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小結與復習
第二章 實數
平方根與立方根
二次根式
實數
平方根
算術平方根
定義：最簡二次根式
性質：積（商）的算術平方根
運算：加、減、乘、除、乘方
立方根
概念與性質
定義
分類
一、無理數
1. 無限不循環小數稱為無理數.
如 π = 3.14159265…，
0.585 885 888 588 885…
(相鄰兩個 5 之間 8 的個數逐次加 1)
想一想：你能找到其他的無理數嗎？
二、平方根與立方根
2. 算術平方根的意義：
算術平方根具有雙重非負性.
非負數
≥0
（a≥0）
1. 正數 a 的正的平方根，叫作這個正數的算術平方根.
0 的算術平方根是 0 ，即
①若 ，則 x 叫 a 的平方根，即 .
②當 ，則 x 叫 a 的立方根.
即：
3. 平方根的定義：
開平方的定義
類比
開立方的定義
平方根的性質
立方根的性質
求一個數 a 的立方根的運算，叫作開立方，其中 a 叫作被開方數.
如：求 8 的立方根.
一個正數有兩個平方根；0 只有一個平方根，它是 0 本身；負數沒有平方根.
正數的立方根是正數；
負數的立方根是負數；
0 的立方根是 0.
求一個數 a 的平方根的運算，叫作開平方，其中 a叫作被開方數.
如：求 9 的平方根.
無理數：
無限不循環小數
有理數：
有限小數或無限循環小數
實 數
分數
整數
①按定義分類
正整數
零
負整數
正分數
負分數
正無理數
負無理數
三、實數的相關概念
1. 實數分類：
負實數
正實數
數實
正有理數
負有理數
② 按符號分類
0
正無理數
負無理數
概念復習
2. 數軸
① 實數和數軸上的點是一一對應的.
② 在數軸上，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大.
3. 相反數、倒數
a 與 -a 相反數的兩數和為 0 (a與b互為相反數 a+b = 0)
b 與 互為倒數的兩數積為 1 (a 與 b 互為倒數 ab = 1)
4. 絕對值（到原點的距離）
|a|=
a (a > 0)
0 (a = 0)
-a (a < 0)
|a| 為非負數，即 |a|≥0
② 非負式的常見形式有：|a|； a2； ；
5. 實數的大小比較
① 利用數軸（右邊的數總比左邊大）；
② 作差與 0 比；
③ 作商與 1 比（分母的符號已知）.
①
概念復習
四、二次根式
1、定義：
形如　　　　　的式子叫作二次根式，
2、性質：
⑴ 積的算術平方根，
等于算術平方根的積.
⑵ 商的算術平方根，
等于算術平方根的商.
其中 a 叫作被開方數.
概念復習
3、最簡二次根式 ：
滿足以下三個條件的二次根式叫最簡二次根式：
⑴被開方數不能含有開得盡方的因數或因式；
⑵被開方數不能含有分母；
⑶分母不能含有根號.
注意：
二次根式的化簡與運算，最后結果應化成最簡二次根式.
概念復習
4、二次根式的運算：
(1) 二次根式的加減：
類似合并同類項；
(2) 二次根式的乘法：
(3) 二次根式的除法：
(4) 二次根式的平方：
例1 下面四個數中，屬于無理數的是 ( )
A. 0 B. π C. D. -3.14
B
考點一 無理數的概念
中無理數的個數是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
1. 下列各數
2. 一個長方形的長與寬分別是 6、3，它的對角線的長是( )
A. 整數
D. 無理數
C. 有理數
B. 分數
D
【變式訓練1】
例2 有一個數值轉換器，原理如下：
當輸入的 x 為 81 時， 輸出的 y 是 ( )
A. 9 B. C. 3 D.
D
考點二 平方根與立方根
例3 下列說法正確的是 ( )
A. (-3)2 的平方根是 3 B. = ±4
C. 4 的算術平方根是 2 D. 9 的平方根是 3
C
3. 下列語句中正確的是（ ）
A.
-9 的平方根是 -3
B.
9 的平方根是 3
C.
9 的算術平方根是±3
D. 9 的算術平方根是 3
D
【變式訓練2】
4. 下列運算中，正確的是（ ）
A
考點二 平方根與立方根
6. 下列等式正確的是（ ）
【變式訓練3】
例4 下列結果為 -1 的是 ( )
A. B. C. D.
例5 若 ，則 a = 。
C
a = (-2)3 = -8
-8
考點二 平方根與立方根
D
例6 與 最接近的整數是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：32＜15＜42，
且 15 更接近 16，
C
例7 已知 的整數部分為 a，則 2a - 1 = .
分析：∵ 22＜5＜32，
∴ 的整數部分 a 為 2.
∴ 2a - 1 = 3.
3
考點二 平方根與立方根
8. 估計 的值在 ( )
A. 5 到 6 之間 B. 6 到 7 之間
C. 7 到 8 之間 D. 8 到 9 之間
C
9. 已知 a 的立方根是 2，b 是 的整數部分，
則 a + b 的算術平方根是 .
分析： a = 23 = 8
32＜12＜42
→ b = 3
a + b = 11
考點講練
【變式訓練4】
考點二 平方根與立方根
考點三 實數
1.實數的概念與分類
例7 將下列各數填入相應的集合中：
無理數集合：{ …}；
分數集合：{ …}；
正數集合：{ …}；
負整數集合：{ …}。
2.實數的性質
例7 有下列語句：
① 帶根號的數都是無理數；
② 任何實數的絕對值都是非負數；
③ 所有有理數都可以用數軸上的點表示，反過來，數軸上的所有點都表示有理數；
④ 若兩個非負數的和為零，則這兩個數都為零.
其中，錯誤的是 .
①③
考點三 實數
3.實數的性質與大小比較
例8 實數 a，b，c，d 在數軸上的對應點如圖所示，則
將它們用“ < ”連接是 .
c d 0 b a
其中：
c < d < b < a
a + b
-d - c
b - c
a - d
| c－b|=
| a－d|=
考點三 實數
11. 比較大小： 與
解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0，
∴ -2+ ＞-2+
另解：直接由正負決定-2+ ＞-2+
【變式訓練5】
考點三 實數
4.實數的運算
例9 計算：
(2) 原式
解：(1) 原式 = 3 + 1 - 3 + 6
= 7.
= -1.
考點三 實數
1.二次根式有意義的條件
例10 若要使 有意義，則 x 的取值范圍為 .
分析：被開方數為非負數
分母不為 0
→ x - 4 ≠ 0
x≤3
→ 3 - x ≥ 0
x≤3
考點四 二次根式
13. 已知 ，那么 xy = .
分析：被開方數為非負數
2x - 1≥0，1 - 2x≥0，
∴ y = 2.
1
考點四 二次根式
2.二次根式的化簡
例11 下列各式中，計算正確的是 ( )
C
(a≥0)
考點講練
考點四 二次根式
14. 先化簡再求值：當 a = 時，
求 的值.
解：原式
當 a = 時，
原式
考點四 二次根式
考點講練
3.二次根式的運算
例12 計算:
解：(1) 原式
(2) 原式
考點四 二次根式
15. 計算:
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
= 6 - 5
= 1.
= 5 + 1
= 6.
考點講練
考點四 二次根式

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