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第二十四章 圓
24.1 圓的有關性質
第四單元
24.1.1 圓
1 理解并掌握圓的有關概念.
2 能靈活運用圓的有關概念解決相關的實際問題.
3 通過解決圓的有關問題，發展學生有條理的思考能力及解決實際問題的能力.
復習鞏固
情景引入
探究新知
新知講解
探究新知
典例分析
針對訓練
知識歸納
課堂練習
知識歸納
課堂練習
知識歸納
能力提升
直擊中考
歸納小結
布置作業
【提問】小學階段我們學習了圓的哪些性質？
周長：????=????????或????=2????????.
?
面積：????=????????2.
?
d
r
觀察這些圖片，你認識圖片中的圖形嗎？
【提問】用什么辦法可以畫出一個圓？
方法一
方法二
方法三
·
O
利用圖釘畫圓
如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.
其中，固定的端點O叫做圓心.
線段OA叫做半徑,一般用r表示.
以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.
[問題一]圓上各點到定點（圓心O）的距離有什么規律？
[問題二]到定點的距離等于定長的點又有什么特點？
圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）
到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.
圓的另一定義（靜態）：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.
一是圓心，圓心確定其位置；
二是半徑，半徑確定其大小．
【問題三】以定長為半徑能畫幾個圓，以定點為圓心能畫幾個圓？
【問題四】確定一個圓的要素是？
以定長為半徑能畫無數個圓，以定點為圓心能畫無數個圓.
【問題五】觀察車輪形狀，你發現了什么？
車輪的形狀均為圓形
把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩，假如車輪變了形，不成圓形了，到軸的距離不相等了，車就不會再平穩.
【問題六】你知道車輪均為圓形的原因嗎？
A
B
C
D
O
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AO=OC=????????AC，OB=OD= ?????????BD，AC=BD.
?
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四個點在以點O為圓心，OA為半徑的圓上.
例1 已知：矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.
求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上.
1．下列條件中，能確定一個圓的是（???????）
A．以點????為圓心 B．以10cm長為半徑
C．以點????為圓心，4cm長為半徑 D．經過已知點????





2．畫圓時，圓規兩腳間可叉開的距離是圓的（　　）
A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積

?
【詳解】A.只確定圓的圓心，不可以確定圓；
B.只確定圓的半徑，不可以確定圓；
C.既確定圓的圓心，又確定了圓的半徑，可以確定圓；
D.既沒有確定圓的圓心，又沒有確定圓的半徑，不可以確定圓；
故選：C．
（圓的有關概念-弦）
經過圓心的弦（如圖中的AB）叫做直徑.
連接圓上任意兩點的線段（如圖AC）叫做弦.
1.弦和直徑都是線段.
【提問】直徑和弦是什么關系呢？
2.凡直徑都是弦，是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.
1 判斷下列說法的正誤：
1)弦是直徑（ ）
2)直徑是弦（ ）
3)半徑是弦（ ）
4)直徑是圓中最長的弦（ ）
5)過圓心的線段是直徑（ ）
6)過圓心的直線是直徑（ ）
√
√
2 如圖，點B、O、C和點A、O、D分別在同一條直線上，則圖中有（　　）條弦．
A.2 B.3 C.4 D.5
【詳解】解：圖中的弦有AE、AD、CD這3條
●
●
●
●
●
A
B
O
D
C
3. 如圖,點A、B、C、D在⊙O上,試在圖中畫出以這4點中的2點為端點的弦,這樣的弦共有多少條？
（圓的有關概念-弧、半圓、優弧、劣弧）
圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以A、B為端點的弧記作AB ，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
⌒
圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做半圓.
小于半圓的弧（如圖中的AB）叫做劣弧
⌒
大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的ACB）叫做優弧.
⌒
【提問】弧、半圓、優弧、劣弧是什么關系呢？
1.弧分為是優弧、劣弧、半圓，
2.半圓是弧，但弧不一定是半圓，
3.半圓既不是劣弧，也不是優弧.
1 判斷下列說法的正誤：
(1)半圓是弧（ ）
(2)圓的任意一條弦把圓分成優弧和劣弧兩部分（ ）
(3)大于半圓的弧叫做劣弧（ ）
√
2.如圖，請正確的方式表示出以點A為端點的優弧及劣弧.
