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小結與復習
第四章 一次函數
豐富的現實背景
函數
一次函數
函數關系式
圖象
函數關系式的確定
圖象的應用
1. 叫變量.
2.函數定義：
數值發生變化的量
在一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y，并且對于變量 x 的每一個確定的值，變量 y 都有唯一確定的值與它對應，那么我們稱 y 是 x 的函數，其中 x 是自變量.
一、函數
(所用方法:描點法)
3.函數的圖象：對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.
列表法
關系式法
圖象法
5.函數的三種表示方法：
4.描點法畫圖象的步驟：列表、描點、連線
一次函數 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b 是常數，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函數
正比例函數 特別地，當 b＝____時，一次函數
y＝kx＋b 變為 y＝ ___( k 為常數，k ≠ 0)，這時 y 叫做 x 的正比例函數
注意：一次函數與正比例函數的關系
0
kx
二、一次函數與正比例函數的概念
函數 字母取值 （ k＞0 ） 圖象 經過的象限 函數性質
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 y 隨 x增大而
增大
b＝0 b＜0 一、三象限
一、二、三象限
一、三、四象限
三、一次函數的圖象與性質
函數 字母取值 （ k＜0 ） 圖象 經過的象限 函數性質
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 ________ y 隨 x增大而
減小
b＝0 ________ b＜0 ________ 一、二、四象限
二、四象限
二、三、四象限
求一次函數關系式一般步驟：
（1）先設出函數關系式；
（2）根據條件列關于待定系數的方程；
（3）解方程求出關系式中未知的系數；
（4）把求出的系數代入設的關系式，從而具體寫出這個關系式.
四、求一次函數的關系式
其中過原點的直線是_____；函數 y 隨 x 的增大而增大的是___________；函數 y 隨 x 的增大而減小的是______；圖象在第一、二、三象限的是_____.
考點一 一次函數的圖象與性質
例1 填空題：
②
①、②、③
④
③
有下列函數：①　　　　　 ， ②　　　 ，
③　　　 ， ④ .
x
y
2
=
例2 已知函數 y = (2m + 1)x + m﹣3；
(1)若該函數是正比例函數，求 m 的值；
(2)若函數的圖象平行直線 y = 3x﹣3，求 m 的值；
(3)若這個函數是一次函數，且 y 隨著 x 的增大而減小，
求 m 的取值范圍；
(4)若這個函數圖象過點 (1，4)，求這個函數的解析式.
【分析】(1)由函數是正比例函數得m-3=0且2m+1≠0；(2)由兩直線平行得2m+1=3；(3)一次函數中 y 隨著 x 的增大而減小，即2m+1＜0；(4)代入該點坐標即可求解.
考點一 一次函數的圖象與性質
解：(1) ∵函數是正比例函數，
∴m﹣3 = 0，且 2m + 1≠ 0，解得 m = 3.
(2) ∵ 函數的圖象平行于直線 y = 3x﹣3，
∴ 2m + 1 = 3，解得 m = 1.
(3) ∵ y 隨著 x 的增大而減小，
∴ 2m + 1＜0，解得 m＜ .
(4)∵ 該函數圖象過點 (1，4)，代入得 2m + 1 + m - 3 = 4，
解得 m = 2，∴該函數的解析式為 y = 5x - 1.
考點一 一次函數的圖象與性質
一次函數的圖象與 y 軸交點的縱坐標就是 y = kx + b 中 b 的值；兩條直線平行，其函數解析式中的自變量系數 k 相等；當 k＞0 時，y 隨 x 的增大而增大；當 k＜0 時，y 隨 x 的增大而減小.
總結
考點一 一次函數的圖象與性質
1.函數 的圖象與 x 軸交點的坐標為_______，
與 y 軸的交點坐標為______.
(-6，0)
(0，4)
2.已知函數 y = -x + 2 當 -1＜x≤1 時，y 的取值范圍是_______.
1≤y＜3
【針對訓練】
考點一 一次函數的圖象與性質
3. 已知一次函數 y = kx + b，y 隨著 x 的增大而減小，且 kb＜0，則在直角坐標系內它的大致圖象是( 　)
A 　 　 　 B 　 C 　 　D
A
x
y
O
O
x
y
x
y
y
x
O
O
考點一 一次函數的圖象與性質
　4. 一次函數 y = ax + b 與 y = ax + c (a＞0) 在同一坐標系中的圖象可能是（　 　）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
A
考點一 一次函數的圖象與性質
例3 已知一次函數的圖象經過 A (2，4)，B (0，2) 兩點，
求：
(1) 一次函數的表達式；
解：(1) 設一次函數的表達式為 y＝kx＋b (k≠0).
