資源簡介

人教版2024·八年級上冊
13.3.2 三角形的外角

第十三章 三角形
學 習 目 標
1
2
3
理解并掌握三角形外角的定義，能在不同幾何圖形中準確識別三角形的外角.
能運用三角形外角的性質進行角度計算、角的大小比較以及簡單的幾何推理.
在探究三角形外角性質和外角和的過程中，體會數學知識的內在聯系，增強邏輯推理能力和數學探究能力.
A
B
C
思考：在△ABC中，三個內角分別是什么？它們有什么關系？
D
內角分別是：∠A，∠B，∠C.
∠A+∠B+∠C=180°
思考：若把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD,那∠ACD是什么角呢？
情境引入
外角
A
B
C
D
思考：你能說一說三角形的外角定義嗎？
三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形的外角：
①角的頂點是三角形的頂點
②角的一邊是三角形的一邊
③另一邊是三角形中一邊的延長線
那三角形的外角應具備哪些條件呢？
還能畫出其他的外角嗎？
新知探究
思考：如圖，在△ABC中，分別延長AC、BC，圖中∠1，∠2，∠3哪些是△ABC的外角？
E
C
B
A
D
1
2
3
∠1和∠3是△ABC的外角.
思考：每個頂點處有幾個外角？它們有何關系？
每個頂點處有2個外角，如上圖，△ABC在點C處有兩個外角，分別是∠1和∠3，它們是對頂角，因此∠1=∠3.
新知探究
分析：先根據三角形內角和定理求出∠ACB,再用鄰補角的性質求出∠ACD.
解：∵∠A=70°,∠B=60°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B
=180°-70°-60°
=50°
∵∠ACB和∠ACD互為鄰補角
∴∠ACD=180°-∠ACB=130°.
思考：如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角.能由∠A,∠B求出∠ACD嗎？
B
A
C
D
70°
60°
新知探究
B
A
C
D
70°
60°
思考：∠ACD與∠A,∠B有什么關系?
∵∠A=70°,∠B=60°，∠ACD=130° ∴∠ACD=∠A+∠B.
任意一個三角形的一個外角與和它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系?
B
A
C
D
猜想：
∠ACD=∠A+∠B.
你能進行推理證明嗎？
新知探究
B
A
C
D
證明：∵∠ACD與∠ACB互為鄰補角
∴∠ACD=180°-∠ACB
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∴∠A+∠B=180°-∠ACB
∴∠ACD=∠A+∠B.
相鄰的內角
外角
不相鄰的內角
你能得出什么結論嗎？
三角形外角的性質：
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
符號語言：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
新知探究
A
B
C
E
F
D
2
1
3
例4 如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三個外角，它們的和是多少？
分析：利用三角形外角的性質來求解.
解法1：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2．
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)．
由∠1+∠2+∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°．
同學們還有其他方法嗎？
典例精析
A
B
C
E
F
D
2
1
3
分析：利用三個平角減去三個內角的和.
解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2=∠ACD+∠3=180°，得
∠BAE +∠CBF +∠ACD=3×180°-(∠1+∠2+∠3)
=540°-180°=360°．
通過例題你能得出什么結論呢？
三角形的外角和定理：
三角形的外角和等于360°.
符號語言：
∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
典例精析
∠1= ∠1= .
∠2= ∠2= .
38°
142°
18°
130°
1.說出下列各圖形中∠1和∠2的度數：
分析：綜合應用三角形外角的性質和內角和定理.
小試牛刀
A
B
C
D
(
(
(
82°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
1.將一副三角板按如圖所示的方式疊放，則∠1等于（　　）
A．45° B．60° C．105° D．120°
C
2
分析：∠2=90°-45°=45°
∠1=45°+60°=105°.
隨堂檢測
分析:由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
解：可列方程得
x+x+10=x+70,
解得x=60,
因此，x的值為60.
隨堂檢測
2.求出圖中的x的值.
方法指導
可用方程的思想來解決.
分析：綜合應用三角形外角的性質和內角和定理,及角平分線的定義.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠CBD=90°＋40°=130°.
∵BE是∠CBD的平分線，
∴∠CBE=????????∠CBD=65°.
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°－65°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°.
?
3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E.
(1)求∠CBE的度數；
(2)過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數．
隨堂檢測
E
1.如圖，P為△ABC內一點，∠BPC=150°，∠ABP=20°，∠ACP=30°,求∠A的度數．
分析：找準三角形中外角與內角的關系.
解：延長BP交AC于點E，
則∠BPC，∠PEC 分別為△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC=∠PEC＋∠PCE，∠PEC=∠ABE＋∠A.
∴∠PEC=∠BPC-∠PCE=150°-30°=120°.
∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°.
方法指導
添加輔助線構成新的三角形.
拓展提升
課堂小結
1.定義：
如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
2.三角形外角的性質：
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
符號語言：∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
3.三角形的外角和定理：
三角形的外角和等于360°.
符號語言：∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
B
A
C
D
1.說出下列各圖形中∠1和∠2的度數：
分析：綜合應用三角形外角的性質和內角和定理,及角平分線的定義.
∠1= ∠1= ∠1= .
∠2= ∠2= ∠2= .
70°
55°
80°
40°
60°
30°
課后作業
2.如圖，AB∥CD,∠A＝37°,∠C＝63°,那么∠F等于 ( )
A. 26° B. 63°
C. 37° D. 60°
A
F
A
B
E
C
D
分析：∵AB∥CD,∠C＝63°
∴∠FEB=63°
∵∠FEB是△AEF的外角
∴∠F=∠FEB-∠A=63°-37°=26°.
課后作業
培優作業
分析：利用三角形外角的性質及角平分線的定義.
解:∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=????????∠ABC，∠DCE=????????∠ACE，
∴∠DCE=????????∠A+∠DBC，
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D+∠DBC=????????∠A+∠DBC，
即∠D=????????∠A.
?
1.如圖，BD是∠ABC的角平分線，CD是△ABC的外角平分線,BD、CD交于D，試探索∠A與∠D的關系.
感謝聆聽!

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