⌒
⌒
解：優弧：ACD、ACF、ADE、ADC

劣弧：AC、AE、AF、AD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
3．如圖,圓中以A為一個端點的優弧有_____條,劣弧有_____條.
【詳解】根據優弧、劣弧的概念，優弧有：AEC、AEB、ABC，共3條；劣弧有：AB、AC、AE，共3條.
?
（圓的有關概念-同心圓、等圓）
圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.
能夠互相重合的兩個圓叫做等圓.
[補充]1）半徑相等的兩個圓是等圓；
2）同圓或等圓的半徑相等.
B
A
（圓的有關概念-等弧）
在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.
[結論]1）等弧的長度一定相等.
2）長度相等的弧不一定是等弧.
3）等弧僅僅存在于同圓或者等圓中.
【提問】長度相等的弧是等弧？
可見這兩條弧不可能完全重合,實際上這兩條弧彎曲程度不同
如圖，如果AB和CD的拉直長度都是10cm，平移并調整小圓的位置，是否能使這兩條弧完全重合？
D
C
A
B
︵
︵
1.如圖,一根3m長的繩子,一端栓在柱子上,另一端栓著一只羊,請畫出羊的活動區域.
2.如圖,一根6m長的繩子,一端栓在柱子上,另一端栓著一只羊,請畫出羊的活動區域.
3.一些學生正在做投圈游戲，他們呈“一”字排開．這樣的隊形對每一人都公平嗎？你認為他們應當排成什么樣的隊形？
不公平，應該站成圓形.
1．如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（????）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，
∴設OB=x，則OA=3x，BC=2x，
∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積=122????2=2x2，
∴9πx2÷2x2=92????≈14，即：圓的面積約為正方形面積的14倍，
故選B．
?
1.什么是圓？
2.關于圓你了解哪些概念？
P81：練習.
第二十四章 圓
24.1.2 垂直于弦的直徑
第四單元
1 理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導，能初步應用垂徑定理進行計算和證明；
2 通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛.
【提問】簡述軸對稱圖形的概念？說出常見的軸對稱圖形？
如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形.
線段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
【活動一】將你手中的圓形紙片沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到圓的什么特性？
圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.
【活動二】在圓形紙片上作?O的任意一條弦AB, 再作直徑CD⊥AB, 垂足為E.沿著直徑CD對折，你發現了什么？有哪些相等的線段和弧？
觀察發現：
點A與點B重合，AE與BE重合,
AC?與 BC重合，A?????與 B????重合.
?
所以AE=BE, AC?= BC?， A?????= BD
?
【證明一】已知：如圖，CD是⊙O的任一條直徑，A是⊙O上點C,D以外任意一點，過點A作CD⊥AB，交⊙O于點B，垂足為E.求證：AE=BE.
證明：連接OA、OB,
在△OAB中，
∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形
又∵ CD⊥AB,
∴AE=BE
即CD是AB的垂直平分線.
這就是說對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點B，因此⊙O關于直線CD對稱.
【提問】由此你覺得垂直于弦的直徑有什么特點呢？
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理：
符號語言：
∵CD是直徑，CD⊥AB
∴ AE=BE， AC?= BC?， A?????= BD.
?
【提問】下列圖形是否具備垂徑定理的條件？為什么？
×
√
×
√
√
√
垂徑定理的基本圖形：
垂徑定理的解題思路：
弦心距：圓心到弦的距離（即圓心到弦的垂線段的距離）．
在Rt△OEB中，由勾股定理得：弦心距2+半弦2=半徑2
?
垂徑定理的解題技巧：
見弦常作弦心距，連接半徑，構造直角三角形用勾股定理求解
例1 如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離（弦心距）為3cm，求⊙O的半徑．

解：過圓心O作OE⊥AB于點E，
∵OE⊥AB
∴AE=12?AB=12?×8=4,而OE=3
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2=42+32=25
∴OA=5,即?O的半徑為5cm.
?
A
B
.
O
E
4
3
1. 如圖，在?O中，AB=8，OA=5，則OE= ，ED= ．
2.如圖，在?O中，OA=5，ED=2，則OE= ，AB= .
