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(共48張PPT)
第二十四章 圓
24.4 弧長和扇形面積
（第一課時）
第四單元
1 理解弧長和扇形面積公式, 會計算弧長、扇形面積.
2 靈活運用弧長及扇形面積公式解決實際問題.
情景引入
探究新知
新知講解
典例分析
針對訓練
探究新知
新知講解
探究新知
典例分析
直擊中考
歸納小結
布置作業
針對訓練
【情景一】下圖是學校操場的環形跑道，你會計算環形跑道的長度嗎？
環形跑道的長度=2條直線跑道長度之和+2個半圓組成的圓的周長
【情景二】運動會200米賽跑比賽中，為什么選手的起跑位置不在同一處？
因為不同的跑道，跑道一圈的長度不一樣，要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的，所以運動員的起跑位置不在同一處，越靠近外側的運動員所在跑道的長度越長，所以他的起跑位置越靠前.
【問題一】我們知道，弧是圓的一部分，弧長就是圓周長的一部分.
1) 求半徑為R的圓的周長.
2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長.
3） 1°的圓心角所對的弧長是：
4） 45°的圓心角所對的弧長是：
5) 90°的圓心角所對的弧長是：
6) n°的圓心角所對的弧長是：
2ΠR
360
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為：
【補充】1）n沒有單位，弧長和半徑單位一致.
2）弧長的大小與圓心角大小和半徑的長度有關.
3）弧長公式中R、n、l三個量，已知兩個可求另一個.
弧長公式：
例1 制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖所示管道的展直長度L(結果取整數)
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
解：由弧長公式，可得的長
因此所要求的展直長度
答：管道的展直長度約為2970mm．
1.若扇形的圓心角為90°，半徑為6 cm，則該扇形的弧長為__________ cm.
2.若一弧長為10πcm，此弧所對的圓心角為120°，則該弧所在圓的半徑為_________ cm．
3.若一條弧的長為6πcm，弧的半徑為6cm，則該弧所對的圓心角為__________ .
3π
15
180°
【問題二】觀察圖形，嘗試給出扇形的概念？
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形.
半徑
半徑
O
B
A
圓心角
弧
【練一練】判斷下列圖片中哪些是扇形？
【問題三】由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分.
1) 求半徑為R的圓的面積.
2）圓的面積可以看作是多少度的圓心角所對扇形的面積.
3） 1°的圓心角所對扇形的面積是：
4） 45°的圓心角所對扇形的面積是：
5) 90°的圓心角所對扇形的面積是：
6) n°的圓心角所對扇形的面積是：
360
在半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積為：
扇形面積公式：
【補充】1）扇形周長公式=2R+l=2R+
【問題三】你覺得扇形的面積與哪些因素有關？
根據扇形公式，可知扇形的面積與圓心角、半徑有關.
圓心角大小不變時，半徑越長，面積越大.
圓的半徑不變時，圓心角越大，面積越大.
【問題四】對比弧長公式（）和扇形面積公式（ ）,
你發現了什么？
例2 一個扇形的弧長為20πcm，半徑為24cm，則該扇形的面積為_______.
240Π c
1.扇形的圓心角為60°，半徑為5 ,則這個扇形的弧長_______, 這個扇形的面積為______.
2.已知扇形的圓心角為120°,弧長為20π，扇形面積為 ．
3．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是_________
【詳解】解：設這個扇形的半徑為r，圓心角是n，面積為S，弧長為，
由題意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，又由可得：，
解得：，
4.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，則陰影部分的面積是（　　）
A. B. C.π D.2π
【詳解】∵∠BCD=30°，∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，OA=2，
∴陰影部分的面積是：，故選B．
5. 如圖，折扇完全打開后，OA、OB的夾角為120°，OA的長為30cm，AC的長為20cm，求圖中陰影部分的面積S．
解 S=S扇形OAB-S扇形OCD，
A
B
C
D
解：如圖，連接OA，OB,作弦AB的垂直平分線，垂足為D，
交弧AB于點C，連接AC.
∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是線段OC的垂直平分線
∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°,∠AOB=120°
有水部分的面積S=S扇形OAB-S△OAB= ×0.62 - AB·OD≈0.22(m2).
