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第二十四章 圓
24.2 點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系
第四單元
24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
1 理解與掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其運(yùn)用；
2 掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓；
3 理解三角形的外接圓和三角形外心的概念．
情景引入
探究新知
新知講解
典例分析
針對訓(xùn)練
探究新知
典例分析
針對訓(xùn)練
探究新知
典例分析
針對訓(xùn)練
直擊中考
歸納小結(jié)
布置作業(yè)
我國射擊運(yùn)動員在奧運(yùn)會上獲金牌，為我國贏得榮譽(yù).下圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同，半徑不相同）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績是如何計算的嗎？
射擊點(diǎn)與靶心的距離決定了它在哪個圓內(nèi)，射擊點(diǎn)離靶心越近，
它所在的區(qū)域就越靠內(nèi)，對應(yīng)的環(huán)數(shù)也就越高，射擊成績越好.
【問題一】觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？并對這六個點(diǎn)進(jìn)行分類？
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi).
點(diǎn)在圓外：
點(diǎn)在圓上：
點(diǎn)在圓內(nèi)：
點(diǎn)A、點(diǎn)C
點(diǎn)B
點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F
【問題二】設(shè)⊙O半徑為r，你知道點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓心O的距離與半徑的關(guān)系嗎？
點(diǎn)A在圓內(nèi)，OA ________ r;
點(diǎn)B在圓上，OB ________ r;
點(diǎn)C在圓外，OC ________ r.
＜
=
＞
【問題三】反過來，已知點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑，能否判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：
r
·
O
A
P
P’
P’’
d＜r
d=r
d＞r
點(diǎn)P 在⊙O內(nèi)
點(diǎn)P'在⊙O上
點(diǎn)P''在⊙O外
符號“<=>?”讀作“等價于”，
“A<=>B”表示由A條件可推出結(jié)論B,B結(jié)論可推出條件A.
【問題四】通過今天的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
1）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的實質(zhì)是判斷點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系.
2）已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，
反過來，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系也可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系.
3）圓的外部可以看成到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合；.
圓的內(nèi)部可以看成到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合.
例1 ⊙O的半徑為10cm，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在 ；點(diǎn)B在 ；點(diǎn)C在 .
圓內(nèi)
圓上
圓外
1.已知⊙O的面積為25π：
1）若PO=5.5，則點(diǎn)P在 ；
2）若PO= 4 ，則點(diǎn)P在 ；
3）若PO= ，則點(diǎn)P在圓上；
4）若點(diǎn)P不在圓外，則PO__________．
2.設(shè)⊙O的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為(0，0)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(4，-3)，
則點(diǎn)P在__________.
圓外
圓內(nèi)
5
≤5
圓上
3.在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形為邊長均相等），現(xiàn)計劃修建一座以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為（　　）
A．E、F、G B．F、G、H
C．G、H、E D．H、E、F

4.體育課上，小明和小麗的鉛球成績分別是6.4 m和5.1 m，他們投出的鉛球分別落在圖中哪個區(qū)域內(nèi)?

小明和小麗投出的鉛球分別落在圖中④、③內(nèi)
5.圓心為O的兩個同心圓，半徑分別為1和2，若OP= 3 ，則點(diǎn)P在（ ）
A.在大圓內(nèi) B.在小圓內(nèi)
C.小圓外 D.大圓內(nèi)，小圓外
?
o
例2 一個點(diǎn)到圓的最大距離為11 cm，最小距離為5 cm，則圓的半徑為( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
1.在同一平面內(nèi)，在⊙O外有一個定點(diǎn)P到圓上的距離最長為10，最短為2，則⊙O的半徑是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【問題一】平面上有一點(diǎn)A ，經(jīng)過已知A點(diǎn)的圓有幾個？圓心在哪里？
能畫出無數(shù)個圓，圓心為點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)，半徑為這點(diǎn)與點(diǎn)A的距離.
【問題二】平面上有兩點(diǎn)A、B，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓有幾個？圓心在哪里？
A
B
能畫出無數(shù)個圓，圓心都在線段AB的垂直平分線上.
【問題三】平面上有三點(diǎn)A、B、C，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B 、C的圓有幾個？圓心在哪里？
A
B
C
0
經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的圓的圓心在線段BC的垂直平分線上.
經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心應(yīng)該在這兩條垂直平分線的交點(diǎn)O的位置.
經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.
不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.
【提問一】通過預(yù)習(xí)，你能說出三角形的外接圓的概念嗎？
經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.
這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.
三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.
