資源簡介

第2課時　組合數的綜合應用
學習目標 1.能用組合知識求解具有限制條件的組合問題. 2.能用排列與組合解決與幾何有關的問題、分組分配等問題. 3.通過幾種有限制條件的組合實例的學習，提升數學建模、邏輯推理、數學運算的核心素養.
應用一　簡單的組合問題
(1)將5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里至多放一個球，則不同的放法有(　　)
A.種　　　　　　　　 B.種
C.58種 D.85種
(2)將5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里至多放一個球，則不同的放法有(　　)
A.種 B.種
C.58種 D.85種
(3)將5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里放球數量不限，則不同的放法有(　　)
A.種 B.種
C.58種 D.85種
答案：(1)A　(2)B　(3)D
解析：(1)由于球不相同，盒子不同，每個盒里至多放一個球，所以取出5個盒子放不同的球，共有種不同的放法.
(2)由于球都相同，盒子不同，每個盒里至多放一個球，所以只要選出5個不同的盒子即可，故共有種不同的放法.
(3)由于每個盒里放球數量不限，所以第1個球有8種放法，第2個球有8種放法，…，第5個球也有8種放法.故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85(種).
1.解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關. 2.要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定要注意有無重復或遺漏.
對點練1.在一次數學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓.在下列條件下，各有多少種不同的選法？
(1)甲、乙、丙3人必須參加；
(2)甲、乙、丙3人不能參加；
(3)甲、乙、丙3人只能有1人參加.
解：(1)甲、乙、丙3人必須參加，則只需從另外9人中選2人，不同的選法種數為＝36.
(2)甲、乙、丙3人不能參加，則只需從另外9人中選5人，不同的選法種數為＝126.
(3)甲、乙、丙3人只能有1人參加，可分兩步：
第1步，從甲、乙、丙三人中選1人，有種選法；
第2步，從另外9人中選4人，有種選法.
根據分步乘法計數原理，可得不同的選法種數為＝378.
應用二　不同元素分組、分配問題
有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？
(1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本；
(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；
(3)分成三組，每組都是2本；
(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？
解：(1)分三步：先選一本有種選法，再從余下的5本中選兩本有種選法，最后余下的三本全選有種選法.由分步乘法計數原理知，分配方式共有··＝60(種).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三個人，在(1)問的基礎上，還應考慮再分配問題.因此，分配方式共有···＝360(種).
(3)先分三組，有種分法，但是這里面出現了重復，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共種情況，而這種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種).
(4)在(3)的基礎上再分配即可，共有分配方式·＝90(種).
(5)可以分為三類情況：①“2，2，2型”，有＝90(種)方法；②“1，2，3型”，有＝360(種)方法；③“1，1，4型”，有＝90(種)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(種)方法.
“分組”與“分配”問題的解法 1.分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種： (1)完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！； (2)部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！； (3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象. 2.分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.
對點練2.(1)某科室派出4名調研員到3個學校調研高三復習備考近況，要求每個學校至少1名，則不同的分配方案種數為　　　　；
(2)若將9名教師分到3所中學任教，一所1名，一所3名，一所5名，則有　　　　種不同的分法.
答案：(1)36　(2)3 024
解析：(1)分兩步完成：
第一步，將4名調研員按2，1，1分成3組，其分法有種；
第二步，將分好的3組分配到3個學校，其分法有種，
所以滿足條件的分配方案有·＝36(種).
(2)將9名教師分組，分三步完成：
第一步，在9名教師中任取1名作為一組，有種分法；
第二步，在余下的8名教師中任取3名作為一組，有種分法；
第三步，余下的5名教師作為一組，有種分法，
根據分步乘法計數原理，共有＝504種分法.
再將這3組教師分配到3所中學，有＝6種分法，
故共有504×6＝3 024種不同的分法.
應用三　相同元素分配問題
6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數.
(1)每個盒子都不空；
(2)恰有一個空盒子；
(3)恰有兩個空盒子.