6.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積？（結果保留小數點后兩位）
1．如圖，在中，若，，則扇形 (陰影部分)的面積是( )
A． B． C． D．
2．圓心角為，半徑為3的扇形弧長為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，某小區要綠化一扇形空地，準備在小扇形內種花在其余區域內（陰影部分）種草，測得∠AOB=120°，OA=15m，，則種草區域的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為(　　)
A． B． C． D．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，，，∴四邊形是矩形，
∵，∴四邊形是正方形，
∴，，
∴圖中陰影部分面積，
故選：B．
1.通過本節課的學習,你學會了哪些知識？
2.簡述扇形的概念？
3.簡述弧長和扇形面積公式？
P113：練習第2題，第3題
P115：習題24.4 第2題，第6題，第7題
第二十四章 圓
24.4 弧長和扇形面積
（第二課時）
第四單元
1 理解圓錐的相關概念.
2 理解圓錐側面積的計算公式，并會運用公式解決問題.
探究新知
新知講解
探究新知
典例分析
歸納小結
探究新知
典例分析
針對訓練
直擊中考
布置作業
針對訓練
【問題一】觀察下面幾何體，你發現了什么？
它們都是由一個底面和一個側面圍成的幾何體
由一個底面和一個側面圍成的幾何體.
連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段.
連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高.
圓錐概念：
母線概念：
圓錐的高的概念：
【問題二】觀察下圖，你覺得圓錐的高與底面、底面圓心有什么關系？
【問題三】圓錐的母線有多少條？你發現了什么？
圓錐的高通過底面的圓心，并垂直于底面.
圓錐的母線有無數條，它們的長都相等.
【問題四】圓錐的底面圓半徑r、高h、母線l三者之間有什么關系呢？
圓錐的母線l、圓錐的高h、圓錐底面圓半徑r恰好構成一個直角三角形，所以圓錐可以看做是一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周所構成的圖形，滿足，利用這一關系，已知任意兩個量，可以求出第三個量.
【問題五】將一個扇形紙片的兩條半徑重合，所圍成的幾何體、是_____________
【問題六】圓錐體展開后是什么樣子的呢？
圓錐體展開圖由一個扇形（圓錐的側面）和一個圓（圓錐的底面）組成.
【問題七】展開的扇形弧長和底面圓之間有什么關系呢？
扇形的弧長=底面圓的周長
圓錐體
【問題八】圓錐側面展開圖是扇形，這個扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等？
【問題九】如何計算圓錐的側面積？
扇形的半徑與圓錐中的母線相等
S扇形= = l
(r表示圓錐底面的半徑, l表示圓錐的母線長 )
例1 已知圓錐的底面半徑為5 cm，母線長為13 cm，則這個圓錐的側面積是___________cm2
65π
1. 已知圓錐的底面圓半徑為3cm，高為4cm，則圓錐的側面積是________cm2.
2. 已知圓錐的母線長為5cm，側面積為15π cm2 ，則這個圓錐的底面圓半徑為_____cm.
3. 圓錐的底面半徑是5cm，側面展開圖的圓心角是180°，圓錐的高是（　　）
A．5 cm B．10cm C．6cm D．5cm
15π
3
4. 若一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角為 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【詳解】
設母線長為R，底面半徑為r，
∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側面面積=πrR，
∵側面積是底面積的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，
設圓心角為n，有=2πr=πR，∴n=180°．
故選B．
5. 如圖，是某幾何體的三視圖及相關數據，則該幾何體的側面積是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．30π
【解析】
由三視圖可知此幾何體為圓錐，∴圓錐的底面半徑為3，母線長為5，
∵圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開扇形的弧長，
∴圓錐的底面周長=圓錐的側面展開扇形的弧長=2πr=2π×3=6π，
∴圓錐的側面積=lr=×6π×5=15π，故選B
6. 如圖，聰聰用一張半徑為6cm、圓心角為120°的扇形紙片做成一個圓錐，則這個圓錐的高為（ ）
A．B． C． D．
【詳解】解：扇形弧長為：L= = cm，
設圓錐底面半徑為r，則： ，所以r=2cm，
因為圓錐的高與底面半徑、圓錐母線構成直角三角形的三邊，
設圓錐高為h，所以h2+r2=62，
即：h2=32，，所以圓錐的高為．
故選：A
7.若把一個半徑為12cm，圓心角為的扇形做成圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓的半徑是_______，圓錐的高是__________，側面積是____________．
【詳解】解：如圖，這個圓錐的底面周長為，
設半徑為r，則有，解得r=4；
圓錐的高是：，
側面積為，
故答案為：4；；
圓錐的側面積與圓錐的底面積的和叫做圓錐的全面積(或表面積).
