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Mathematics
第2講 不等式初步
PART 1 常見不等式
●
●
學數學，認準小葉
倒數法則
1、如果a＞b＞0，那么
2、如果0＞a＞b，那么
結論：如果a＞b，且ab＞0，那么
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法1 不等式的概念與性質
下列命題是真命題的是( )
A、0＞a＞b→a ＞b
B、a ＞b →a＞b＞0
C、a＞b→
D、a＞b→a ＞b
例 1
★★☆☆☆ 2022江蘇徐州市檢測
考法1 不等式的概念與性質
方法：
①判斷命題的真假；
②利用不等式性質求參；
③實際應用
同類變式
精益求精
考法1 不等式的概念與性質
已知a，b，c∈R，且c≠0，則下列命題中是真命題的是( )
A、如果a＞b，則
B、如果ac＜bc，那么a＜b
C、如果a＞b，那么
D、如果c＞a＞b＞0，那么
互動題
★★☆☆☆ 多選題
母題邏輯
考法1 不等式的概念與性質
方法：
①判斷命題的真假；
②利用不等式性質求參；
③實際應用
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法1 不等式的概念與性質
已知c＞a＞b＞0，求證：
拓展1
★★★☆☆
考法1 不等式的概念與性質
方法：
①判斷命題的真假；
②利用不等式性質求參；
③實際應用
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法1 不等式的概念與性質
已知a＞b＞0，c＜0，求證：
拓展2
★★★☆☆
考法1 不等式的概念與性質
方法：
①判斷命題的真假；
②利用不等式性質求參；
③實際應用
●
●
學數學，認準小葉
十字相乘法
拆兩邊，除中間
分解因式
例1 x -2x-8 例2 2x -x-6
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法2 解一元二次不等式之1——解普通不等式
解下列關于x的不等式：
⑴x -7x＋10＜0； ⑵2x -x-15＜0
例 2
★★☆☆☆
大
招
大于取中間，
小于取兩邊。
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
例 3
★★☆☆☆
解下列關于x的不等式：
⑴-2x -x＋3≥0； ⑵-x ＋x＋1≥0
考法2 解一元二次不等式之1——解普通不等式
大
招
大于取中間，
小于取兩邊。
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
例 4
★★☆☆☆ 2022吉林吉林市月考
不等式x -kx＋1＞0對任意實數x都成立，則實數k的取值范圍是＿＿＿＿。
大
招
大于取中間，
小于取兩邊。
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2023陜西省漢中市期末
若關于x的不等式x ＋(k-1)x＋4＞0對一切實數恒成立，則實數k的取值范圍是＿＿＿＿。
大
招
大于取中間，
小于取兩邊。
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參
母題邏輯
同類變式
精益求精
例 5
★★☆☆☆ 2022西藏拉薩期末
若關于x的不等式x ＋ax＋b＞0的解集是｛x∣x＜-2或x＞3}，則a＋b=( )
A、-7
B、-6
C、-5
D、1
大
招
大于取中間，
小于取兩邊。
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2023陜西省西安市期末
已知不等式ax -5x＋b＞0的解集是｛x∣-3＜x＜-2}，則a＋b的值為( )
A、-7
B、7
C、
D、
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
例 6
★★☆☆☆ 2022遼寧錦州市期中
已知f(x)=(x-a)(x-2)，解關于x的表達式f(x)＜0.
