那么，這樣的三位數(shù)共有(　　)
A.240個 B.249個
C.285個 D.330個
答案：C
解析：因為十位上的數(shù)字既小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字，
所以當十位數(shù)字是0時有9×9＝81種結(jié)果，
當十位數(shù)字是1時有8×8＝64種結(jié)果，
當十位數(shù)字是2時有7×7＝49種結(jié)果，
當十位數(shù)字是3時有6×6＝36種結(jié)果，
當十位數(shù)字是4時有5×5＝25種結(jié)果，
當十位數(shù)字是5時有4×4＝16種結(jié)果，
當十位數(shù)字是6時有3×3＝9種結(jié)果，
當十位數(shù)字是7時有2×2＝4種結(jié)果，
當十位數(shù)字是8時有1種結(jié)果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285種結(jié)果.
13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圓的個數(shù)為　　　個.
答案：24
解析：確定圓的方程可分三步：確定a有3種方法，確定b有4種方法，確定r有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知N＝3×4×2＝24(個).
14.(13分)從0，1，2，3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù).
(1)能組成多少個不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù).
(2)若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數(shù)共有多少個，并寫出這些三位數(shù).
解：(1)組成三位數(shù)分三個步驟：
第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；
第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；
第三步：選個位上的數(shù)字，有2種不同的排法.
由分步乘法計數(shù)原理得共有3×3×2＝18(個)不同的三位數(shù).
畫出下列樹形圖：
由樹形圖知，所有的三位數(shù)為102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接畫出樹形圖：
由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)有8個：201，210，230，231，301，302，310，312.
15.(5分)(多選)下列各式中與排列數(shù)相等的是(　　)
A.　　　　 B.n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D.·
答案：AD
解析：因為＝，
而·＝n·＝，
所以＝·.故選AD.
16.(17分)某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療效試驗，但a1，a2兩種藥只能同時用或同時不用，a3，b4兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.
解：如圖，由樹形圖可寫出所有不同試驗方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14種.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)(共45張PPT)
第1課時　排列與排列數(shù)
　
第4章　4.2　排列
學(xué)習(xí)目標
1.通過實例，理解并掌握排列的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.理解排列數(shù)的意義，能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單具體問題的排列數(shù)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
3.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　排列的概念
1.定義
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，按照____________排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.排列相同的條件
兩個排列相同，當且僅當這個排列的______及其__________完全相同.
新知構(gòu)建
一定的順序
元素
排列順序
下列問題是排列問題的為__________.
①選2個小組分別去植樹和種菜；
②選2個小組分別去種菜；
③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；
④從1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)字相除；
⑤10個車站，站與站間的車票.
典例1
①③④⑤
①植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題；
②不存在順序問題，不是排列問題；
③存在順序問題，是排列問題；
④兩個數(shù)相除與這兩個數(shù)的順序有關(guān)，是排列問題；
⑤車票使用時有起點和終點之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題.
規(guī)律方法
判斷一個具體問題是否為排列問題的思路
對點練1．判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；
解：票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.
(2)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；
解：不存在順序問題，不屬于排列問題.
(3)選3個人分別擔任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員.
解：每個人的職務(wù)不同，例如甲當班長或當學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.
所以在上述各題中(3)是排列問題，(1)(2)不是排列問題.
返回
任務(wù)二　排列數(shù)及排列數(shù)公式
新知構(gòu)建
排列數(shù)定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，所有__________的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)
符號表示
全排列
階乘
乘積式
階乘式
不同排列
n(n－1)(n－2)×…×3×2×1
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
典例2
規(guī)律方法
排列數(shù)公式的選擇
1.排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù).
2.排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算.
返回
任務(wù)三　排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用
典例3
規(guī)律方法
解簡單排列應(yīng)用題的思路
1.認真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有
順序.
2.如果是的話，再進一步分析，這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素的每一種排列對應(yīng)的是什么事件.
3.運用排列數(shù)公式求解.
返回
隨堂評價
1.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
√
從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
√
3.從a，b，c，d這4個字母中，每次取出2個字母的所有排列有____個.
畫出樹形圖如圖所示：
因此，共計有12個不同的排列，它們是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
12
返回
課時測評
1.(多選)下面問題中，不是排列問題的是
A.由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人抽樣調(diào)查
D.從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合
選項A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項B，C，D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關(guān).
√
√
√
√
√
4.2022北京車展期間，某調(diào)研機構(gòu)準備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為
A.12 B.24
C.36 D.60
由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有5×4×3＝60(種).
√
5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為
A.6 B.4
C.8 D.10
√
列樹形圖如下：
故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種.
36

10
8.從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成____個以b為首的不同的排列，它們分別是________________________________________
____________________.
畫出樹形圖如下：
可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
10.(10分)判斷下列問題是否為排列問題.
(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？
解：第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題.
√
√
12.一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字(如735，414等)，那么，這樣的三位數(shù)共有
A.240個 B.249個
C.285個 D.330個
因為十位上的數(shù)字既小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字，
所以當十位數(shù)字是0時有9×9＝81種結(jié)果，
當十位數(shù)字是1時有8×8＝64種結(jié)果，
當十位數(shù)字是2時有7×7＝49種結(jié)果，
當十位數(shù)字是3時有6×6＝36種結(jié)果，
當十位數(shù)字是4時有5×5＝25種結(jié)果，
當十位數(shù)字是5時有4×4＝16種結(jié)果，
當十位數(shù)字是6時有3×3＝9種結(jié)果，
當十位數(shù)字是7時有2×2＝4種結(jié)果，
當十位數(shù)字是8時有1種結(jié)果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285種結(jié)果.
13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圓的個數(shù)為____個.
24
確定圓的方程可分三步：確定a有3種方法，確定b有4種方法，確定r有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知N＝3×4×2＝24(個).
14.(13分)從0，1，2，3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù).
(1)能組成多少個不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù).
解：組成三位數(shù)分三個步驟：
第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；
第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；
第三步：選個位上的數(shù)字，有2種不同的排法.
由分步乘法計數(shù)原理得共有3×3×2＝18(個)不同的三位數(shù).
畫出下列樹形圖：

由樹形圖知，所有的三位數(shù)為102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數(shù)共有多少個，并寫出這些三位數(shù).
解：直接畫出樹形圖：
由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)有8個：201，210，230，231，301，302，310，312.
√
√
16.(17分)某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療效試驗，但a1，a2兩種藥只能同時用或同時不用，a3，b4兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.
解：如圖，由樹形圖可寫出所有不同試驗方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14種.
返回

展開更多......

收起↑