S表=S扇+S底=πrl+πr2
【問題十】如何計算圓錐的表面積？
r
l
例2 蒙古包可以近似地看成由圓錐和圓柱組成的.如果想用毛氈搭建20個底面積為12m2，高為3.2 m，外圍高1.8m的蒙古包,至少需要多少m2的毛氈 (π取3.142，結果取整數).
【解題關鍵】將實際問題轉換為數學模型.
3.2
h1
h2
r
r
l
根據題意,下部圓柱的底面積12m2，高h2為1.8m;
上部圓錐的高hl=3.2－1.8=1.4m;
圓柱底面圓半徑r=≈1.954 (m)
S圓柱的側面積=2πrh2=2π×1.954×1.8 ≈22.10(m2)
圓錐的母線l= ≈2.404 (m)
側面展開積扇形的弧長為:2π×1.954 ≈12.28(m)
S扇形= l=3.142× 2.404 × 1.954 ≈14.76(m2)
S= 20×(S圓柱的側面積+ S扇形) ≈728(m2) 答：略
1. 如圖，蒙古包可近似看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面圓面積為25πm2， 圓柱高為3m，圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（ ）
A．(30+5)πm2 B．40πm2
C．(30+5)πm2 D．55πm2
【詳解】
設底面圓的半徑為R，則，解得R=5，
圓錐的母線長，
所以圓錐的側面積；
圓柱的側面積，
所以需要毛氈的面積=(30+5) πm2．故選．
2. 用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示 ．
(1)求圓錐的高；
(2)求所需鐵皮的面積（結果保留）．
（1）解：如圖，設為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，
∴，，，
∴有中，
∴圓錐的高為．
（2）圓錐的底面周長為：，
∵圓錐的底面周長是側面展開得到的扇形的弧長，∴扇形的弧長為，
∴扇形的面積為，∴所需鐵皮的面積為．
3. 如圖，錨標浮筒是打撈作業中用來標記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：），電鍍時，如果每平方米用鋅，電鍍100個這樣的錨標浮筒，需要用多少鋅？
【詳解】解：由圖形可知圓錐的底面圓的半徑為400mm=0.4m，
圓錐的高為300mm=0.3m，則圓錐的母線長為：＝0.5m．
∴圓錐的側面積＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圓柱的高為800mm=0.8m．圓柱的側面積＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），
∴浮筒的表面積＝＝2S圓錐側面積+S圓柱側面積，＝1.04π（m2），
∵每平方米用鋅0.11kg，∴一個浮筒需用鋅：1.04π×0.11kg，
∴100個這樣的錨標浮筒需用鋅：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100個這樣的錨標浮筒需用鋅11.44πkg．
1．如果圓錐側面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側面積為 cm2．（結果保留）
4．如圖，用圓心角為半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則這個圓錐的高是 ．
5．如圖，在中，，，邊上的高，將繞著所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為 ．
【詳解】解：由題意可得：旋轉后的幾何體是兩個共底面的圓錐，
∵邊上的高，
∴底面圓的周長為：，
∵，，
∴幾何體的表面積為．
故答案為：．
1.通過本節課的學習,你學會了哪些知識？
2.簡述圓錐的相關概念？
3.簡述與圓錐面積計算的相關公式？
r2+h2=l2
S圓錐側＝πrl
S圓錐全＝ S圓錐側+ S圓錐底＝ πrl+πr2
P114：練習第1題，第2題
P115~116：習題24.4 第5題，第9題

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