【提問二】
1）如右圖，⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
2）一個三角形的外接圓有幾個？
3）一個圓的內(nèi)接三角形有幾個？
4）你知道三角形外心的性質(zhì)嗎？
外接圓　
內(nèi)接三角形　
一個
無數(shù)個
三角形外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等.
【試一試】請做出.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓．這些外接圓的圓心在什么位置？
三角形內(nèi)
斜邊中點(diǎn)
三角形外
A
B
C
O
A
B
C
C
A
B
O
O
例3 判斷：
1)經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓.（ ）
2)三角形的外心就是這個三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn).（ ）
3)三角形的外心到三邊的距離相等.（ ）
4)等腰三角形的外心一定在這個三角形內(nèi).（ ）
5)已知圓心和半徑可以作一個圓.（ ）
6)經(jīng)過一個已知點(diǎn)A的圓能做無數(shù)個.（ ）
7)經(jīng)過兩個已知點(diǎn)A，B的圓能做兩個.（ ）
8)經(jīng)過不在同一直線上的三個點(diǎn)A，B，C只能做一個圓.（ ）
×
√
×
×
√
√
×
√
例4 如圖，已知AB?，試確定AB所在的圓的圓心.
?
如圖，點(diǎn)O即為所求.
1.如圖，CD 所在的直線垂直平分線段?AB，怎么用這樣的工具找到圓形工件的圓心？
?
????
?
2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是 ________，半徑是 ________．
【詳解】
∵△ABC外接圓的圓心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，
又∵BC與AB的垂直平分線交于點(diǎn)(5,2)，
∴點(diǎn)(5,2)到三角形三個頂點(diǎn)距離相等，
∴點(diǎn)(5,2) 是三角形的外接圓圓心.
∴△ABC外接圓的半徑為25
?
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、?2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是( )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
?
【問題一】經(jīng)過同一條直線上的三個點(diǎn)?A，B，C?能做出.一個圓嗎？如何證明你的結(jié)論？
?
B
C
????
?
????1
?
????2
?
P
A
1）假設(shè)經(jīng)過同一條直線上L上的A,B,C三點(diǎn)可以作一個圓.
2）設(shè)這個圓的圓心為P，那么點(diǎn)P 即在????1上，也在????2上，即點(diǎn)P為????1與????2的交點(diǎn).（????1是線段AB的垂直平分線，????2是線段BC的垂直平分線）
?
3）而????⊥????1， ????⊥????2這與我們以前學(xué)過的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.
?
4）所以經(jīng)過同一條直線上的三個點(diǎn)不能作圓.
先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．
【問題二】簡述反證法的一般步驟？
1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立;
2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾;
3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.
例5 已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個命題的四個步驟：
①∴A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°
③假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°?????④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
這四個步驟正確的順序應(yīng)是（????）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
?
【詳解】解：運(yùn)用反證法證明這個命題的四個步驟
1）假設(shè)在????????????????中，∠????≥90°
2）由????????=????????，得∠????=∠????≥90°，即∠????+∠????≥180°
3）∴∠????+∠????+∠????>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾
4）因此假設(shè)不成立．∴∠????<90°
綜上所述，這四個步驟正確的順序應(yīng)是：③④①②
故選：D
?
1．用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內(nèi)角小于45°時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（　　）
A．每一個內(nèi)角都大于等于45° B．每一個內(nèi)角都小于45°
C．有一個內(nèi)角大于等于45° D．有一個內(nèi)角小于45°
2.求證：等腰三角形的底角必為銳角．

【詳解】證明：如圖所示，△????????????是等腰三角形，????????=????????，
假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則為鈍角或者直角，
∵????????=????????，∴∠????????????=∠????????????
∵∠????????????，∠????????????為鈍角或直角，
∴∠????????????+∠????????????≥180°
這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)不成立，
∴等腰三角形的底角必為銳角．
?
3.用反證法證明“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”
證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即
∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°，
則∠A+∠B+∠C＞　　．
這與　　相矛盾．
∴　　不成立．
∴　　．
【答案】>，>，>，180°，內(nèi)角和為180°，假設(shè)，求證的命題正確．
?
4.用反證法證明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（填空）．
已知：如圖，????1∥????2，????1，????2都被????3所截．
求證：∠1+∠2=180°．
證明：假設(shè)∠1+∠2　　180°，
∵????1∥????2，∴∠1　　　∠3，
∵∠1+∠2≠180°
∴∠3+∠2　　180°，這與　　　矛盾，
∴假設(shè)∠1+∠2　　180°不成立，即∠1+∠2=180°；
?
【詳解】≠；=；≠；平角為180°；≠．
?
