資源簡介

(共80張PPT)
第二十一章 一元二次方程
第一單元
21.3 實際問題與一元二次方程
第一課時 傳播問題和變化率問題
1.根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。
2.通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，提高數學應用意識。
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
探究新知
典例分析
針對訓練
歸納小結
直擊中考
布置作業
【提問】已經學過了哪些解一元二次方程的方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
直接開方法
配方法
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟
1）審：分清已知未知，明確數量關系；
2）設：設未知數；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）驗：根據實際驗結果；
6) 答：寫出答案。
有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
[分析] 1）開始傳染源_________人；
2）第一輪后有_________人患了流感；
3）第二輪傳染中，已經患病的人平均又傳染了x人，
第二輪后有___________人患了流感；
x+1
x(x + 1)
1
設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，
一輪傳染
二輪傳染
具體傳播過程
…
……
……
……
……
…
x
x(x+1)
列方程 1+x+x(1+x) = 121
　　答：平均一個人傳染了 10 個人．
解方程得x1=10，x2=-12 （不合題意，舍去）
有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
一輪傳染
二輪傳染
具體傳播過程
…
……
……
……
……
…
x
x(x+1)
【問題】如果按照這樣的傳播速度，第三輪傳染過后總共會有多少人得流感？
[分析]經過兩輪傳染后共有_______個人患了流感,平均每輪傳染________人，則第三輪有___________人患了流感。
121
10
1210
121+121×10 = 1 331（人）
前2輪患病人數
第三輪患病人數
三輪總共患病人數
【提問】若某人感染流感，假設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，填空：
起始人數 傳播人數 傳播后人數
第一輪 1 x
第二輪
第三輪
… … … …
第n輪 m
x+1
x+1
x(x+1)
x(x+1)+x+1=
x(x+1)+x+1
x[x(x+1)+x+1]
x[x(x+1)+x+1]+x(x+1)+x+1
=
mx
mx+m =
解決“傳播問題”的關鍵步驟是：明確每輪傳播中的傳染源個數，以及這一輪被傳染的總數。
【詳解】
解：設每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，
由題可知，
整理得，
解得，（舍），
則（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．
答：每輪感染中平均一臺電腦會感染11臺電腦.若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過1700臺；
例1 某種電腦病毒傳播速度非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有144臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過1700臺？
【解析】
(1)解：由題意可知：第一輪傳染后患病的人數人，
(2)解：設在每輪傳染中一人將平均傳給人，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整數，
∴第二輪傳染后共會有21人患病的情況不會發生．
例2 某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．
(1)現有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數（用含x的代數式表示）；
(2)在進入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔離并治愈，問第二輪傳染后患病的人數會有21人嗎？
【詳解】（1）解：第一輪被感染的人數為x，第二輪被傳染上流感人數是，
（2）解：經過兩輪傳染后不會有63人患病的情況發生，理由如下：
依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去），
∵不為正整數，
∴第二輪傳染后不會有63人患病的情況發生．
1．有一個人患了流感，經過兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設在每輪的傳染中平均一個人傳染了x個人．
(1)第二輪被傳染上流感人數是______；（用含x的代數式表示）
(2)在進入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時隔離（未治愈），經過兩輪傳染后是否會有63人患病的情況發生，并說明理由．
【詳解】解：（1） （場），答：共進行6場比賽；
（2）設有 支球隊參加比賽，根據題意得： ，
解得： （不合題意，舍去），
答：有9支球隊參加比賽．
2. 學生會要組織“西實杯”籃球賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場）．
（1）如果有4支球隊參加比賽，那么共進行______場比賽；
（2）如果全校一共進行36場比賽，那么有多少支球隊參加比賽？
3 某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？
假設每個支干長出2枝
1+2+=7
假設每個支干長出3枝
1+3+=13
假設每個支干長出n枝
1+n+
3 某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？
解：設每個支干長出 x 個小分支，
則 1 + x + x2 = 91
解方程，得x1 = 9，x2 = -10（不合題意，舍去）
答：每個支干長出 9 個小分支
1．某農戶的小麥產量年平均增長率為 x，第一年的產量為 50 000 kg，第二年的產量為____________ kg，第三年的產量為______________ kg．
50 000(1 + x )
2．某糧食廠2021年面粉產量為a噸，如果在以后兩年平均減產的百分率為 x，那么預計 2022年的產量將是_________噸．2023年的產量將是__________噸．
a(1–x)
年平均增長率為 x
50000
50 000(1 + x )
兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
【提問】什么是下降額？下降率如何計算？
下降額=下降前的量-下降后的量
增長額=增長后的量-增長前的量
下降率= =
【提問】什么是增長額？增長率如何計算？
增長率= =
兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3600）÷2=1200（元）．
甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000（元），
顯然，乙種藥品的年平均下降額較大，但是年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分率）。
兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
解：設甲種藥品成本的年平均下降率為 x
　　一年后甲種藥品成本為____________元，
　　兩年后甲種藥品成本為____________元．
列方程得=3000
解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：甲種藥品成本的年平均下降率為22.5%
-x）
【補充】下降率是用減少的數除以原數，則所得結果必定小于1，因此不能大于或等于1。
兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
解：設乙種藥品成本的年平均下降率為 y
　　一年后乙種藥品成本為____________元，
　　兩年后乙種藥品成本為____________元．
列方程得=3600
解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：乙種藥品成本的年平均下降率為22.5%
1-y）
兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
【問題】經過計算，你能得出什么結論？
【問題】成本下降額大的藥品，它的成本下降率一定也大嗎？
【問題】應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？
　成本下降額表示絕對變化量，
成本下降率表示相對變化量，
兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況。
兩種藥品成本的年平均下降率相等
成本下降額較大的產品，其成本下降率不一定較大。
【詳解】（1）設每個月生產成本的下降率為x，
根據題意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．
答：每個月生產成本的下降率為5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），
答：預測4月份該公司的生產成本為342.95萬元．
例3 某公司今年1月份的生產成本是400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份的生產成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生產成本的下降率都相同．
（1）求每個月生產成本的下降率；
（2）請你預測4月份該公司的生產成本．
【詳解】（1）解：設這兩個月參觀人數的月平均增長率為，
由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
答：這兩個月參觀人數的月平均增長率為．
（2）（萬人），
答：六月份的參觀人數為13.31萬人．
1.2021年是中國共產黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發地紀念館”成為重要的活動基地．據了解，今年3月份該基地接待參觀人數10萬人，5月份接待參觀人數增加到12.1萬人．
（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計6月份的參觀人數是多少？
1．2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．某縣年人均可支配收入為萬元，年達到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】設有x支隊伍，根據題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．
【詳解】解：設年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，根據題意得，
，故選：B．
【詳解】
第一個月新建了301個充電樁，該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為．
第二個月新建了個充電樁，
第三個月新建了個充電樁，
第三個月新建了500個充電樁，于是有，
故答案為．
3．為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為，根據題意，請列出方程________．
【詳解】（1）解：設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為，
由題意，得：，解得：（負值已舍掉）；
答：這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為；
（2）設5月份后10天日均接待游客人數是y萬人，
由題意，得：，解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人數最多是1萬人．
4．隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？
【詳解】
解：（1）設畝產量的平均增長率為x，
根據題意得：， 解得：，（舍去），
答：畝產量的平均增長率為20%．
（2）第四階段的畝產量為（公斤），
∵，∴他們的目標可以實現．
5．“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領的科研團隊在增產攻堅第一階段實現水稻畝產量700公斤的目標，第三階段實現水稻畝產量1008公斤的目標．
（1）如果第二階段、第三階段畝產量的增長率相同，求畝產量的平均增長率；
（2）按照（1）中畝產量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現．
1. 本節課學習，你有哪些收獲？請你用自己的語言簡述一元二次方程解應用題的步驟？
2. 你知道本節課研究“傳播問題”的基本特征嗎？解決此類問題的關鍵步驟是什么？
“傳播問題”的基本特征：以相同的速度逐輪傳播。
解決此類問題的關鍵步驟：明確每輪傳播中的傳染源個數，以及這一輪被傳染的總數。
第二十一章 一元二次方程
第一單元
21.3 實際問題與一元二次方程
第二課時 幾何問題和數字問題
1.根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。
2.通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，提高數學應用意識。
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
歸納小結
探究新知
典例分析
歸納小結
直擊中考
布置作業
針對訓練
【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟
1）審：分清已知未知，明確數量關系；
2）設：設未知數；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）驗：根據實際驗結果；
6) 答：寫出答案。
【提問】計算下列圖形面積
要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？
27
21
【分析】封面的長寬之比是9∶7，中央的矩形的長寬之比也應是9∶7。
設中央的矩形的長和寬分別是 9a cm和 7a cm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：
9a
7a
(27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7
要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？
27
21
解法一：設上、下邊襯的寬均為9y cm ，左、右邊襯的寬均為7y cm，
由題意得 (27-18y)(21-14y)=27
整理,得：16y 2 - 48y + 9 = 0
解方程，得y=
則y1=舍去）
答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm
【提問】為什么舍去2.8？請說明原因？
要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？
27
21
解法二：設正中央的矩形長和寬分別為9x cm，7x cm
由題意得 927
解方程，得x=
則x1=舍去）
答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm
故上、下邊襯的寬度為≈1.8 cm，
左、右邊襯的寬度為≈1.4 cm
如圖,在一塊長為 92m ,寬為 60m 的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠
把耕地分成面積均為 885m2 的 6 個小矩形，水渠應挖多寬？
【分析】設水渠寬為 x m，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，它的長為 ___________m, 寬___________m.
