資源簡(jiǎn)介

蘇科版·九年級(jí)上冊(cè)
2.2 圓的對(duì)稱性
第2課時(shí)——垂徑定理
第二章
對(duì)稱圖形——圓
章節(jié)導(dǎo)讀
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
掌握?qǐng)A的垂徑定理的證明與運(yùn)用
掌握?qǐng)A的垂徑定理的三個(gè)推論的證明與運(yùn)用
新知探究
思
考
請(qǐng)同學(xué)們完成以下操作 ，并回答問(wèn)題：
1. 畫(huà)?O和?O的直徑AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足為P；
?
O
C
D
A
B
P
新知探究
思
考
2. 在所畫(huà)圖中有哪些相等的線段、相等的弧？
O
C
A
B
P
D
(D)
解：由翻折可知：PC = PD，???????? = ????????，???????? = ????????。
?
新知探究
思
考
3. 是否還有其他的方法證明：PC = PD，???????? = ????????，???????? = ????????？
?
已知：AB是?O的直徑，CD是?O的弦，AB⊥CD，垂直為P。
?
O
C
D
A
B
P
解：如圖，連接OC、OD，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，????????=????????????????=????????，
∴△OPC?△OPD ( HL )，
∴PC = PD，∠BOC = ∠BOD，
∴???????? = ????????，∠AOC = ∠AOD，
∴???????? = ????????。
?
新知探究
垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。
符號(hào)語(yǔ)言 ( 知二推三 )：
AB過(guò)圓心 ( AB為?O的直徑 )，AB⊥CD
?PC = PD，???????? = ????????，???????? = ????????。
?
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
A
B
P
新知探究
弦心距：
在一個(gè)圓中，圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度 ( 或圓心到弦的距離 )，
叫做弦心距。
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
P
eg：OP的長(zhǎng)度
新知探究
探
究
解：∵CD是?O的弦，OP⊥CD于點(diǎn)P，
∴CP = DP = 12CD ( 垂徑定理 )，
在Rt△OPC中，OC2 = OP2 + CP2，
∴OC2 = OP2 + ( 12CD )2。
?
O
C
D
P
1. 已知：OC是?O的半徑，CD是?O的弦，OP⊥CD于點(diǎn)P，
問(wèn)：OC、OP、CD之間的數(shù)量關(guān)系？
?
新知探究
探
究
O
C
D
P
B
2. 已知：OB、OC是?O的半徑，CD是?O的弦，OB⊥CD，垂足為P，
問(wèn)：OC、BP、CD之間的數(shù)量關(guān)系？
?
解：∵CD是?O的弦，OP⊥CD于點(diǎn)P，
∴CP = DP = 12CD ( 垂徑定理 )，
在Rt△OPC中，OC2 = OP2 + CP2，
∴OC2 = ( OB - BP )2 + ( 12CD )2。
∴OC2 = ( OC - BP )2 + ( 12CD )2。
?
新知探究
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
P
半徑
弦心距
弦長(zhǎng)的一半
圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系：
半徑2 = 弦心距2 + 弦長(zhǎng)22。
?
典例分析
典例1 在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C、D。證明：AC = BD。
O
B
D
A
C
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB，垂足為P，
∵OP⊥AB，∴OP⊥CD，
∴AP = BP，CP = DP ( 垂徑定理 )，
∴AP - CP = BP - DP，即AC = BD。
P
方法技巧
解題關(guān)鍵：牢記垂徑定理。
典例分析
典例2 如圖，?O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，
且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD = 6，
則?O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)________。
?
O
D
C
P
B
A
解：如圖，連接OD，設(shè)?O的半徑為r，
∵P為半徑OB的中點(diǎn)，∴OP = 12r，
∵?O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P ，
∴DP = 12CD = 3 ( 垂徑定理 )，
在Rt△ODP中，OD2 = OP2 + DP2，
∴r2 = ( 12r )2 + 32，解得：r = 23。
?