解：(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有＝10(種).
(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進行.先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如｜0｜000｜00｜，有種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如｜0｜000｜｜00｜，有種插法，故共有·＝40(種).
(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進行.
先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有種插法，如｜00｜0000｜，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.
①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，
如｜｜00｜｜0000｜，有種插法.
②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如｜00｜｜｜0000｜，有種插法.
故共有·(＋)＝30(種).
1.隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題. 2.將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有種方法.可描述為n－1個空中插入m－1塊板.
對點練3.(1)10個數學競賽名額，分給一、二、三、四、五這5個不同的班級，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方法？
(2)20個不加區別的小球放入標有1號、2號、3號的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于它的編號數，不同的放法種數是多少？
解：(1)由于數學競賽名額是完全相同的，且每班至少1個名額，將10個名額排成一排，中間形成9個空隙，插入4塊擋板分為5堆，分別分給一、二、三、四、五這5個班級，有＝126(種)分配方法.
(2)由于小球是完全相同的，先在編號為2，3的盒內分別放入1個球，2個球，還剩17個小球.三個盒內每個至少再放入1個，將17個球排成一排，中間形成16個空隙，插入2塊擋板分為三堆，分別放入三個盒子中，共有＝120(種)放法.
應用四　與幾何有關的組合應用題
如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.
(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？
(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？
解：(1)法一：C1至C6中任取3個點構成個三角形；
D1至D4中任取2個點，C1至C6中任取1個點構成個三角形；C1至C6中任取2個點，D1至D4中任取1個點構成個三角形，故一共可作出三角形＋·＋·＝116(個).
其中以C1為頂點的三角形，有以下三種：
以C1為頂點，C2至C6中取2點，構成個三角形；
以C1為頂點，D1至D4中取2點，構成個三角形；
以C1為頂點，C2至C6中取1點，D1至D4中取一點，
構成個三角形，故一共有＋·＋＝36(個).
法二：可作三角形－＝116(個)，
其中以C1為頂點的三角形有＋·＋＝36(個).
(2)分三類：①C1至C6中任取4個點有個四邊形；
②C1至C6中任取3個點，線段AB上取1個點有個四邊形；
③C1到C6中任取2個點，線段AB上取2個點有，故一共可作出四邊形＋·＋·＝360(個).
1.圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法. 2.在處理幾何問題中的組合問題時，應將幾何問題抽象成組合問題來解決.
對點練4.平面上有9個點，其中4個點在同一條直線上(4個點之間的距離各不相等)，此外任何三點不共線.
(1)過每兩點連線，可得幾條直線？
(2)以一點為端點，作過另一點的射線，這樣的射線可作出幾條？
(3)分別以其中兩點為起點和終點，最多可作出幾個向量？
解： (1)任取兩點共有種取法，共線四點任取兩點有種取法，所以共有直線－＋1＝31條.
(2)不共線的五點可連得條射線，共線的四點中，外側兩點各可發出1條射線，內部兩點各可發出2條射線，而在不共線的五點中取一點，共線的四點中取一點而形成的射線有條，故共有＋2×1＋2×2＋＝66條射線.
(3)任意兩點之間，可有方向相反的2個向量各不相等，則可有＝72個向量.
1.某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“演講團”“吉他協會”等五個社團，若每名同學必須參加且只能參加一個社團且每個社團至多2人參加，則這6名同學中沒有人參加“演講團”的不同參加方法種數為 (　　)
A.3 600　　 B.1 080　　
C.1 440　　 D.2 520
答案：C
解析：由于每名同學必須參加且只能參加一個社團且每個社團至多2人參加，因此可以將問題看成是將6名同學分配到除“演講團”外的四個社團或三個社團，可以分兩類：第一類，先將6人分成四組，分別為1人，1人，2人，2人，再分配到四個社團，不同的參加方法種數為·＝1 080；第二類，將6人平均分成三組，再分配到除“演講團”外的四個社團中的任意三個社團，不同的參加方法種數為·＝360，所以不同的參加方法種數為1 080＋360＝1 440，故選C.