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2022廣西欽州月考
求關于x的不等式x ＋(1-a)x-a＜0的解集，其中a是常數。
考法2 解一元二次不等式之2——含參不等式恒成立
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法3 解分式不等式
例 7
★★☆☆☆ 2022陜西咸陽市期中
不等式 的解集是( )
A、｛x∣x＜-1或x＞3}
B、｛x∣-1＜x＜3}
C、｛x∣x＜-3或x＞1}
D、｛x∣-3＜x＜1}
分式不等式：移項通分除化乘
考法3 解分式不等式
方法：移項通分除化乘
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2022浙江溫州月考
不等式 的解集是( )
A、｛x∣ ＜x＜1}
B、｛x∣x＜1}
C、｛x∣x＜ 或x＞1}
D、｛x∣ ＜x＜2}
考法3 解分式不等式
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2022江蘇常州月考
不等式 的解集是( )
A、｛x∣ ≤x≤3}
B、｛x∣ ＜x＜3}
C、｛x∣x≤ 或x＞3}
D、｛x∣x≥ }
考法3 解分式不等式
考法2 解一元二次不等式
方法：
①解普通不等式；
②解含參不等式；
③根據一元二次不等式求參；
④恒成立問題
PART 2 基本不等式
●
●
學數學，認準小葉
基本不等式
如果a＞0，b＞0，那么 ，當且僅當a=b時，等號成立。
正
定
等
●
●
學數學，認準小葉
基本不等式推導——代數法
●
●
學數學，認準小葉
基本不等式推導——幾何法
法1：趙爽弦圖
●
●
學數學，認準小葉
基本不等式推導——幾何法
法2：圓與半徑
A
P
O
Q
B
C
學數學，認準小葉！
基本不等式必要點1
為什么a，b要為正數
完全平方差公式解釋
學數學，認準小葉！
基本不等式必要點2
為什么有最值？
學數學，認準小葉！
基本不等式必要點2
為什么有最值？
一個x對應著唯一一個y
一個y可以對應著多個x
劃
重
點
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法4 基本不等式的直接應用
引例
★★☆☆☆ 北京西城區月考
已知正數x，y滿足xy=16，則x+y( )
A、有最大值4 B、有最小值4 C、有最大值8 D、有最小值8
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
例8
★★☆☆☆
已知x＞0，y＞0，求：
⑴xy=12時，求3x＋4y的最小值； ⑵2x＋y=8時，xy的最大值。
考法4 基本不等式的直接應用
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2022廣東廣州期中
已知x＞0，y＞0，且滿足x＋6y=6，則xy有( )
A、最大值
B、最小值
C、最大值1
D、最小值1
考法4 基本不等式的直接應用
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
精益求精
★★☆☆☆ 2023重慶期末
若正數a，b滿足(a＋1)(2b＋1)=4，則a＋2b＋1的最小值為( )
A、2
B、3
C、
D、4
考法4 基本不等式的直接應用
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法5 基本不等式的必考模型之1——
例9
★★☆☆☆ 2022廣東佛山市期中
若x＞0，則 的最小值為＿＿＿＿。
考法5 基本不等式必考模型
方法：
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法5 基本不等式的必考模型之1——
互動題
★★☆☆☆ 2023江西上饒市模擬
的最小值為( )
A、 B、 C、 D、
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
精益求精
★★☆☆☆ 2022北京懷柔區期末
已知x＞-1，則函數f(x)= 的最小值是＿＿＿＿。
考法5 基本不等式的必考模型之1——
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法5 基本不等式的必考模型之1——
互動題
★★☆☆☆ 2020海南海口市月考
若x＞1，則 的最小值等于( )
A、6 B、9 C、4 D、1
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
例10
★★☆☆☆ 2023吉林延邊市期末
已知a＞0，b＞0，且 ，則4a+9b的最小值是( )
A、23
B、26
C、22
D、25
考法4 基本不等式的直接應用
方法：
①積定求和；
②和定求積
母題邏輯
同類變式
精益求精
互動題
★★☆☆☆ 2022湖北模擬
已知正實數x，y滿足x+y=2，則 的最小值為( )
A、 B、5 C、9 D、10
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
大招1：拖拽法
大招2：口訣——分子開根和平方，分母相加仍分母
母題邏輯
同類變式
精益求精
舉一反三
★★☆☆☆ 黑龍江哈爾濱期末
已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則 的最小值為＿＿＿＿。
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
大招1：拖拽法
大招2：口訣——分子開根和平方，分母相加仍分母
母題邏輯
同類變式
精益求精
舉一反三
★★☆☆☆ 2022四川模擬
已知ab為正實數，且 ，則a+b的最小值為＿＿＿＿。
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
大招1：拖拽法
大招2：口訣——分子開根和平方，分母相加仍分母
母題邏輯
同類變式
精益求精
精益求精
★★☆☆☆ 2022四川模擬
若4m+n=1,其中mn＞0，則 ＿＿＿＿。
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
大招1：拖拽法
大招2：口訣——分子開根和平方，分母相加仍分母
母題邏輯
同類變式
精益求精
精益求精
★★☆☆☆ 2023湖南邵陽期中
若a＞0，b＞0，且(a-1)(b-1)=1,2a＋8b的最小值為( )
A、12 B、14 C、16 D、18
考法5 基本不等式的必考模型之2——換“1”模型
口訣——分子開根和平方，分母相加仍分母

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