資源簡介

(共20張PPT)
2.1 等式性質與不等式性質
2.1.1 相等關系與不等關系
學習目標
1.能從情景中抽象出不等關系，并能寫出相應的不等式（組），發展數學抽象素養.
2.理解兩個實數大小關系的基本事實.體會其蘊含的數學思想方法，并能用基本事實作為理論支撐去比較兩個代數式的大小.
3.經歷重要不等式的探索過程，并能證明，積累基本活動經驗，提升數學運算、邏輯推理素養.
創設情景 提出問題
引導語 （教材37頁）在現實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
文字語言 數學符號 文字語言
大于 ＞
小于 ＜
大于或等于 ≥
小于或等于 ≤
在數學中，我們用不等式來表示不等關系.
大于，高于，超過
小于，低于，少于
至少，不少于，不低于
至多,不多于,不超過
創設情景 提出問題
引導語 回顧初中等式、不等式的學習過程，你能否說一說，我們研究了那些內容？是按照怎樣的路徑去研究的？
現實或數學背景
抽象概念 內涵解析
問題1
你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的質量檢查規定,酸奶中脂肪的含量f 應不少于2.5%，
蛋白質的含量p應不少于2.3%；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；
（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．
追問 你能歸納一下上述分析，抽象不等式的基本過程嗎？
提取變量
你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元
抽象概念 內涵解析
問題2
設提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為 萬元，那么不等關系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：
設提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為 萬元，那么不等關系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：
抽象概念 內涵解析
追問 如何解這個不等式？
追問 解不等式與解方程類似，解方程的依據是什么？類似地，你認為解不等式的依據是什么？
追問 你知道不等式的那些性質？這些性質正確嗎？
如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是負數，那么a問題3 在初中,我們知道數軸上的點與實數一一對應,所以可以利用數軸上點的位置關系來規定實數的大小關系,具體是如何規定的呢
抽象概念 內涵解析
提示　如圖,設a,b是兩個實數,它們在數軸上所對應的點分別是A,B.那么,當點A在點B的左邊時,ab.
知識概念
0是正數與負數的分界點，它為實數比較大小提供了“標桿”
依據 a>b ;
a=b ;
a結論 要比較兩個實數的大小,可以轉化為比較它們的 與 的大小
1.基本事實
a-b>0
a-b=0
a-b<0
差
0
典例分析 概念鞏固
分析：通過考查這兩個多項式的差與0的大小關系，
可以得出它們的大小關系．
這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數（式）．
這是解決不等式問題的常用方法．
知識概念
2.作差法比較大小的基本步驟：
（1）作差：對要比較大小的兩個數(或式子)作差；
（2）變形：對差進行變形(因式分解、通分、配方等)；
（3）判斷符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；
（4）作出結論．
練習 (1)比較2x2+5x+3與x2+4x+2的大小.
概念鞏固
(2)已知x≤1,比較3x3與3x2-x+1的大小.
變式 把練習(2)中“x≤1”改為“x∈R”,再比較3x3與3x2-x+1的大小.
抽象概念 內涵解析
圖2.1-3是在北京召開的第24屆國際數學大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．
中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合得到方法，給出了勾股定理的證明。
抽象概念 內涵解析
2.趙爽弦圖的不等關系
第24屆國際數學家大會會標是根據趙爽弦圖設計的.
追問1 若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊，你能表示出圖中四個直角三角形和大正方形的面積嗎？
追問2 四個直角三角形的面積與大正方形面積之間存在相等和不等關系你能表示出來嗎？
問題4 你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？
2.趙爽弦圖的不等關系（面積關系）
大正方形面積
>4個直角三角形的面積和
a,b>0
大正方形面積
=4個等腰直角三角形的面積和
Q：對于任意的實數a,b，a2+b2≥2ab成立嗎？試證明。
抽象概念 內涵解析
試證明重要不等式: a,b∈R,有a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時,等號成立.
a,b∈R,有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2-2ab≥0.
由兩個實數大小關系的基本事實,
得a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.
公式探究
3.重要不等式
典例分析 概念鞏固
練習 1已知x,y∈R,求證:x2+2y2≥2xy+2y-1.
由x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2+2y2-2xy-2y+1
=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
當且僅當x=y=1時,等號成立,
所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
練習 2已知a>0,求證:a+≥2.
∵a+≥0,
∴a+≥2,當且僅當,即a=1時,等號成立.
當堂檢測
教材39頁練習1、2、3
1. 用不等式或不等式組表示下面的不等關系:
(1)某高速公路規定通過車輛的車貨總高度h(單位:m)從地面算起不能超過4m;
(2)a與b的和是非負實數;
(3)如圖,在一個面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個倉庫,倉庫的四周建成綠地,倉庫的長L(單位m)大于寬W(單位:m)的4倍.
2. 比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
3. 已知a>b,證明
課堂小結
問題5 回顧本節課的學習內容，回答下列問題
（1）我們是如何發現和提出本節課所要研究的問題的？
（2）我們從實際問題所蘊含的不等關系抽象出不等式，經歷了怎樣的過程？用了那些方法？
（3）兩個實數大小關系的基本事實是什么？所蘊含的數學思想是什么？這個基本事實有什么作用？
布置作業 應用遷移
作業1：教材42頁習題2.1 2、3、4
作業2：教材43頁習題2.1 10（糖水不等式）