2.空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線、四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為(　　)
A.205 B.110
C.204 D.200
答案：A
解析：從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為－＝205.
3. CES(國際消費類電子產品展覽會)是世界上最大的消費類電子技術展，也是全球最大的消費技術產業盛會.2020年CES在美國拉斯維加斯舉辦，在這次展會上，中國某企業發布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機，驚艷全場.現有媒體想來該企業采訪，若該企業從甲、乙等7名員工中選出3名員工負責接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作)，再從剩余的4名員工中選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機性能，若甲和乙至多有1人負責接待工作，則不同的安排方案共有　　　　種.
答案：360
解析：先安排接待工作，分兩類：一類是沒安排甲、乙兩人負責接待工作，有種方案；
另一類是安排甲、乙中的1人負責接待工作，有種方案.
再從余下的4人中選2人分別在上午、下午講解該款手機性能，共有種方案，
故不同的安排方案共有(＋＝360(種).
4.高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動.
(1)其中某一女生必須在內，不同的取法有多少種？
(2)其中某一女生不能在內，不同的取法有多少種？
(3)恰有2名女生在內，不同的取法有多少種？
(4)至少有2名女生在內，不同的取法有多少種？
(5)至多有2名女生在內，不同的取法有多少種？
解：(1)從余下的34名學生中選取2名，有＝561(種).
所以不同的取法有561種.
(2)從34名可選學生中選取3名，有種.或者－＝＝5 984(種).
所以不同的取法有5 984種.
(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有＝2 100(種).所以不同的取法有2 100種.
(4)選取2名女生有種，選取3名女生有種，共有選取方式N＝＋＝2 100＋455＝2 555(種).
所以不同的取法有2 555種.
(5)選取3名的總數有種，因此選取方式共有N＝－＝6 545－455＝6 090(種).
所以不同的取法有6 090種.
課時測評43　組合數的綜合應用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.從6雙不同顏色的鞋子中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有(　　)
A.480種　　 B.255種　　
C.240種　　 D.120種
答案：C
解析：先從6雙鞋中任選一雙，有＝6種方法，然后在剩下的5雙中任選2雙，有＝10種方法，再在每雙中任取一只，有＝4種方法.由分步乘法計數原理，得恰好有一雙同色的取法有6×10×4＝240(種).故選C.
2.已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為 (　　)
A.33 B.34
C.35 D.36
答案：A
解析：①當從集合B中取元素2時，再從集合C中任取一個元素，則確定的不同點有＝18(個)；
②當從集合B中取元素1，且從集合C中取元素1時，確定的不同點有＝3(個)；
③當從集合B中取元素1，且從集合C中取出元素3或4時，確定的不同點有＝12(個).
由分類加法計數原理，得確定的不同點的個數為18＋3＋12＝33.故選A.
3.如圖是2024年法國巴黎奧運會和殘奧會吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會的吉祥物有一個“腿”被設計成了假肢，現將4個奧運會吉祥物和2個殘奧會吉祥物排成一排，則不同的排法有(　　)
A.6種 B.12種
C.15種 D.60種
答案：C
解析：從一排的6個位置選2個擺放殘奧會吉祥物即可(剩下的4個位置放奧運會吉祥物)，＝15.故選C.
4.北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：首先從14人中選出12人共種，然后將12人平均分為3組共種，然后這兩步相乘，得.將三組分配下去共×＝種.故選A.
5.(多選)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是(　　)
A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C.甲乙不相鄰的排法種數為72種
D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種
答案：ABCD
解析：A. 甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，可將甲乙捆綁看成一個元素，則不同的排法有＝24種，故A正確.