60
92
60-x
92-2x
(92 – 2x )
(60-x)
解：設水渠的寬應挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1
答：水渠應挖1米寬
如圖,在一塊長為 92m ,寬為 60m 的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠
把耕地分成面積均為 885m2 的 6 個小矩形，水渠應挖多寬？
【分析】設水渠寬為 x m，水渠的總面積為______________________________________________
92x
+260x
-2x2
解：設水渠的寬應挖 x m .
92×60 - 92x - 2×60x+ 2x2 = 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1
答：水渠應挖1米寬
例1 等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。
解：設這個梯形的高為 x cm，則上底為(x+4)cm，下底為(x+20)cm.
根據題意得(x+4+x+20)=160
整理，得x2 +12x -160= 0
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合題意，舍去 )
答：這個梯形的高為8cm.
1.如圖，準備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為_____米．
【詳解】
設小路的寬度為，由題意得，由，可得.
2. 如圖，某農戶準備建一個長方形養雞場，養雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養雞場四周不能有空隙．
（1）要圍成養雞場的面積為150m2，則養雞場的長和寬各為多少？
（2）圍成養雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．
【詳解】
解：1）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
當x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，
當x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），
則養雞場的寬是10m，長為15m．
2. 如圖，某農戶準備建一個長方形養雞場，養雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養雞場四周不能有空隙．
（1）要圍成養雞場的面積為150m2，則養雞場的長和寬各為多少？
（2）圍成養雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．
【詳解】
2）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因為方程沒有實數根，所以圍成養雞場的面積不能達到200m2．
幾何問題
與一元二次方程
幾何圖形
常見幾何圖形周長或面積是等量關系.
類 型
課本封面問題
小路寬度問題
常采用圖形平移，聚零為整方便列方程.
通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡。
將題干內容轉換為數學語言：
周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數，十位數字比個位數字小三，個位數字的平方等于他去世時的年齡。
【詳解】解：設周瑜去世時的年齡的個位數字為，則十位數字為，依題意得：
，
解得，，
當時，，（不合題意，舍去），
當時，（符合題意），
答：周瑜去世時的年齡為歲．
一個兩位數的個位數字與十位數字的和為9，并且個位數字與十位數字的平方和為45，求這個兩位數.
【詳解】設個位數字為，則十位數字為.
得，
∴這個兩位數為36或63.