1．如圖，在△????????????中，∠????????????=90°，????????=5，BC=4．以點(diǎn)????為圓心，????為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)????在⊙????內(nèi)且點(diǎn)????在⊙????外時，????的值可能是（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
?
【詳解】解：∵在△????????????中，∠????????????=90°，????????=5，BC=5，
∴????????=????????2?????????2=3，
∵點(diǎn)????在⊙????內(nèi)且點(diǎn)????在⊙????外，
∴????????觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
?
2．如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點(diǎn)，最多可畫出圓的個數(shù)為（????）
??A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
3．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，即三個內(nèi)角都大于60°．則三角形的三個內(nèi)角的和大于180°，這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（????）
A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法
?
4．如圖，△????????????是⊙????的內(nèi)接三角形．若∠????????????=45°，????????=2，則⊙????的半徑是 ．
5．如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△????????????的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△????????????外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來 ．
?
【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離均為：12+22=5，
則外接圓半徑????=5，
圖中D點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12+22=5=????，
圖中E點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12+32=10，
則可知除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
?
1.簡述點(diǎn)與圓的位置關(guān)系？
2.簡述三角形的外接圓和三角形外心的概念？
P101~102：習(xí)題24.2 第1題、第7題、第9題
第二十四章 圓
24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系
（第一課時）
第四單元
1 理解直線和圓的三種位置關(guān)系．
2 經(jīng)歷類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系研究直線和圓的位置關(guān)系的過程，體會類比思想，分類思想以及數(shù)形結(jié)合思想．
復(fù)習(xí)鞏固
情景引入
探究新知
典例分析
針對訓(xùn)練
典例分析
針對訓(xùn)練
典例分析
針對訓(xùn)練
能力提升
歸納小結(jié)
布置作業(yè)
【提問】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？用數(shù)量關(guān)系如何來判斷呢？
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi).
設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：
r
·
O
A
P
P’
d＜r
d=r
d＞r
點(diǎn)P 在⊙O內(nèi)
點(diǎn)P’在⊙O上
點(diǎn)P”在⊙O外
曉日
天際霞光入水中，
水中天際一時紅.
直須日觀三更后，
首送金烏上碧空.
【問題一】古詩前兩句的意思是什么？
天邊霞光映入水中，一時間水天相接的天際一片通紅.
【問題二】如果從數(shù)學(xué)的角度來分析，把水面當(dāng)作一直線，太陽當(dāng)作一個圓，請同學(xué)們利用手中的紙片圓和筆，再現(xiàn)海上日出過程？
【問題三】再現(xiàn)海上日出過程中，你認(rèn)為直線和圓有幾種位置關(guān)系嗎？分類依據(jù)是什么？
1
2
3
直線l(水面）
根據(jù)直線與圓之間公共點(diǎn)的數(shù)量分為以下三類情況：
直線和圓有兩個公共點(diǎn)
直線和圓只一個公共點(diǎn)
直線和圓沒有公共點(diǎn)
【問題四】通過預(yù)習(xí)，你能根據(jù)直線與圓之間公共點(diǎn)個數(shù)下定義嗎？
1）直線與圓沒有公共點(diǎn)，稱為直線與圓相離.
2）直線與圓只有一個公共點(diǎn)，稱為直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點(diǎn)叫切點(diǎn).
3)直線與圓有兩個公共點(diǎn)，稱為直線與圓相交.
這條直線叫做圓的割線.
切點(diǎn)
切線
割線
【練一練】判斷下面圖片中直線與圓的位置關(guān)系？
相交
相離
相交（上）
相切（下）
相交
【問題五】結(jié)合探究點(diǎn)與圓位置關(guān)系的過程，你能否用相關(guān)的數(shù)量來判別直線與圓的位置關(guān)系？
設(shè)⊙O的半徑為r，直線l到圓心的距離為d，則有：
r
·
O
A
l
l’
l’’
d＜r
d=r
d＞r
直線l與⊙O相交
直線l'與⊙O相切
直線l''與⊙O相離
d
例1 已知圓的直徑為14cm，設(shè)直線和圓心的距離為d ：
1)若d=4.5cm ,則直線與圓　　 , 直線與圓有____個公共點(diǎn).
2)若d= 7cm ,則直線與圓______, 直線與圓有____個公共點(diǎn).
3)若d= 8cm ,則直線與圓______, 直線與圓有____個公共點(diǎn).