B.最左端排甲時，有＝24種不同的排法，最左端排乙時，最右端不能排甲，則甲從最左最右之外的三個位置中選一個排列有種排法，剩下的三個人全排，有種排法，則不同的排法共有＋＝3×6＋24＝42(種)，所以B正確.
C.丙、丁、戊三人全排有種排法，形成4個空，選兩個位置排甲、乙有種排法，共有＝72(種)，故C正確.
D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有＝20種，故D正確.故選ABCD.
6.某大學學生志愿者團隊開展“愛心輔學”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導功課.若隨機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學生輔導數學、物理、化學、生物、英語5門功課，每名志愿者至少輔導1門功課，每門功課由1名志愿者輔導，則不同的安排方法共有　　　　種.
答案：150
解析：根據題意，分2步進行：
①將5門功課分為三組，
若分為3，1，1的三組，則有＝10種分組方法，
若分為2，2，1的三組，則有＝15種分組方法，
則共有10＋15＝25種分組方法；
②將分好的三組分配給甲、乙、丙3名志愿者，有＝6種情況.
故不同的安排方法共有25×6＝150(種).
7.學校邀請了4位學生的父母共8人，并請這8位家長中的4位介紹各自對子女的教育情況，如果這4位進行介紹的家長中至多有一對是夫妻，那么不同的選擇方法有　　　　種.
答案：64
解析：法一：(直接法)4位進行介紹的家長可分兩類：第1類，4位進行介紹的家長中沒有任何兩個人是夫妻，即4位進行介紹的家長來自4個不同的家庭，每個家庭是父親進行介紹還是母親進行介紹都有2種情況，所以不同的選擇方法有24＝16(種)；
第2類，4位進行介紹的家長中僅有一對是夫妻，即4位進行介紹的家長中有2位為同一個家庭的父親和母親，不同的選法有種，另2位家長從另3個家庭中的2個家庭中選，不同的選法有種，并且被選中的家庭是父親進行介紹還是母親進行介紹都有2種情況，不同的選法有22種.根據分步乘法計數原理，得進行介紹的家長的不同的選擇方法有××22＝48(種).
根據分類加法計數原理，可得滿足題意的選法有16＋48＝64(種).
法二：(間接法)從8位家長中選出4位家長有種選法，但這4位家長來自2個家庭的選法有種，所以滿足題意的選法有－＝64(種).
8.從1，2，3，4，5這5個數字中任取3個組成無重復數字的三位數，當3個數字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數有　　　　個.
答案：51
解析：第一類：沒有2和3，三位數由其他3個數字組成，有＝6(個)；
第二類：2和3中有一個，需從其他3個數字中取2個，組成的三位數有＝36(個)；
第三類：含有2和3，需從其他3個數字中選1個，組成的三位數有＝9(個).
所以符合題意的三位數有6＋36＋9＝51(個).
9. (10分)在100件產品中，有97件合格品，3件次品.從這100件產品中任意抽出5件.(此題結果用式子作答即可)
(1)抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少種；
(2)抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少種；
(3)抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少種？
解：(1)根據題意，抽出的5件中恰好有2件是次品，即2件次品，3件合格品，
次品取法有種，合格品的取法有種，
則有種取法；
(2)根據題意，分2種情況討論：
抽出的5件中2件次品，3件合格品，取法有種，
抽出的5件中3件次品，2件合格品，取法有種，
則有＋種取法；
(3)根據題意，分3種情況討論：
抽出的5件中2件次品，3件合格品，取法有種，
抽出的5件中1件次品，4件合格品，取法有種，
抽出的5件都是合格品，取法有種，
則有＋＋種取法.
10.(10分)甲、乙、丙三位教師指導五名學生a，b，c，d，e參加全國高中數學聯賽，每位教師至少指導一名學生.
(1)若每位教師至多指導兩名學生，求共有多少種分配方案；
(2)若教師甲只指導其中一名學生，求共有多少種分配方案.