2????
?
方法技巧
解題關(guān)鍵：
在Rt△ODP中，用勾股定理。
新知探究
思
考
1. 若已知：AB是?O的直徑，CD是?O的弦，AB平分CD交CD于點(diǎn)P，能否推出：AB⊥CD，???????? = ????????，???????? = ????????？
?
解：如圖，連接OC、OD，
在△OPC和△OPD中，????????=????????????????=????????????????=????????，
∴△OPC?△OPD ( SSS )，
∴∠APC = ∠APD，即AB⊥CD，
∴???????? = ????????，???????? = ???????? ( 垂徑定理 )。
?
O
C
D
A
B
P
新知探究
垂徑定理的推論1：
平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，
并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
符號(hào)語(yǔ)言 ( 知二推三 )：
AB過(guò)圓心 ( AB為?O的直徑 )，PC = PD
?AB⊥CD，???????? = ????????，???????? = ????????。
?
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
A
B
P
新知探究
辨
析
“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話正確嗎？
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
A
B
P
解：不正確，
如圖，AB平分CD，
但AB與CD不垂直，????????與 ????????不相等，????????與????????不相等。
?
新知探究
思
考
2. 若已知：AB、CD是?O的弦，AB垂直平分CD交CD于點(diǎn)P，
能否推出：AB過(guò)圓心，???????? = ????????，???????? = ????????？
?
解：如圖，連接OC、OD，
∵OC = OD，
∴O在CD的垂直平分線上，即O在AB上，
∴AB過(guò)圓心 ( AB為?O的直徑 )，
∴???????? = ????????，???????? = ???????? ( 垂徑定理或推論1 )。
?
O
C
D
A
B
P
新知探究
垂徑定理的推論2：
弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
符號(hào)語(yǔ)言 ( 知二推三 )：
AB⊥CD，PC = PD
?AB過(guò)圓心 ( AB為?O的直徑 )，???????? = ????????，???????? = ????????。
?
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
A
B
P
新知探究
思
考
3. ( 1 ) 若已知：AB是?O的直徑，???????? = ????????，連接CD交于AB點(diǎn)P，能否推出：AB⊥CD，PC = PD，???????? = ????????？
?
解：如圖，連接OC、OD、BC、BD，
∵AB是?O的直徑，???????? = ????????，
∴BC = BD，???????? - ????????=???????? - ????????，即???????? = ????????，
又∵OC = OD，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，PC = PD。
?
O
C
D
A
B
P
新知探究
思
考
3. ( 2 ) 若已知：AB是?O的直徑，???????? = ????????，連接CD交于AB點(diǎn)P，能否推出：AB⊥CD，PC = PD，???????? = ????????？
?
解：連接OC、OD、BC、BD，
∵AB是?O的直徑，???????? = ????????，
∴???????? - ???????? = ???????? - ????????，即???????? = ????????，
∴BC = BD，
又∵OC = OD，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，PC = PD。
?
O
C
D
A
B
P
新知探究
垂徑定理的推論3：
平分弦所對(duì)一條弧的直徑，
垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
符號(hào)語(yǔ)言 ( 知二推三 )：
( 1 ) AB過(guò)圓心(AB為?O的直徑)，???????? = ????????，
?AB⊥CD，PC = PD，???????? = ????????；
( 2 ) AB過(guò)圓心 ( AB為?O的直徑 )，???????? = ????????，
?AB⊥CD，PC = PD，???????? = ????????。
?
知識(shí)要點(diǎn)
O
C
D
A
B
P
新知探究
知識(shí)要點(diǎn)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
文字語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
①AB過(guò)圓心(AB為?O的直徑)，②AB⊥CD，③PC=PD，④????????=????????，⑤????????=????????（知二推三）
垂徑定理
垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧
①②?③④⑤
推論1
平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
①③?②④⑤
推論2
弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
②③?①④⑤
推論3
平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧
①④?②③⑤
或①⑤?②③④
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
文字語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
垂徑定理
垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧
①②?③④⑤
推論1
平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
①③?②④⑤
推論2
弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
②③?①④⑤
推論3
平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧
①④?②③⑤
或①⑤?②③④
O
C
D
A
B
P
典例分析
典例3 如圖，OA，OB，OC都是?O的半徑，
AC，OB交于點(diǎn)D．若AD = CD = 8，OD = 6，
則BD的長(zhǎng)為（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
?