【詳解】設一位數為，則兩位數為．
則根據題意可得：，
整理得：．
分解得：，
解得：，．
答：這個兩位數為16或49．
典例2 一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大，求這個兩位數．
【詳解】設其中較小的奇數為，則較大的奇數為，
根據題意，得，
解得，
當時，；
當時，．
故答案為：，或．
1 兩個連續奇數的積為，若設其中較小的奇數為，則可列方程為_________________，這兩個數分別為_______________．
1．第十四屆國際數學教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745，八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0~7共8個基本數字，八進制數3745換算成十進制數是，表示ICME—14的舉辦年份．
(1)八進制數3747換算成十進制數是______；
(2)小華設計了一個n進制數234，換算成十進制數是193，求n的值．
【詳解】（1）
（2）由題意，得，
解得，（舍負）
2 閱讀材料，回答下列問題：
反序數：有這樣一對數，一個數的數字排列完全顛倒過來變成另一個數，簡單的說，就是順序相反的兩個數，我們把這樣的一對數稱為“反序數”，比如：的反序數是，的反序數是．
用方程知識解決問題：若一個兩位數，其十位上的數字比個位上的數字大3，這個兩位數與其反序數之積為，求這個兩位數．
【詳解】解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為，
根據題意得：，
∴，即，
∴，
∴
解得x=2或（舍去），
∴，
∴這個兩位數為．
3 如圖，某中學課外興題小組準備圍建一個矩形花園 ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60 m的籬笆圍成，與墻平行的一邊 BC上要預留2 m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為 28 m．
(1)當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；
(2)能否圍成500平方米的矩形花園 若能求出 BC長；若不能，說明理由．
【詳解】（1）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，
依題意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，
解這個方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），
∴x＝12．
答：當矩形的長BC為12米時，矩形花園的面積為300平方米；
3 如圖，某中學課外興題小組準備圍建一個矩形花園 ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60 m的籬笆圍成，與墻平行的一邊 BC上要預留2 m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為 28 m．
(1)當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；
(2)能否圍成500平方米的矩形花園 若能求出 BC長；若不能，說明理由．
（2）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，依題意列方程得：（60﹣x+2）x＝500，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
則該方程無解，即不能圍成500平方米的矩形花園．
答：不能圍成500平方米的矩形花園．
1．如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？
【詳解】解：設道路的寬應為x米，
由題意得 (50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)
答：道路的寬應為4m．
【詳解】解：設這個最小數為．
根據題意，得x(x+8)=65．
解得，（不符合題意，舍去）．
答：這個最小數為5．
2．2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）．
1. 本節課學習，你有哪些收獲？請你用自己的語言簡述一元二次方程解應用題的步驟？
2. 你知道解決“幾何問題” 、“數字問題” 的關鍵步驟是什么？
第二十一章 一元二次方程
第一單元
21.3 實際問題與一元二次方程
第三課時 銷售問題、圖表問題、動點問題
1.根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。
2.通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，提高數學應用意識。
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
探究新知
典例分析
針對訓練
歸納小結
直擊中考
布置作業
探究新知
典例分析
針對訓練
【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟
1）審：分清已知未知，明確數量關系；
2）設：設未知數；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）驗：根據實際驗結果；
6) 答：寫出答案。
九年級學生小明在暑假期間勤工儉學。
1）他每天在批發市場以每斤2.5元買進黃瓜，再到市場以每斤4元賣掉黃瓜，那么他每賣1斤黃瓜可以賺到 元；
2）如果他每天都能賣完50斤黃瓜，則他每天收入是 元。
3）他每天外面吃飯需花費20元，則他每天實際可以獲得_____________元。
1.5
75
單件售價-單件進價=單件利潤
單件利潤×銷量=總利潤
50
總利潤-支出=實際利潤（或：銷售總額-成本總額-支出=實際利潤)
【提問】根據上述問題，你能售價、進價、利潤、支出之間存在的關系嗎
[補充]1）利潤率=100% 2）商品售價=標價
3）商品售價=商品進價(1+利潤率)
某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減小庫存，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？
【分析】設襯衫單價應降x元，
單件利潤 銷量 總利潤
降價前
降價后
40-x
20+2x
設襯衫單價應降x元
由題意得(40-x)(20+2x)=1200
解方程得x1=20，x2=10
【提問】站在商家角度你覺得如何降價合適？
40
20
800
1200
∵盡快減小庫存∴ x=20
答：襯衫的單價降了20元
某商店進了一批服裝，進貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件。現在預算要獲利潤12000元且進貨成本不超過24000元，應按每件多少元出售？
【分析】設應按每件 x 元出售
進價 售價 單件利潤 銷量 總利潤
提價前 50 60 10 800 8000
提價后 50
x
x-50
800-20（x-60）
12000
設應按每件 x 元出售
由題意得（x-50）[ 800-20（x-60）]=12000
解方程得x1=70，x2=80
當x=70時，50 （800-20 10）=30000>24000 舍去
當x=80時，50 （800-20 20）=20000<24000
答：應按每件 80 元出售，進貨數量400件
某商店進了一批服裝，進貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件。現在預算要獲利潤12000元且進貨成本不超過24000元，應按每件多少元出售？
【提問】如果設提價x元，你能根據提示信息列出方程嗎？
設提價x元
由題意得(10+x)(800-20x)=12000
解方程得x1=10，x2=20
當x=10時，50 （800-20 10）=30000>24000 舍去
當x=20時，50 （800-20 20）=20000<24000
當x=20時,60+x=60+20=80 元
答：應按每件 80 元出售，進貨數量400件
例1 某工廠生產的某種產品按供需要求分為十個檔次．若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．設該產品的檔次（每天只生產一個檔次的產品）為x，請解答下列問題．
1）用含x的代數式表示：一天生產的產品件數為_______件，每件產品的利潤為________元；
檔次 銷售量（件） 單件利潤（元）
1（最低） 76 10
2
3
4
... ... ...