相交
相切
相離
2
1
0
1．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（﹣2，3）為圓心，半徑為3的圓一定（????）
A．與x軸相切，與y軸相切 B．與x軸相切，與y軸相交
C．與x軸相交，與y軸相切 D．與x軸相交，與y軸相交
2．設(shè)⊙O的半徑為4cm，直線L上一點(diǎn)A到圓心的距離為4cm，則直線L與⊙O的位置關(guān)系是______．
【詳解】∵直線上一點(diǎn)到圓心距離為4cm，
∴圓心到直線的距離≤4cm，∴直線與圓相切或相交．
故答案為：相切或相交
例2 已知⊙O的半徑為6cm, 圓心O與直線AB的距離為d, 根據(jù)條件填寫d的范圍:
1)若AB和⊙O相離, 則 ;
2)若AB和⊙O相切, 則 ;
3)若AB和⊙O相交, 則 .
d > 6 cm
d = 6 cm
0 cm ≤ d < 6 cm
1．如圖，已知RtΔABC中，∠C=90?，AC=3，BC=4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（??????）
A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤r≤4 D．3≤r≤4
?
【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5
∵12CD?AB=12BC?AC∴CD=125
∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時，r的取值范圍為125≤r≤4
故選：C
?
2．在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，O是AB上的一點(diǎn)，OA=m，⊙O的半徑為r，當(dāng)r與m滿足怎樣的關(guān)系時，
1）AC與⊙O相交？2）AC與⊙O相切？3）AC與⊙O相離？
?
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，
∵∠C=90°，OD⊥AC，∴OD//BC，
∴∠DOA=∠B=30°，∴AD=12OA=12m，∴OD=OA2?AD2=32m，
∴（1）當(dāng)r>32m時，AC與⊙O相交；
（2）當(dāng)r=32m時，AC與⊙O相切；
（3）當(dāng)0?
3．在平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（3，4），以半徑r在坐標(biāo)平面內(nèi)作圓，
（1）當(dāng) 時，圓O與坐標(biāo)軸有1個交點(diǎn)；
（2）當(dāng) 時，圓O與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)；
（3）當(dāng) 時，圓O與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)；
（4）當(dāng) 時，圓O與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)；
r=3
?
3?
r=4或5
?
r>4且r≠5
?
例3 已知⊙O與直線l無公共點(diǎn)，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
例4．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移(　　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
1.?⊙????的圓心到直線????的距離為3cm，⊙????的半徑為1????????，將直線????向垂直于????的方向平移，使????與⊙????相切，則平移的距離是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm
?
【詳解】
解:如圖,
當(dāng)直線????向上平移至????′位置時,平移距離為3-1=2厘米;
當(dāng)直線????向上平移至????″位置時,平移距離為3+1=4厘米.
故答案選:D.
?
1．如圖，點(diǎn)A是一個半徑為300m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B,C兩村莊，現(xiàn)要在B,C兩村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連通，現(xiàn)測得∠ABC=45°，∠ACB=30°．問此公路是否會穿過該森林公園？請通過計進(jìn)行說明?
?
【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥ BC于點(diǎn)D
∵∠ABC=45°，∠ACB=30°
∴ BD=AD??， AC=2AD
DC=AC2?AD2=(2AD)2?AD2=3AD
∵BC=1000m∴BD+CD=AD+3AD=1000
∴AD=500(3?1)????
而AD=500(3?1) >300
∴公路不會穿過森林公園．
?
1.圓與直線有幾種位置關(guān)系？分別是什么？
2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？你有幾種方法？
P96：練習(xí)
P101：習(xí)題24.2 第2題
第二十四章 圓
24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系
（第二課時）
第四單元
1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.
2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.
3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.
復(fù)習(xí)鞏固
探究新知
新知講解
歸納小結(jié)
典例分析
針對訓(xùn)練
探究新知
典例分析
針對訓(xùn)練
直擊中考
歸納小結(jié)
布置作業(yè)
【提問一】判定直線和圓的位置關(guān)系的方法有幾種？
【提問二】直線和圓有哪些位置關(guān)系？如何判斷直線與圓相切？
判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種：
1）根據(jù)定義，由直線與圓之間公共點(diǎn)個數(shù)來判斷；
2) 根據(jù)數(shù)量關(guān)系，由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來判斷.
直線與圓的位置關(guān)系有三種：相切、相交、相離.
判定直線與圓相切的方法有兩種：
1）根據(jù)定義，當(dāng)直線與圓之間只有1個公共點(diǎn)時，直線與圓相切；
2) 根據(jù)數(shù)量關(guān)系，當(dāng)圓心到直線的距離d與半徑r相等時，直線與圓相切.