?
?
?
?
2
3
3
4
3
2
3
8
3.如圖，在?O中，AB=8，ED=2，則OA= ，OE= .
?
?
r － 2
r
3
5
r2 = (r － 2)2 + 42
5
3
[結論]半徑、弦長、弦心距、弓形高中，知二求二.
4.如圖，⊙M 與x軸交于A，B 兩點，與y軸交于C，D 兩點，若M(2,0)，B(5,0)，則C點的坐標是 .
2
3
(0,5)
?
5 如圖，⊙O的半徑為3，點P是弦AB延長線上的一點，連接OP，若OP=4，∠P=30°，則弦AB的長為（ ）．
A. 5? B.2 3? C.2 5? D.2
?
【詳解】
解：如圖：過點O作OH⊥AB于點H，連接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=12?OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴????????=????????2?????????2=32?22=5
∴AB=2AH=2 5故選C
?
H
例2 1400多年前,我國隋朝建的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37 m,拱高為7.23m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).
【解題關鍵】將實際問題轉化為幾何問題.
37
18.5
r
r-7.23
例2 1400多年前,我國隋朝建的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為 37 m,拱高為7.23m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).
37
18.5
r
r-7.23
思路：通過垂徑定理，構造直角三角形，結合勾股定理，建立方程.
解：用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為r．經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據前面的結論，點D是弦AB的中點，點C是AB的中點，CD就是拱高．
?
在Rt△ADO中，由勾股定理得????????2+????????2= ????????2，解得r≈27.3m
答：橋拱的半徑約為27.3m
?
1 如圖是一個圓弧形門拱，拱高1m ，跨度4m ，那么這個門拱的半徑為（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
【詳解】
設這個門拱的半徑為r，則OB=r?1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC2+OB2=OC2 ,即22 +(r?1) 2 =r2，解得r=2.5 .
故選B.
2.如圖，石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面AB寬
為（　　）
A.4m B.5m C.6m D.8m
【詳解】連接OA，
∵橋拱半徑OC為5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8?5=3(m)，
∴AD=????????2?????????2=52?32=4 (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m),故選D.
?
【提問】平分弦的直徑垂直于這條弦嗎？
情況一：弦是直徑
情況二：弦不是直徑
O
C
D
A
B
平分弦的直徑不一定垂直于這條弦
【提問】如圖，AB是?O的一條弦，直徑CD交AB點E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB嗎？為什么？
（2）AD與B????相等嗎？????????與BC相等嗎？為什么？
（3）你發現了什么？
?
解：（1）CD⊥AB.
∵ ?AEO≌?BEO(證明過程略)
∴ ∠ AEO =∠ BEO=90° ∴ CD⊥AB
（2）相等.理由：垂徑定理.
【提問】如圖，AB是?O的一條弦，直徑CD交AB點E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB嗎？為什么？
（2）AD與B????相等嗎？????????與BC相等嗎？為什么？
（3）你發現了什么？
?
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理推論：
符號語言：
∵CD是直徑， AE=BE
∴ CD⊥AB ， AC?= BC?， A?????= BD.
?
例3 下列說法正確的是（　　）
①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
②平分弦的直徑平分弦所對的弧
③垂直于弦的直線必過圓心
④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
D
1.如圖，在⊙O中，弦AB的長是半徑OA的3倍，C為????????中點，AB、OC交于點P，則四邊形OACB是（???）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
?
【詳解】∵弦AB的長是半徑OA的3倍，C為????????的中點，OC為半徑，
∴????????=12????????=32????????，????????⊥????????，
∴????????=????????2?????????2=12????????=12????????，
∴????????=12????????，即????????=????????，
∴四邊形OACB是平行四邊形，
又∵????????⊥????????，
∴四邊形OACB是菱形. 故選C
?
2.如圖，????????為⊙????直徑，交弦????????于點E，若E點為????????中點，則說法錯誤的是（???）
A．????????⊥???????? B．????????=???????? C．????????=???????? D．????????=????????
?
【詳解】解：如圖，連接????????,????????，
∵????????為⊙????直徑，????點為????????中點，
∴????????⊥????????，
∴????????=????????，????????=????????，
∴????????=????????，????????=????????
故選：D．
?