因為圖象經過 A (2，4)，B (0，2) 兩點，
代入表達式中得
考點二 一次函數的圖象與性質
2k + b = 4， b = 2，
解得 k = 1，b = 2.
因此這個一次函數的表達式為 y = x + 2.
(2) 求此函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積 S.
解：(2) 因為一次函數 y＝x＋2 的圖象與 x 軸、y 軸的交點坐標分別為 (－2，0) 和 (0，2) ，
考點二 一次函數的圖象與性質
【針對訓練】5. 如圖，在平面直角坐標系中，已知直線 y＝kx＋3 與 x 軸相交于點 A(2，0)，與 y 軸交于點 B.
(1) 求 k 的值及 △AOB 的面積；
解：(1) 把 A(2，0) 代入 y＝kx＋3，
得 2k＋3＝0，
所以 B(0，3).
當 x = 0 時，y = 3.
考點二 一次函數的圖象與性質
(2) 點 C 在 x 軸上，若△ABC 是以 AB 為腰的等腰三角形，求點 C 的坐標．
解：(2) 設 C(m，0).
因為 A(2，0)，B(0，3)，
所以 AC2＝(m－2)2，BC2＝m2＋9，
AB2＝13.
①若 AB，AC 為腰，則 AC2＝AB2，
所以 (m－2)2＝13，
考點二 一次函數的圖象與性質
②若 AB，BC 為腰，則 BC2＝AB2，
所以 m2＋9＝13，
解得 m＝2 (與點 A 重合，舍去)
或m＝－2.
∴C(－2，0).
綜上所述，△ABC 是以 AB 為腰的等腰三角形時，點 C 的坐標為(－2，0).
考點二 一次函數的圖象與性質
例4 李老師開車從甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升) 與行駛里程 x (千米) 之間是一次函數關系，其圖象如圖所示，那么
到達乙地時油箱剩余油量是多少升？
考點三 一次函數的圖象與性質
解：設一次函數的關系式為 y＝kx＋35，
將(160，25)代入，得 160k＋35＝25，
解得 k＝ ，
所以一次函數的關系式為 y＝ x＋35.
再將 x＝240 代入 y＝ x＋35，
得 y＝ ×240＋35＝20，
即到達乙地時油箱剩余油量是 20 升．
考點三 一次函數的圖象與性質
【針對訓練】6. 自來水公司有甲、乙兩個蓄水池，現將甲池中的水勻速注入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度 y (米) 與注水時間 x (時) 之間的函數圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題．
(1) 分別求出甲、乙兩個蓄水池中
水的深度 y 與注水時間 x 之間的
函數關系式；
考點三 一次函數的圖象與性質
解：(1)設它們的函數關系式為
y＝kx＋b，根據甲的函數圖象可知，
當 x＝0，y＝2；當 x＝3時，y＝0，
將它們代入關系式 y＝kx＋b 中，
得 k＝ ，b＝2，
所以甲蓄水池中水的深度 y 與注水時間 x 之間的函數關系式為：y＝ x＋2. 同理可得乙蓄水池中水的深度 y 與注水時間 x 之間的函數關系式為：y＝x＋1.
(1)分別求出甲、乙兩個蓄水池中水的深度 y 與注水時間 x 之間的函數關系式；
(2)求注入多長時間后甲、乙兩個蓄水池的深度相同；
(2) 由題意得 x＋2＝x＋1，
解得 x＝ .
故當注水 小時后，甲、乙兩個蓄水池水的深度相同；
(3) 求注入多長時間甲、乙兩個蓄水池的蓄水量相同？
(3) 從函數圖象判斷當甲水池的水全部注入乙水池后，甲水池深度下降 2 米，而乙水池深度上升 3 米，所以甲乙水池的底面積之比為 S甲 : S乙 = 3 : 2，
S甲·( x＋2) = S乙·(x＋1)，解得 x = 1.故注水 1 小時后，甲乙兩蓄水池的蓄水量相同.

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