【問題一】已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線？
【問題二】填空
(1)直線l與⊙O有______個交點(diǎn)
(2)圓心O到直線l的距離d與r的關(guān)系是______
(3)直線l和⊙O半徑r的位置關(guān)系是______
(4)由此你發(fā)現(xiàn)了什么？
O
A
D
l
方法不唯一
d=r
垂直
1
1）直線l經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A.
2) 直線l垂直于半徑OA.
則直線l與⊙O相切.
這樣我們就得到了從位置上來判斷直線是圓的切線的方法-切線的判定定理.
l
A
o
切線的判定定理：
∵OA⊥l于點(diǎn)A,OA是半徑
∴直線l是⊙O的切線．
符號語言：
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
【提問】要使直線l是⊙O的切線需要滿足哪些條件？
①經(jīng)過半徑的外端；②垂直于這條半徑．
兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.
判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：
1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線;
2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；
3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
l
A
l
O
l
r
d
例1 判斷下列各直線是不是圓的切線？若不是，請說明原因？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因為沒有垂直.
(2)(3）不是，因為沒有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)A.
1. 判斷下列命題是否正確
⑴ 經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線. （ ）
⑵ 垂直于半徑的直線是圓的切線. （ ）
⑶ 過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線. （ ）
⑷ 和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線. （ ）
×
×
√
√
證明： 過點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E,連接OD,OA.
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D,
∴ _______________.
又∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn),
∴______________________（ ）
∴__________（ ）
即OE是⊙O的半徑,∴AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端E，OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切線( )．
OD⊥AB
AO是∠BAC的平分線
三線合一
OE=OD
角平分線性質(zhì)
切線的判定定理
2. 如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D. 求證：AC是⊙O的切線.
3. 已知:直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA＝CB．
求證:直線AB是⊙O的切線．
證明：連接OC,
∵OA=OB，CA＝CB,
∴OC⊥AB.
∵直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,
∴OC是半徑
∴直線AB是⊙O的切線.
【利用切線判定定理解題思路一】已知公共點(diǎn)，連半徑，證垂直.
4.已知:OA=OB=5，AB=8，⊙O的直徑為6．
求證:直線AB是⊙O的切線．
證明：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,
∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4.
在Rt△AOC中,根據(jù)勾股定理可得：OC=3
∵⊙O的直徑為6 ∴OC是⊙O的半徑
∴直線AB是⊙O的切線.
【利用切線判定定理解題思路二】未知公共點(diǎn)，作垂線，證半徑.
5. 如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB延長線相交于點(diǎn)P．
若∠COB＝2∠PCB，求證：PC是⊙O的切線．
證明：連接AC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．
∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．
6.1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩 種情況）：① _________ ；② _____________ .
2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
圖1
圖2
證明：連接AO并延長交☉O于D,連接CD,
則AD為☉O的直徑.
∴ ∠D+∠DAC=90 °,
∵ ∠D與∠B都是弧AC所對的圓周角,
∴ ∠D=∠B,
又∵ ∠CAE=∠B, ∴ ∠D=∠CAE,
∴ ∠DAC+∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切線.
D
【問題一】如圖，如果直線l是⊙O 的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？
證明：
(1)假設(shè)OA與直線l不垂直;過點(diǎn)O作OP⊥直線l于點(diǎn)P
(2)因為點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，所以O(shè)P?OA,即圓心O到直線l的距離小于⊙O的半徑，因此l與⊙O相交，這與已知條件“直線l是⊙O的切線”相矛盾；
(3)所以假設(shè)不成立,OA⊥直線l．
P
【問題二】你發(fā)現(xiàn)了什么？
切線的性質(zhì)定理：
∵直線l是⊙O的切線，點(diǎn)A的切點(diǎn)
∴OA⊥直線l
符號語言：
l
A
o
圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．
例2 如圖, ⊙O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則⊙O的半徑多少？
O
P
B
A
解：連接OB，則∠OBP=90°.
設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，由勾股定理得
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半徑為3.
有切線時常用輔助線添加方法： 見切線，連切點(diǎn)，得垂直.
1.如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OA，OB，若∠B=35°，則∠AOB的度數(shù)為（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2. 如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長線與過點(diǎn)B的⊙O的切線交于點(diǎn)C，如果∠ABO＝20°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°

3．如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上,且∠ACB＝55°，則∠APB等于(???)