1．趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37????，拱高約為7????，則趙州橋主橋拱半徑R約為________________m
?
【詳解】解：如圖，由題意可知，????????=37????，????????=7????，主橋拱半徑R，
∴????????=?????????????????=?????7????，
∵OC是半徑，且????????⊥????????，
∴????????=????????=12????????=372????，
在????????△????????????中，????????2+????????2=????????2，
∴3722+?????72=????2，解得：????=156556≈28????，
?
2．陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（ 圖①）的形狀示意圖．????????是⊙????的一部分，????是????????的中點，連接????????，與弦????????交于點????，連接????????，????????．已知????????=24cm，碗深????????=8cm，則⊙????的半徑????????為（???）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
?
【詳解】解：∵ ????????是⊙????的一部分，????是??????的中點，????????=24cm，
∴????????⊥????????，????????=????????=12????????=12cm．
設⊙????的半徑????????為????cm，則????????=?????????????????=(?????8)cm．
在Rt△????????????中，∵∠????????????=90°，∴????????2=????????2+????????2，
∴????2=122+(?????8)2，∴????=13，
即⊙????的半徑????????為13cm．故選：A．
?
3．一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦????????長20厘米，弓形高????????為2厘米，則鏡面半徑為 厘米．
?
【詳解】解：如圖由題意得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案為：26．
1.垂徑定理的內容？
2.垂徑定理推論的內容？
P89~90：習題24.1 第8題、第10題、第11題.
第二十四章 圓
24.1.3 弧、弦、圓心角
第四單元
1.理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性，會辨析圓心角.
2.掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關系，并能運用此關系進行相關的證明和計算.
3.在探索弧、弦、圓心角的關系的過程中，學會運用轉化的數學思想解決問題.
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
探究新知
知識歸納
典例分析
針對訓練
直擊中考
歸納小結
布置作業
【提問】簡述中心對稱圖形的概念？說出常見的中心對稱圖形？
如果一個圖形繞一個點旋轉180°后，能和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；這個點叫做它的對稱中心；互相重合的點叫做對稱點.
【問題一】圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心在哪里？
【問題二】你發現了什么？
圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心.
【問題三】把圓繞著圓心旋轉60°，90°，120°，旋轉之后的圖形還能與原圖形重合嗎？
【問題四】你發現了什么？
圓的旋轉不變性：一個圓繞圓心旋轉任意角度，所得圖形和原圖形重合.
【提問】觀察下圖，它們有什么共同點？
頂點是圓心
圓心角的定義：
圓心角的判斷方法：　　　　　　　　　　　　　
頂點在圓心的角叫做圓心角.
觀察頂點是否在圓心.　
例1 回答下面問題：
1.找出⊙Ｏ中的圓心角？
2.∠ABC是不是圓心角？并說明原因？
Ａ
Ｏ·
Ｂ
Ｃ
∠AOC、∠BOC
不是，頂點不在圓心.
1. 判斷下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由.
4）是圓心角，其它三個頂點不在圓心.
【問題】任意圓心角，對應會出現哪幾個量？
【猜想】你覺得這幾個量會有什么關系呢？
圓心角、弧、弦
【探究一】如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A1OB1的位置，你能發現哪些等量關系？為什么？
B
A
A1
B1
● O
由∠AOB＝∠A1OB1得到AB=A1B1 ?????????= ????????????????
?
∵∠AOB＝∠A1OB1
∴射線OB與OB1重合
又 OA=OA1，OB=OB1
∴點A與A1重合，B與B1重合．
因此AB?與A1B1重合，弦AB與A1B1重合，
即AB=A1B1 ，AB?= A1B1
?
【探究二】如圖，在等圓中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你發現的等量關系是否依然成立？為什么？
由∠AOB＝∠A'O'B'得到AB=A' B' ,AB?=A′B′
?
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.
【提問】定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？
不能少，理由：如圖，已知∠COD= ∠AOB，但是線段CD不等于線段AB ，CD也不等于AB.
?
【探究三】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角有何關系？所對的弦呢？你發現了什么？
在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等.
【探究四】在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角有何關系？所對的弧呢？你發現了什么？
·
O
A
B
B1
A1
∵△AOB≌△A1OB1（證明過程略）
∴∠AOB＝∠A1OB1
∴ ?????????= ???????????????? ??????????????????= ????????????????????