10（最高）
x
12
72
14
68
16
64
28
40
10+2（x-1）
76-4（x-1）
解（1）一天生產的產品件數為[76-4（x-1）]=（80-4x）件，
每件產品的利潤為[10+2（x-1）]=（8+2x）元，
例1 某工廠生產的某種產品按供需要求分為十個檔次．若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．設產品的檔次（每天只生產一個檔次的產品）為x，請解答下列問題．
2）若該產品一天的總利潤為1080元，求這天生產產品的檔次x的值．
（2）當利潤是1080元時，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，
整理得：-8x2+128x+640=1080，
解得：x1=5，x2=11，
∵x=11＞10，不符合題意，舍去。∴x=5，
答：當生產產品的質量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元。
【詳解】解：設每副羽毛球拍降價x元，
由題意得：（40-x）（20+5x）=1700，
整理得：x2-36x+180=0，
解方程得：x1=6，x2=30，
因為 每副降價幅度不超過15元，
所以 x=6符合題意，故答案是：6．
1．李華在網上開了一家羽毛球拍專賣店，平均每天可銷售副，每個盈利元，若每副降價元，則每天可多銷售副.如果每天要盈利元，每副應降價______元(要求每個降價幅度不超過元)
【詳解】解：1）設每千克核桃應降價x元
根據題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化簡，得 x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃應降價4元或6元.
2．山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
1）每千克核桃應降價多少元？
2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？
2）由1）可知每千克核桃可降價4元或6元.
∵要盡可能讓利于顧客，
∴每千克核桃應降價6元
此時，售價為：60﹣6=54（元），
答：該店應按原售價的九折出售．
2．山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
1）每千克核桃應降價多少元？
2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？
某公司組織一批員工到龍灣風景區旅游，支付給旅行社28000元，你能確定參加這次旅游的人數嗎？
解：設參加旅游人數共有x人，
∵800×30=24000<28000，∴參加人數x>30,
根據題意，得x× [800-10（x-30）]=28000.
整理，得
解得，x1=40，x2=70
當x=40時， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700>500
當x=70時， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400<500（不符合題意，舍去）
答：參加人數共有40人
【分析】設參加旅游人數共有x人，公司支付給旅行社28000元，說明__________,則人均收費__________________________元
x>30
[800-10（x-30）]
為了節約用水，某水廠規定：某單元居民如果一個月的用水量不超過噸，那么這個月該單元居民只交10元水費．如果超過噸，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸元交費．
1）該單元居民8月份用水80噸，超過了“規定的噸”，則超過部分應交水費 元（用含x的式子表示）．
2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：
根據上表數據，求該x噸是多少？
月份 用水量（噸） 交費總數（元）
9月份 85 25
10月份 50 10
【詳解】
解：（1）超過的用水量為（80-x）噸，所以，超過部分應交水費（80-x）元；
（2）根據表格提供的數據，可以知道，根據9月份用水情況可以列出方程：（85-x）=25
解得，x1=60，x2=25
因為，所以x=60
答：該水廠規定的x噸是60噸．
例2 某市出租車收費標準如下（規定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應收29．1元，你能依據以上信息，推算出起步價N的值嗎
里程x（km） 0＜x≤3 3＜x≤6 x＞6
單價y（元） N
【詳解】
由題意，可列出方程
整理得N2—29.1N+191=0．
解方程得N1=10，N2=19.1（不合題意舍去）
答：起步價是10元．
某公司組織一批員工到該風景區旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？某風景區的旅游信息如下：
旅游人數 收費標準
不超過30人 人均收費80元
超過30人 每增加1人，人均收費降低1元，但人均收費不低于55元
設參加這次旅游的員工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根據題意得：x[80-（x-30）]=2800，
解得：x1=40，x2=70．
當x=40時，80-（x-30）=70>55，
當x=70時，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司參加這次旅游的員工有40人．
如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發沿BC以2cm/s的速度向點C移動．幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？
A
B
C
D
P
Q
【提示】設x s后△DPQ的面積等于28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度分別可用含x的代數式表示，從而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、 Rt △QCD的面積也都可以用含x的代數式表示，于是可以列出方程。