A．55° B．70° C．110° D．125°
【詳解】解：連接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
故選B．
4．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P，已知∠OAB=22°，則∠OCB=__________．
【詳解】連接OB，
∵BC是⊙O的切線，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案為44°
1．如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過點(diǎn)A的切線與CD延長線相交于點(diǎn)B，若AB=AC，則下列說法錯誤的是（????）
A．AD⊥BC B．∠CAB=90° C．DB=AB D．AD=12BC
2．如圖，????????是⊙????的半徑，????????是⊙????的弦，????????⊥????????于點(diǎn)D，????????是⊙????的切線，????????交????????的延長線于點(diǎn)E．若∠AOC=45°，????????=2，則線段????????的長為 ．
?
2
?
3．如圖，△????????????是⊙????的內(nèi)接三角形，????????是⊙????的直徑，點(diǎn)????是????????的中點(diǎn)，????????//????????交????????的延長線于點(diǎn)????．
（1）求證：直線????????與⊙????相切；
（2）若⊙????的直徑是10，∠????=45°，求????????的長．
?
【詳解】解：（1）連接OD交BC于點(diǎn)F，如圖，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，
∵DE//BC∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半徑∴直線DE與⊙O相切；
?
3．如圖，△????????????是⊙????的內(nèi)接三角形，????????是⊙????的直徑，點(diǎn)????是????????的中點(diǎn)，????????//????????交????????的延長線于點(diǎn)????．
（1）求證：直線????????與⊙????相切；
（2）若⊙????的直徑是10，∠????=45°，求????????的長．
?
（2）∵AC是⊙O的直徑，且AB=10,
∴∠ABC=90°，OC=OA=12AB=5
∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB
∵∠BAC=45° ∴∠DOE=45°
∵∠ODE=90° ∴∠OED=45 ∴DE=OD=OC=5
由勾股定理得，OE=52
∴CE=OE?OC=52?5．
?
4．如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線與點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE//AD交CD于點(diǎn)E，連接BE．
(1)直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的長．
?
【詳解】（1）證明：連接????????．
∵????????為⊙????切線，∴∠????????????=∠????????????=90°
又∵????????∥????????，∴????????????=∠????????????，∠????????????=∠????????????
且∠????????????=∠????????????，∴∠????????????=∠????????????，
在△????????????與△????????????中????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????，∴△????????????≌△????????????，
∴∠????????????=∠????????????=90°
∴直線BE與⊙????相切．
?
4．如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線與點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE//AD交CD于點(diǎn)E，連接BE．
(1)直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的長．
?
（2）設(shè)半徑為????；
則：????2+42=(2+????)2，得????=3；
在直角三角形????????????中，????????2+????????2=????????2，
(2+3+3)2+????????2=(4+????????)2，
解得????????=6
?
1.切線的判定方法有幾種？分別是什么？
2.切線的判定定理與性質(zhì)定理是什么？它們有怎樣的聯(lián)系？
3.簡述在應(yīng)用切線的判定定理和性質(zhì)定理時，常見輔助線的添加方法？
P101~102：習(xí)題24.2 第4題，第5題，第12題
第二十四章 圓
24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系
（第三課時）
第四單元
1 了解三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心的概念，會作三角形內(nèi)切圓；掌握切線長定理，并會用其解決有關(guān)問題．
2 經(jīng)歷探索切線長定理的過程，體會應(yīng)用內(nèi)切圓相關(guān)知識解決問題，滲透轉(zhuǎn)化思想和方程思想．
探究新知
新知講解
探究新知
新知講解
典例分析
針對訓(xùn)練
探究新知
新知講解
歸納總結(jié)
探究新知
典例分析
針對訓(xùn)練
能力提升
直擊中考
歸納小結(jié)
布置作業(yè)
【問題一】在同一個平面內(nèi)，有一點(diǎn)P和⊙O，則點(diǎn)P和⊙O有幾種位置關(guān)系？
點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
點(diǎn)P在⊙O上
點(diǎn)P在⊙O外
【問題二】過點(diǎn)P能否作⊙O的切線？如果能，說明作法？如果不能，說明理由？
點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
過點(diǎn)P的直線都與圓相交，所以不存在過P點(diǎn)的直線與⊙O相切.
點(diǎn)P在⊙O上
作法：
①連接OP；
②過P點(diǎn)作已知線段OP的垂線l，直線l即為⊙O的切線.
l
【問題二】過點(diǎn)P能否作⊙O的切線？如果能，說明作法？如果不能，說明理由？
作法：連接OP
①作線段OP的中點(diǎn)M；
②作以M為圓心，OM長為半徑的⊙M ,與⊙O交于A,B兩點(diǎn)；
③作直線PA,PB，則直線PA,PB即為⊙O的兩條切線.