?
在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對優弧和劣弧分別相等
【提問】簡述同圓和等圓中，圓心角、弧、弦之間的關系嗎？
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.
在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等.
在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對優弧和劣弧分別相等.
【總結】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．
·
C
A
B
D
E
F
O
例2 AB、CD是⊙O的兩條弦．
1）如果AB=CD，那么 ___________，_________________．
2）如果AB=CD?，那么 ____________，_____________．
3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________， _____________ ．
4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？為什么？
?
AB=CD
?
∠AOB=∠COD
?
AB=CD
∠AOB=∠COD
?
AB=CD
AB=CD
?
∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD．
∵AO=CO，BO=DO，則△AOB ≌ △COD．
而OE、OF是AB與CD對應邊上的高，
∴OE=OF．
1.如圖1，AB是⊙O的直徑，?????????=?????????=???????? ，∠AOE=66°，則∠COD的度數是( )
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點C和點D是半圓上兩個三等分點，則∠COD= .
3.如圖3，在⊙O中，點C是????????的中點，∠A=70°，則∠BOC=_____.
?
60°
20°
4.如圖，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半徑，????????=????????，∠BAO=37°，則∠AOC的度數是（　　）度.
A．74 B．106 C．117 D．127




5．如圖，圓心角∠AOB＝20°，將 ????????旋轉n°得到????????，則????????的度數是______度．

?
【詳解】解：
∵將????????旋轉n°得到????????,∴????????=????????
∴∠DOC=∠AOB=20°，∴????????的度數為20度．
故答案為20．
?
6. 如圖，已知∠????????????=∠????????????，下列結論不一定成立的是（ ）
A．????????=???????? B．????????=????????
C．△????????????≌△???????????? D．△????????????,△????????????都是等邊三角形
7.如圖，在⊙O中，AC＝BD．求證：AB＝CD
?
證明：
∵AC＝BD，∴????????=????????．
∴????????+????????=????????+????????
∴????????=????????．∴AB＝CD．
?
8.如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為點M、N，BA、DC的延長線交于點P，連接OP．下列結論正確的個數是（ ）
①AB=CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
?
【詳解】解：如圖連接OB、OD；∵AB=CD，∴????????=????????，故①正確
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正確，
∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確，
∵AM=CN，∴PA=PC，故③正確，故選：D．
?
9．如圖，已知點C是⊙O的直徑AB上的一點，過點C作弦DE，使CD=CO．若AD的度數為35°，則BE的度數是_____．
?
【詳解】解：連接OD、OE，
∵AD的度數為35°，∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴BE的度數是105°．
?
10．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為????????的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（　　）
A．22 B．2 C．1 D．2
?
【詳解】作A關于MN的對稱點Q，連接MQ，BQ，BQ交MN于P，此時AP+PB=QP+PB=QB，
根據兩點之間線段最短，PA+PB的最小值為QB的長度，
連接AO，OB，OQ，
∵B為????????中點，∴∠BON=∠AMN=30°，
∴∠QON=2∠QMN=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直徑MN=2，∴OB=1，∴BQ=12+12=2．
則PA+PB的最小值為2．故選B．
?
1．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P=30°，∠AOC=80°，則BD的度數是（????）??
A．30° B．25° C．20° D．10°
?
1.圓具有怎樣的對稱性？
2.圓心角的概念？
3.在同圓與等圓中，圓心角、弧、弦之間有何關系？
P89~90：習題24.1 第3題、第12題.
第二十四章 圓
24.1.4 圓周角
第一課時 圓周角定理
第四單元
1 理解圓周角的定義.
2 掌握圓周角定理及推論.
3 結合圓周角定理的探索與證明的過程，進一步體會分類討論、化歸的思想方法．
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
探究新知
典例分析
針對訓練
探究新知
典例分析
針對訓練
能力提高
直擊中考
歸納小結
布置作業
【提問】簡述圓心角的定義？說出圓心角的判斷方法？
圓心角的定義：
圓心角的判斷方法：　　　　　　　　　　　　　
頂點在圓心的角叫做圓心角.
觀察頂點是否在圓心.　
