資源簡介

人教版2024·八年級上冊
13.3.1 三角形的內角
（第1課時）

第十三章 三角形
學 習 目 標
1
2
3
探索并掌握三角形內角和定理，會用三角形內角和進行角度的計算.
能證明三角形的內角和定理及其推論.
能運用三角形的內角和定理及其推論判斷角和邊的關系，解決簡單的實際問題.
思考：下面是一副三角板，你知道它們三個內角是多少嗎？它們的內角和是多少嗎？能說明理由嗎？
45°
45°
90°
方法一：度量法
30°
60°
90°
三角形的內角和為180°.
用什么方法呢？
還有其他方法嗎？
情境引入
這是什么方法呢？
方法二：拼湊法
三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.三角形的內角和為180°.
你能進行推理證明嗎？
情境引入
已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.
方法1：過點A作l∥BC，
∴∠B=∠1 ，∠C=∠2
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
2
新知探究
還有其他方法嗎？
C
B
A
E
D
1
2
已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.
方法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA
∴∠A=∠1 ，∠B=∠2
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
新知探究
還有其他方法嗎？
方法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB
∵DE∥AC，DF∥AB
∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC
∵∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°
∴∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°.
C
B
A
E
D
F
已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.
你能得出什么結論呢？
新知探究
三角形的內角和定理：
三角形內角和等于180°.即∠A+∠B+∠C=180°.
C
B
A
添加輔助線，輔助線通常畫成虛線.
轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.
方法：
思路：
通過上面的證明，可以發現哪些方法和思路呢？
總結歸納
1.如圖，說出各圖中∠1的度數．　　
80°
45°
1
30°
106°
1
24°
1
（1）
（2）
（3）
55°
44°
66°
小試牛刀
例1 如圖,在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線 . 求∠ADB的度數.
C
B
A
D
分析：先用角平分線的知識求出∠BAD，
再用三角形內角和定理求∠ADB.
解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分
線，得∠BAD=????????∠BAC=20°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.
?
典例精析
例2 如圖是A,B,C三島的平面圖， C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度?從C島看A,B兩島的視角∠ACB呢?
C
B
A
北
D
北
E
分析：A,B,C三島的連線構成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一個內角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.
50°
80°
40°
典例精析
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.
答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.
C
B
A
北
D
北
E
50°
80°
40°
典例精析
分析：關鍵找出在△AEF和△CDF中.
解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA=90°．
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°，
∴∠AFE=180°－∠FEA－∠A=60°.
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠CFD=60°.
∴ 在△CDF 中，∠D=180°－∠CFD－∠FCD=40°.
例3 如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交 AC于F. 已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度數.
典例精析
事實上，
在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°,
在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°,
而∠AFE=∠CFD，
故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD.
由三角形的內角和定理得∠A +∠B =∠C +∠D.
“八字型”：
總結歸納
常見模型
由三角形的內角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4.
總結歸納
1.如圖，從A處觀測C處時的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處時的仰角∠CBD=45°. 則從C處觀測A，B兩處時的視角∠ACB= °.
15
分析：由∠CBD=45°可得∠ABC=135°,
再由三角形內角和定理可得，∠ACB=180°-30°-135°=15°.
隨堂檢測
2.如圖，在△ABC中，∠A=40°，則∠B+∠C+∠ADE+∠AED = °.
280
分析：在△ABC中，∠B+∠C=180°-40°=140°,
在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-40°=140°,
所以∠B+∠C+∠ADE+∠AED=280°.
隨堂檢測
分析：在△BOC中，∠BOC=132°
∴∠OBC+∠OCB=180°-132°=48°
∵∠B，∠C的平分線交于點O
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=96°
∴∠A=84°.
1.在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，若∠BOC=132°,則∠A=____.
84°
拓展提升
2.如圖，線段DG，EM，FN兩兩相交于B，C，A三點，則∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度數是 .
360°
分析：∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N可看作由△AMN，△BDE，△CFG的9個內角，再減去∠DBE,∠MAN,∠FCG,
∵∠DBE=∠ABC,∠MAN=∠BAC,∠FCG=∠ACB,
∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N=180°×3-180°=360°.
拓展提升
內 容
三角形的內角和
證明方法
三角形的內角和為180°
推理驗證
轉化思想
常見模型
“八”字模型
課堂小結
1.直接寫出下列各圖中∠1的度數.


∠1=　 　 ∠1=　 　 ∠1=　 　.
90°
85°
85°
課后作業
1.如圖，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝ °．
55
分析：∵DE∥BC，∠BDE＝120°
∴∠B=60°
∵FG∥AC，∠DFG=115°
∴∠A=65°
∴∠C=180°-65°-60°=55°.
培優作業
解：∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠BCD= ????????∠ACB=30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=30°.
在△BDC中，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=70°.
?
2.如圖，CD是∠ACB 的平分線，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC的度數．
培優作業
感謝聆聽!

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