【問題三】你發(fā)現(xiàn)了什么？
點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
點(diǎn)P在⊙O上
點(diǎn)P在⊙O外
過圓外一點(diǎn)可以作圓的______條切線；
過圓上一點(diǎn)可以作圓的______條切線；
過圓內(nèi)一點(diǎn)可以作圓的______條切線 .
2
1
0
P
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長,叫做這點(diǎn)到圓的切線長．
A
O
切線長的定義：
1）切線是直線，無法度量.
2）切線長是圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的距離，
可以度量．
【提問】簡述切線與切線長的區(qū)別？
【問題四】 若PA，PB為⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，通過幾何畫板演示，你發(fā)現(xiàn)了什么？
PA = PB，∠APO=∠BPO
和同桌一起交流，你能用學(xué)過的知識證明這兩個結(jié)論嗎？
【問題五】已知：線段PA，PB切?O于點(diǎn)A，B，連接OP，AO，BO
證明：1）PA=PB 2）∠APO =∠BPO
證明：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA⊥OA,PB⊥OB
即：∠OAP=∠OBP=90°
又∵ AO=BO，OP=OP
∴ Rt△APO≌Rt△BPO（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
切線長定理:
從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
幾何語言:
∵PA，PB切?O于點(diǎn)A，B
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
例1 如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，連結(jié)OP
1）圖中有哪些相等關(guān)系？
2）若連結(jié)AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等嗎？
3）OP和AB有怎樣的位置關(guān)系？
4）連結(jié)OA、OB，則圖中和∠OAC相等的角有哪些？
5）圖中和∠ABP相等的角有哪些？
PA=PB，AO=BO
相等
OP垂直平分AB
∠APO，∠BPO，∠OBA
∠BAP，∠AOP，∠BOP
1 如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，若∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2 如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)．直線EF切⊙O于C點(diǎn)，分別交PA、PB于E、F，且PA＝10．則△PEF的周長為（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25

【詳解】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，
⊙O的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)C在弧AB上，
∴AE＝CE，F(xiàn)B＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周長＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故選：C．
3．如圖，PA,PB切⊙O于A,B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA,PB于C,D．若ΔPCD的周長為3，則PA的值為（??）
A．32 B．23 C．12 D．34
?
【詳解】∵PA,PB切⊙O于A,B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA,PB于C,D
∴PA=PB,CA=CE,DE=DB
∴ΔPCD的周長為PC+CA+PD+DB=2PA=3
∴PA=32 故選：A．
?
4．如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D．若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PCD的周長等于 _____．
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，OA，OB是半徑，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，∴PO是∠APB的平分線，
∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA＝4，
在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝OP2?OA2=23，
∵PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，∴PA＝PB＝23，
∵CD切⊙O于點(diǎn)E，∴AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周長＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝43，
故答案為：43．
?
【提問一】一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，使截出的圓與三角形各邊都相切？
1）按要求截出圓的圓心應(yīng)滿足什么條件嗎？
2）如何畫出這個圓呢？
圓心到三角形三條邊的距離都等于半徑.
作法：
1)作∠B和∠C的平分線BM和CN交于點(diǎn)O，
2)過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，
3)以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓.
則⊙O為所求的圓.
三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心（即三角形三條角平分線的交點(diǎn)）.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}圓心的名稱
圓心的確定方法
圖形
圓心的性質(zhì)
外心
內(nèi)心
三角形三邊
中垂線的交點(diǎn)
三角形三條
角平分線的交點(diǎn)
1)OA=OB=OC
2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．
1)到三邊的距離相等；
2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．
【思考】直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊有什么關(guān)系？
已知Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半徑為r
求證：⊙O的半徑r與AB,BC,AC的關(guān)系？
A
B
C
D
E
F
0
連接DO,OE,OF
∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓
∴EC=FC,AF=AD,BD=BE
∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°,DO=OE
∴四邊形DOEB是正方形
∴BD=BE=r
則AC=(AB- r)+(BC- r)，r= 12(AB+BC-AC)
?
r
r
BC-r
BC-r
AB-r
AB-r
【思考】直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊有什么關(guān)系？
已知Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半徑為r
求證：⊙O的半徑r與AB,BC,AC的關(guān)系？
B
C
D
F
0
E
分別連接AO,BO,CO,DO,OE,OF,顯然DO⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC設(shè)AB=a，BC=b，AC=c
A
a
b
c
S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
= 12????????+ 12????????+12????????
=12r(a+b+c)
?
而S△ABC= 12ab
?
∴12r(a+b+c)=12ab，化簡得r(a+b+c)=ab
?