如圖，把圓心角∠AOB的頂點O拉到圓上，得到∠ACB.
【問題一】∠ACB有什么特征？它與∠AOB有何異同？
【問題二】你能仿照圓心角的定義給∠ACB取一個名字并下定義嗎？
特征：頂點在圓上，兩邊都與圓相交.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
共同點
不同點
∠AOB
1.兩邊都與圓相交
2.兩個角都是與圓有關的角
頂點在圓心
∠ACB
頂點在圓上
頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
例1 下列四個圖中，∠x是圓周角的是( )
1.你能指出右圖中的圓周角嗎？
∠ADB、 ∠ACB、 ∠AEB、 ∠DAE、 ∠DBE、 ∠DAC、 ∠CAE、 ∠CBD、 ∠CBE、
【提問一】在紙上畫出一個圓，并截取任意一條圓弧畫出其所對的圓心角和圓周角，測量它們的度數，你發現了什么？
經過測量∠BDC=12∠BAC
?
【提問二】在圓上任取BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關系？
?
圓心在圓周角一邊上
圓心在圓周角內部
圓心在圓周角外部
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角一邊上
證明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C
又∵∠BOC＝∠A ＋∠C
∴∠????????????=12∠????????????
?
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角一邊上
=>
證明：
OA=OC=>∠A＝∠C
∠BOC＝∠A ＋∠C
∠BAC=12∠BOC
?
符號“=>”讀作“推出”，
“A =>B”表示由A條件推出結論B.
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角內部
證明：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D．
∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
∴∠BAD＝12∠BOD
同理∠CAD＝12∠COD
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=12∠BOC
?
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角內部
證明：連接AO并延長交⊙O于點D．
OA＝OB?∠BAD＝∠B
∠BOD＝∠BAD＋∠B
同理，∠CAD＝12∠COD．
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝12∠BOD＋12∠COD＝12∠BOC．
?
=>
∠BAD=12∠BOD
?
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角外部
證明：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
又∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，
∴∠OAB＝12∠BOD ①
同理∠CA0＝12∠COD ②
由②?①得∠BAC=12∠BOC
?
【探究】嘗試分以下三種情況驗證：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？
圓心在圓周角外部
證明：連接AO并延長交⊙O于點D．
OA＝OB?∠OAB=∠OBA
∠BOD＝∠OAB＋∠OBA
同理，∠CAO＝12∠COD．
∴∠BAC＝∠CAO- ∠BAO?＝12∠COD-12∠BOD＝12∠BOC．
?
=>
∠BAO=12∠BOD
?
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
圓周角定理：
例2．如圖，⊙O中弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，則∠C的度數是（　　）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【解析】
∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故選D．
1.如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝140°，則∠D的度數是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°


2．如圖，????????為⊙????直徑，點????，????為⊙????上兩點，若∠????+∠????????????=145?，則
∠????的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
?
【詳解】∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，
∴∠D＝12∠BOC＝20°，故選A．
?
【詳解】由題意得：∠DOB=2∠C，
∵∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOD+2∠C=180°，
∵∠C+∠AOD=145°，∴∠C=35°，故選B．
3.如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C，連接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，則∠AOB的度數是（　　）
A．40° B．50° C．70° D．80°


4．如圖，已知△ACD和△ABE都內接于同一個圓，則∠ADC+∠AEB+∠BAC=( )
A．90° B．180° C．270° D．360°
【詳解】∵∠ABC=20°∴∠AOC=40°∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，故選：D．
【詳解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所對圓弧正好是一個圓周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故選B．
5．如圖，????????????????內接于⊙????，∠????????????=30°，????????=6，則⊙????的直徑等于多少？
?
【詳解】解：連接OB、OC，如圖，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°而OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直徑等于12．
【提問一】回顧同圓和等圓中，圓心角、弧、弦之間的關系嗎？
在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．
【提問二】想一想圓周角、弧、弦之間的關系嗎？
【探究一】在同圓或等圓中，同弧所對應的圓周角有什么關系？
如圖，在⊙O中，∠BAC與∠BDC同B????，∠BAC與∠BDC有什么關系？
?
證明：根據圓周角定理可知，
∠????????????=12∠????????????,?∠????????????=12∠????????????
