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第 2 章 一元二次函數、方程和不等式
2.2 基本不等式
人教A版2019必修第一冊
1.掌握基本不等式及其推導過程.
2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.
4.在猜想論證的過程中，體會數學的嚴謹性.
教學目標
溫故知新
01
情景導入
在不等關系與不等式一節，我們由趙爽弦圖(如下左圖)抽象出了一類
重要不等式： a2+b2≥2ab ①
不難發現，公式①中，a、b∈R, 當且僅當a=b時等號成立.
基本不等式及其推導
02
概念講解
思考：如果a>0, b>0, 我們用分別代替a,b,可得到什么結論呢？
由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式）
當且僅當時，等號成立
等號成立條件
算術平均數
幾何平均數
前提
條件
即：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數
概念講解
基本不等式的證明
法一：用分析法證明：
顯然，（4）是成立的.當且僅當a=b時，（4）中的等號成立.
要證（2），只要證
a+b- ≥0 （3）
要證（3），只要證
（ ）2≥0 （4）
只要證
a+b≥ （2）
要證
（1）




概念講解
法二：作差法
當且僅當時，等號成立
概念講解
解：可證，因此CD=，由于CD 小于或等于圓的半徑，所以用不等式表示為：
如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=，BC= .過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？
A
B
D
C
E
顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當時，等號成立.
基本不等式的幾何意義
概念講解
常用結論
1．基本不等式的兩種常用變形形式
(1)ab≤(a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號)．
(2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時取等號)．
注意：(1)此結論應用的前提是“一正”“二定”“三相等”．
“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指等號成立．
(2)連續使用基本不等式時，牢記等號要同時成立.
概念講解
概念辨析
×
×
×
×
利用基本不等式求最值
03
概念講解
例1.已知，求的最小值.
解：因為，所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
因此所求的最小值為2.
一正：各項必須為正
二定：各項之和或各項之積為定值
三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備
概念講解
練習1.已知，求的最值.
解：因為，所以
，
當且僅當，即時，等號成立，
因此所求的最大值為
一正
二定
三相等
概念講解
練習2：快問快答：
2
2
概念講解
例2.已知x，y都是正數，求證：
(１)如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2．
證明：所以
（1）當等于定值P時， ，∴
當且僅當時，上式等號成立，此時有最小值
（2）當時， ，兩邊平方，
當且僅當時，上式等號成立，此時有最大值
最值定理
概念講解
C
基本不等式的實際應用
04
概念講解
例3.（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？
（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
解：（1）由題意設籬笆的長和寬分別為米，且
所以籬笆的周長為米
當且僅當米，即圍成正方形時，有最短長度40米
概念講解
（2）由題意設菜園的長和寬分別為米，
且
所以為平方米，根據基本不等式，
，即
當且僅當，即圍成正方形時，有最大面積81平方米.
課堂小結
05
課堂小結

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