解：(1)根據題意，分2步進行分析：
①將5名學生分成3組，人數分別為(2，2，1)，有＝15種分組方法，
②將分好的三組全排列，安排給三位教師，有＝6種情況，則有15×6＝90種分配方案.
(2)根據題意，分2步進行分析：
①從5名學生任選1名學生分配給甲教師指導，有5種情況，
②剩下4名學生分成2組，有兩種分組方法(2，2)和(1，3)，安排其余兩位教師指導，有(＋)×＝14種情況，則有5×14＝70種分配方案.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共(m＋n＋1)個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，則可作出的三角形的個數為(　　)
A.＋ B.＋
C.＋＋ D.＋
答案：C
解析：第一類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取兩點，可構造一個三角形，有個；
第二類：從OA邊上(不包括O)任取兩點與從OB邊上(不包括O)任取一點，可構造一個三角形，有個；
第三類：從OA邊上(不包括O)任取一點與從OB邊上(不包括O)任取一點，與O點可構造一個三角形，有個.由分類加法計數原理知，可作出的三角形的個數為＋＋，故選C.
12.(多選)6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數可能為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：BD
解析：任意兩位同學之間交換紀念品共要交換＝15(次)，如果都完全交換，每個人都要交換5次，也就是每人得到5份紀念品.現在6位同學總共交換了13次，少交換了2次，這2次若不涉及同一人，則收到4份紀念品的同學有4人，若涉及同一個人，則收到4份紀念品的同學有2人.故選BD.
13.從正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，可作　　　　　　個不同的平面，從正方體的8個頂點中選4個點作一個四面體，可作　　　　個四面體.
答案：12　58
解析：正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，共有正方體的6個面和6個對角面，共12個不同平面，故可作－12＝58個四面體.
14.(13分)某醫院有內科醫生5名，外科醫生4名，現選派5名參加賑災醫療隊.其中：
(1)某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，共有多少種不同選法？
(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？
(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？
(4)隊中至少有2名內科醫生和1名外科醫生，有幾種選法？
解：(1)根據題意，某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，
在剩下的7人中再選3人即可，有＝35種選法；
(2)甲、乙均不能參加，在剩下的7人中選5人即可，有＝21種選法；
(3)在9人中選出5人，有＝126種選法，甲、乙均不能參加的選法有21種，
則甲、乙兩人至少有一人參加的選法有126－21＝105種；
(4)分3種情況討論：
①隊中有2名內科醫生和3名外科醫生，有＝40種選法，
②隊中有3名內科醫生和2名外科醫生，有＝60種選法，
③隊中有4名內科醫生和1名外科醫生，有＝20種選法，
則有40＋60＋20＝120種不同的選法.
15.(5分)有6名男醫生、4名女醫生，從中選3名男醫生、2名女醫生到5個不同的地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區A，則共有　　　　種不同的分派方案？
答案：12 960
解析：分兩類：
第1類，甲被選中，再從5名男醫生中選2名有種，從4名女醫生中選2名有種，甲醫生從A地區外的4個地區選一個地區有種，另外4人分配到A地區在內的四個地區有種，故一共有種分派方案；
第2類，甲不被選中，從另外5名男醫生選3名有種，從4名女醫生中選2名有種，選出的5人在5個地區全排有種，故共有種分派方案.
根據分類加法計數原理，共有
＋＝5 760＋7 200＝12 960種分派方案.
16.(17分)已知10件不同產品中有4件是次品，現對它們進行一一測試，直至找出所有4件次品為止.
(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？
(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有的4件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？
解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有＝(種)測法，再排余下4件的測試位置，有種測法.
所以共有不同測試方法··＝103 680(種).
(2)第5次測試的產品恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現有種，從而前4次有一件正品出現有種，且4件次品在前4次全排有種，所以共有不同測試方法＝576(種).
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第2課時　組合數的綜合應用
　
第4章　4.3　組合
學習目標
1.能用組合知識求解具有限制條件的組合問題.