∴∠????????????=∠????????????
?
同弧所對的圓周角相等．
【探究二】在同圓或等圓中，兩條弧相等，則他們所對應的圓周角有什么關系？
如圖，在⊙O中BC?= CE ，則∠BDC與∠CAE有什么關系？
?
.
A
D
B
C
O
E
如圖，作出兩弧所對應的圓心角.
根據圓周角定理可知，∠????????????=12∠????????????,∠????????????=12∠????????????
又由BC?= CE可知，∠BOC=∠COE.
∴∠BDC=∠CAE
?
等弧所對的圓周角相等．
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等
【提問】你能歸納出圓周角的第一條推論嗎？
【探究三】回答下面問題：
1.如圖1，AB為⊙O的直徑，它所對的圓心角是多少？
2.如圖1，AB為⊙O的直徑，它所對的圓周角是多少？
3.如圖2，AB為⊙O的直徑，若改變點C的位置，它所對的圓周角度數會改變嗎？
4.如圖1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB經過圓心嗎？為什么？
180°
90°
不變
∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°
∴弦AB過圓心
【提問】你能歸納出圓周角的第二條推論嗎？
推論2：直徑(或半圓)所對的圓周角是直角；
90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓.
例3 如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為 6 cm，?ACB 的平分線交⊙O 于點 D，求 BC，AD，BD 的長．
解：連接 OD.
∵　AB 是⊙O 的直徑，
∴　?ACB=?ADB=90°．
在 Rt△ABC 中，
∵　CD 平分?ACB，∴　?ACD=?BCD，
∴　?AOD=?BOD ．∴　AD=BD．
在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2 ，
∴ AD=BD=22AB=52 cm
　
　
?
A
C
B
D
O
10
6
1.如圖，????????為⊙????的直徑，????,????為⊙????上兩點，若∠????????????＝40°，則∠????????????的大小為（　　）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
?
【詳解】解：連接????????，
∵????????為⊙????的直徑，
∴∠????????????=90°．
∵∠????????????=40°，
∴∠????=∠????????????=40°，
∴∠????????????=90°?40°=50°．
故選B．
?
2.如圖，在⊙O中弦AB、CD相交于點P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，則∠B等
于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°


3.如圖，AB為⊙O直徑，CD為⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度數為_______．

65°
【詳解】解:∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°．
∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
4. 如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是圓上兩點，連接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，則∠ADC的度數為（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°


5．如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（　　）
A．10° B．14° C．16° D．26°
6.如圖，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，則⊙A的半徑長為（　　）
A．10 B．6 C．5 D．8
【解析】作直徑CF，連結BF，如圖，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴????????=????????，∴DE=BF=6，
∵CF是直徑∴∠CBF=90°，
在Rt△CBF中，BC=8，BF=6，
∴CF=????????2+????????2=82+62=10
∴AC=AF=12CF=5.
故選C．
?
8. 有一個圓形模具，現在只有一個直角三角板，請你找出它的圓心？
O
7.如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD= .
80°
1．如圖，????????為半圓????的直徑，點????是弧????????上一動點（點????不與????、????重合），????是弧????????上的中點，設∠????????????=????，∠????????????=????．
1當????=50?時，求????的度數．
2猜想????與????之間的關系，并給與證明．
?
1．如圖，????????是⊙????的直徑，????是⊙????上一點．若∠????????????=66°，則∠????=（????）
A．66° B．33°??? C．24° D．30°
2．如圖，已知點????、????、????在⊙????上，????為????????的中點．若∠????????????=35°，則∠????????????等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
?
3．如圖，點A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點D，連接OA，則OE的長度為 ．
?
【詳解】解：如圖，連接????????，
∵∠????????????=60°∴∠????????????=2∠????????????=120°，
∵????????⊥????????∴????????=????????，∠????????????=90°，
∴∠????????????=∠????????????=12∠????????????=60°，
∴∠????????????=90°?60°=30°
∴????????=12????????=12×2=1
故答案為：1．
?
4．如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC=12,BC=5，則MD的長是 ．
?