解：∵OB是?O的半徑，AD = CD = 8，
∴OB⊥AC ( 推論1 )，
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 = 82 + 62 = 100，
∴OA = 10，∴OB = 10，
∴BD = 10 - 6 = 4。
?
O
A
C
D
B
B
方法技巧
解題關(guān)鍵：
牢記垂徑定理的推論。
題型探究
根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明
題型一
【例1】AB、CD是?O的兩條弦，AB∥CD。????????與????????相等嗎？為什么？
?
O
D
B
C
A
解：相等，理由如下：
如圖，作OQ⊥AB交?O于點(diǎn)Q，
∵OQ⊥AB，
∴???????? = ???????? ( 垂徑定理 )，
又∵AB∥CD，
∴OQ⊥CD，
∴????????=???????? ( 垂徑定理 )，
∴???????? - ???????? = ???????? - ????????，即???????? = ????????。
?
Q
題型探究
根據(jù)垂徑定理求線段長(zhǎng)
題型二
【例2】如圖，點(diǎn)C是?O的弦AB上一點(diǎn)。若AC = 6，BC = 2，
AB的弦心距為3，則OC的長(zhǎng)為_(kāi)________。
?
解：如圖，作OD⊥AB，垂足為D，
由題意可知：OD = 3，
∵OD⊥AB，
∴BD = 12AB = 12 ( AC + BC ) = 4 ( 垂徑定理 )，
∴CD = BD - BC = 2，
在Rt△OCD中，OC2 = CD2 + OD2 = 22 + 32 = 13，
∴OC = 13。
?
D
????????
?
題型探究
根據(jù)垂徑定理求線段長(zhǎng)
題型二
【例3】如圖，AB是?O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
若CD = 6，AB = 10，則AE的長(zhǎng)為（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
?
解：如圖，連接OC，
∵AB是?O的直徑，AB=10，∴OC = 5，
∵CD⊥AB ，∴CE = 12CD = 3 ( 垂徑定理 )，
在Rt△OCE中，OC2 = CE2 + OE2，
∴52 = 32 + OE2，解得：OE = 4，
∴AE = OA - OE = 5 - 4 = 1。
?
A
題型探究
根據(jù)垂徑定理求線段長(zhǎng)
題型二
【例4】如圖，AB是?O的直徑，弦CD⊥AB 于E，
若CD = 45，BE = 2，則AB的長(zhǎng)是_________。
?
解：如圖，連接OC，設(shè)?O的半徑為r，
∵BE = 2，∴OE = r - 2，
∵AB是?O的直徑，CD⊥AB ，
∴CE = 12CD = 25 ( 垂徑定理 )，
在Rt△OEC中，OC2 = OE2 + CE2，
∴r2 = ( r - 2 )2 + ( 25 )2，解得：r = 6，
∴AB = 2r = 12。
?
12
題型探究
【例5】如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，
若CD = 4，EM = 6，則弧CED所在圓的半徑為_(kāi)________。
根據(jù)垂徑定理的推論求線段長(zhǎng)
題型三
解：設(shè)弧CED所在圓的半徑為r，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，
∴EM過(guò)圓心O，CM = 12CD = 2（推論2），
如圖，連接OC，
∵EM = 6，∴OM = 6 - r，
在Rt△OCM中，OC2 = CM2 + OM2，
∴r2 =22 + ( 6 - r )2，解得：r = 103。
?
????????????
?
課堂小結(jié)
感謝聆聽(tīng)!

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