2.能用排列與組合解決與幾何有關的問題、分組分配等問題.
3.通過幾種有限制條件的組合實例的學習，提升數學建模、邏輯推理、數學運算的核心素養.
應用一　簡單的組合問題
典例1
√
√
√
由于每個盒里放球數量不限，所以第1個球有8種放法，第2個球有8種放法，…，第5個球也有8種放法.故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85(種).
規律方法
1.解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關.
2.要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定要注意有無重復或遺漏.
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應用二　不同元素分組、分配問題
典例2
規律方法
“分組”與“分配”問題的解法
1.分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
(1)完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
(2)部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除
以n！；
(3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.
2.分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.
對點練2．(1)某科室派出4名調研員到3個學校調研高三復習備考近況，要求每個學校至少1名，則不同的分配方案種數為____；

36
(2)若將9名教師分到3所中學任教，一所1名，一所3名，一所5名，則有______種不同的分法.
3 024
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應用三　相同元素分配問題
典例3
規律方法
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應用四　與幾何有關的組合應用題
典例4
規律方法
1.圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.
2.在處理幾何問題中的組合問題時，應將幾何問題抽象成組合問題來解決.
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隨堂評價
1.某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“演講團”“吉他協會”等五個社團，若每名同學必須參加且只能參加一個社團且每個社團至多2人參加，則這6名同學中沒有人參加“演講團”的不同參加方法種數為
A.3 600　　
B.1 080　　
C.1 440　　
D.2 520
√

2.空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線、四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為
A.205 B.110
C.204 D.200
√
3. CES(國際消費類電子產品展覽會)是世界上最大的消費類電子技術展，也是全球最大的消費技術產業盛會.2020年CES在美國拉斯維加斯舉辦，在這次展會上，中國某企業發布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機，驚艷全場.現有媒體想來該企業采訪，若該企業從甲、乙等7名員工中選出3名員工負責接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作)，再從剩余的4名員工中選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機性能，若甲和乙至多有1人負責接待工作，則不同的安排方案共有______種.
360
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課時測評
1.從6雙不同顏色的鞋子中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有
A.480種　　 B.255種　　
C.240種　　 D.120種
√
2.已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為
A.33 B.34
C.35 D.36
√
3.如圖是2024年法國巴黎奧運會和殘奧會吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會的吉祥物有一個“腿”被設計成了假肢，現將4個奧運會吉祥物和2個殘奧會吉祥物排成一排，則不同的排法有
A.6種
B.12種
C.15種
D.60種
√
√
5.(多選)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是
A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C.甲乙不相鄰的排法種數為72種
D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種
√
√
√
√

6.某大學學生志愿者團隊開展“愛心輔學”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導功課.若隨機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學生輔導數學、物理、化學、生物、英語5門功課，每名志愿者至少輔導1門功課，每門功課由1名志愿者輔導，則不同的安排方法共有______種.
150
7.學校邀請了4位學生的父母共8人，并請這8位家長中的4位介紹各自對子女的教育情況，如果這4位進行介紹的家長中至多有一對是夫妻，那么不同的選擇方法有____種.
64
法一：(直接法)4位進行介紹的家長可分兩類：第1類，4位進行介紹的家長中沒有任何兩個人是夫妻，即4位進行介紹的家長來自4個不同的家庭，每個家庭是父親進行介紹還是母親進行介紹都有2種情況，所以不同的選擇方法有24＝16(種)；

8.從1，2，3，4，5這5個數字中任取3個組成無重復數字的三位數，當3個數字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數有____個.

51
√

√
√
12.(多選)6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數可能為
A.1 B.2
C.3 D.4
13.從正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，可作____個不同的平面，從正方體的8個頂點中選4個點作一個四面體，可作____個四面體.
12
58
15.(5分)有6名男醫生、4名女醫生，從中選3名男醫生、2名女醫生到5個不同的地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區A，則共有________種不同的分派方案？
12 960

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