【詳解】解：∵????????是⊙????的直徑，∴∠????????????=90°，
∵????????=12,????????=5，∴????????=13，∴????????=12????????=132，
∵點D，M分別是弦????????，弧????????的中點，∴????????⊥????????，且????????=????????=6，
∴????????=????????2?????????2=52，∴????????=?????????????????=?????????????????=4，
故答案為：4．
?
1.圓周角的概念？
2.圓周角定理？
3.圓周角定理推論？
P88：練習第2題、第3題、第4題.
第二十四章 圓
24.1.4 圓周角
第二課時 圓內接四邊形
第四單元
1 了解掌握圓內接四邊形的概念，掌握圓內接四邊形的性質定理．
2 結合圓內接四邊形的學習，進一步培養推理論證能力．
復習鞏固
探究新知
典例分析
針對訓練
直擊中考
歸納小結
布置作業
【提問】簡述圓周角的定義？說出圓周角定理及推論內容？
頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
圓周角定理：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等
推論2：直徑(或半圓)所對的圓周角是直角；
90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓.
圓周角定理推論：
【提問】回答下面問題
1）什么是圓內接三角形？
2）什么是圓內接四邊形？
如果三角形的三個頂點均在同一個圓上，這個三角形叫做圓內接三角形.
如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形.
【提問】回答下面問題
3）什么是圓內接多邊形？
如果多邊形的所有頂點均在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形.
這個圓叫做多邊形的外接圓.
【提問】填空
如圖所示，___________是⊙O的內接多邊形，
_______是多邊形ABCDE的外接圓.
多邊形ABCDE
⊙O
【探究一】在紙上畫出一個圓，再任意畫一個圓內接四邊形，測量四邊形的度數，你發現了什么？
經過測量∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°,
【提問】圓內接四邊形中，圓心與對角線有幾種位置關系？
【探究】嘗試分以下兩種情況驗證：圓內接四邊形對角互補.
證明：∵BD是⊙O的直徑
∴∠C=90°，∠A=90°
則∠A+∠C=180°，而四邊形內角和為360°
∴∠ABC+∠ADC =180°
【探究】嘗試分以下兩種情況驗證：圓內接四邊形對角互補.
連接BO和DO
∠A所對的弧為BCD，∠C所對的弧為BAD
又∵ BCD和BAD所對圓心角的和為周角
∴∠A+∠C= 12 ×360°=180°
同理∠ABC+∠ADC =180°
即圓內接四邊形的對角互補.
?
例1 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度數．
【詳解】
∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝12∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
?
1．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC=130°，連接AC，則∠BAC的度數為 ．
2．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠BOD=140°，則它的一個外角∠DCE= ．
?
【詳解】解：∵四邊形ABCD內接與⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案為：40°．
【詳解】解：∵∠????????????=140°∴∠????????????=70°
∵四邊形ABCD內接于⊙????∴∠????????????+∠????????????=180°
∴∠????????????=110°∴∠????????????=70°故答案為：70°．
?
3．若四邊形????????????????是圓內接四邊形，若它的內角∠A:∠C=2:3，則∠????= ．
4．如圖，已知⊙O的半徑為2，ΔABC內接于⊙O，∠ACB=135°，則AB= ．
?
72°
?
【詳解】連接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半徑為2，△ABC內接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，∴AB=22，故答案為：22．
?
證明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,
∴∠A=∠E, ∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
5.如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，若BC=BE．
求證：△ADE是等腰三角形．
解：△ABC是等邊三角形.
證明：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形.
6.如圖，A,P,B,C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀并證明你的結論.
7．已知⊙O的半徑為10，圓心O到弦AB的距離為5，則弦AB所對的圓周角的度數是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【詳解】解：由圖可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD=????????2?????????2=53，
∴∠1=60°，同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所對的圓周角的度數是60°或120°，
故選D．
?
1．如圖，????????是⊙????的直徑，D，C是⊙????上的點，∠????????????=115°，則∠????????????的度數是（????）
??A．25° B．30° C．35° D．40°
?
2．如圖，圓內接四邊形ABCD中，∠BCD=105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC=2∠COD．則∠CBD的度數是（????）
?A．25° B．30°? C．35°? D．40°
?
1.圓內接多邊形的概念？
2.圓內接四邊形性質定理？
P88：練習第5題.
P89：習題24.1 第7題

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