x
6
12
12-2x
2x
6-x
設x s后△DPQ的面積等于28cm2，則S△APD =______________
S△PBQ =________________， S△DCQ =_________________
根據題意得，
+ +28=72
化簡得，
解方程得， x1=2，x2=4
答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2
例3 如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？
設經過x s時間P、Q兩點之間的距離是10cm。
3x
2x
2x
16-5x
解方程得x1=1.6，x2=4.8
答：1.6s或4.8s后P、Q距離是10cm
3x
2x
2x
16-5x
E
x=2時，由運動可知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根據勾股定理得PQ=,
∴當x＝2 s時，P，Q兩點的距離為6 cm；
2x
如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。
1)當運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？
2)當運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？
P’
x=4時，由運動知AP′＝3×4＝12 cm，CQ′＝2×4＝8 cm，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴P′E＝AD＝6，
P′B=CE=AB-AP′=16-12=4
∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，
根據勾股定理得P′Q′=,
∴當x＝4 s時，P，Q兩點的距離為cm；
Q’
E
如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。
1)當運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？
2)當運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？
【詳解】解：（1）設與銷售單價之間的函數關系式為：y=kx+b，
將點（1，110）、（3，130）代入一次函數表達式得：
，解得：，故函數的表達式為：y=10x+100；
（2）由題意得：（10x+100）（55-x-35）=1760，
整理，得．
解得，（舍去）．所以55-x=43．
答：這種消毒液每桶實際售價43元．
1．某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量（桶）與每桶降價（元）（）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示：
（1）求與之間的函數關系式；
（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？
【詳解】（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為20+2×3=26件．
（2）設每件商品應降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．
根據題意，得（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20應舍去，∴x=10．
答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元．
2．某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為________件；
（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？
【詳解】解：設該水果每千克降價x（x>0）元，
則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，
根據
或，
要盡可能讓顧客得到實惠，
即售價為（元）
答：該水果的銷售價為每千克29元．
3．端午節期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：
小王：該水果的進價是每千克22元；
小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求該水果的銷售價為每千克多少元？
1. 本節課學習，你有哪些收獲？請你用自己的語言簡述一元二次方程解應用題的步驟？
2. 你知道解決“銷售問題” 、“圖表問題” 、“動點問題” 的關鍵步驟是什么？
1．某演出團體準備在蘇州文化藝術中心大劇院舉辦迎新演出，該劇院有1200個座位，如果票價定為每張100元，那么門票可以全部售出如果票價每增加1元，那么門票就減少2張，要使得門票收入為245000元，票價應該定為多少元？
2．某超市銷售一種礦泉水，進價為每箱24元，現在的售價為每箱36元，每月可銷售60箱。經市場調查發現：若這種礦泉水的售價每降價1元，則每月的銷量將增加10箱．如果該超市想要每月銷售這種礦泉水的利潤為650元，那么每箱礦泉水需要降價多少元？
3.如圖，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．動點M從點A沿AB方向以2 cm/s的速度向點B運動，同時動點N從點C沿CB方向以1 cm/s的速度也向點B運動，其中一點到達B點時另一點也隨之停止．當△MNB的面積為24 cm2時，求它們運動的時間．
1.解：設應定為x元，
則由題意可得：
即解得：
答：定價定為350元．
2.設每箱降價元，則每月可銷售(10 +60)箱，
依題意得：(36 x 24)(10x+60)=650，
解得： (舍去)．
答：每箱礦泉水需要降價7元．
3.解：根據題意可知cm， cm，
∴cm， cm，
∵△MNB的面積為24cm2，
∴，
解得：t1＝2，t2＝12（不合題意，舍去）
∴運動的時間為2s．

展開更多......

收起↑