∴????=????????????+????+????
?
【思考】直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊有什么關(guān)系？
已知Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半徑為r
求證：⊙O的半徑r與AB,BC,AC的關(guān)系？
B
C
D
F
0
E
A
a
b
c
設(shè)AB=a，BC=b，AC=c
在Rt△ABC中，????2+????2=????2???????
????2+????2+2ab= ????2??+2ab
(????+????)2- ????2??= 2ab
(????+????+????)(a+b-c)= 2ab
????????????(a+b-c)=2ab,
∴r= 12(a+b-c)

?
【提問二】你發(fā)現(xiàn)了什么？
1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：????=2????????
其中S為三角形的面積；C為三角形的周長.
2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：????=????+?????????2或????=????????????+????+????.
其中a，b為直角三角形的直角邊長；c為斜邊長.
?
例2 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的長.
A
F
O
E
B
D
C
x
x
13
13-x
13-x
9-x
9-x
14
9
解：設(shè)AF=x，則AE=x，
∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.
由 BD+CD=BC，可得
(9-x) + (13-x)=14
解得，x=4
則AE=4,BD=5,CE=9
例2 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的長.
解：設(shè)AF長為x,BD長為y，EC長為z
x+z =13
y+z =14
x+y = 9
解得x=4，y=5，z=9
則AE=4，BD=5，CE=9
A
F
O
E
B
D
C
x
x
13
z
z
y
y
14
9
1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，則△ABC內(nèi)切圓
半徑為__________．
2.如圖，I為△ABC的內(nèi)切圓，AB=9，BC=8，AC=10，點(diǎn)D．E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且DE為I的切線，則△ADE的周長為_______.
2
【詳解】
設(shè)DE、BD、BC、CE與I的切點(diǎn)分別為F、 G、H、M，
由切線長定理知：BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；
則AG+AM=AB+AC?BC=11；
所以△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE
=AG+AM=11.
3.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度數(shù)．
A
B
C
O
D
E
F
解：連接OE，OF，
∵ ∠B＝60°，∠C＝70°∴∠A=50°
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴AB⊥OF，AC⊥OE，則∠AFO=∠AEO=90°
在四邊形AFOE中，∠EOF= 360°－(∠A+∠AFO+∠AEO)
= 360°－(50°+90°+90°)
= 130°
∴∠EDF= 12∠EOF=65°
?
4．如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為（????）
A．2 B．3 C．3 D．23
?
【詳解】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
連接AD，OB，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60?，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠OBC=12∠ABC=30?，
∵⊙O切BC于D，∴∠ODB=90?，
∵OD=1，∴OB=2，
由勾股定理得：BD=22?12=3，同理求出CD=3，
即BC=23.故選D.
?
1.已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？
古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式—海倫公式S=???????????????????????????????（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=????+????+????2，S為三角形的面積），并給出了證明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計算：
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=????+????+????2=6∴S=???????????????????????????????=6×3×2×1=6
根據(jù)上述材料，解答下列問題：
如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海倫公式求△ABC的面積；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．
?
【詳解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=????????+????????+????????2=5+6+92=10，
∴S=???????????????????????????????=10×5×4×1=102；
故△ABC的面積102；
?
1.已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？
古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式—海倫公式S=???????????????????????????????（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=????+????+????2，S為三角形的面積），并給出了證明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計算：
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=????+????+????2=6∴S=???????????????????????????????=6×3×2×1=6
根據(jù)上述材料，解答下列問題：
如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海倫公式求△ABC的面積；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．
?
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），解得：r=2，
故△ABC的內(nèi)切圓半徑r為2．
?
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)????作????????⊥????????,????????⊥????????，
∵????是△????????????的內(nèi)心，∴????????=????????,????????=????????,????????=????????，
設(shè)????????=????????=????,????????=????????=????，
∵BD＝10，∴????????=????????=10?????，
∴????????=????????+????????=????+10?????,????????=????????+????????=????+????+4，
∵????????=????????，∴????+10?????=????+????+4，解得????=3，
∴????????=?????????????????=10?3=7，
故選B．
?
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四邊形AEOF為正方形，
設(shè)⊙O的半徑為r，∴OE=OF=r，∴S四邊形AEOF=r?，
連接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴12(????????+????????+????????)????=12?????????????????，∴r=2，
∴S四邊形AEOF=r?=4，故選A.
?
2．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是(????)
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)會了哪些知識？
2.簡述圓的切線和切線長的區(qū)別？
3.什么是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心？
P101~102：習(xí)題24.2 第6題，第14題

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