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22.1 一元二次方程

第22章
一元二次方程
華師大版·九年級(jí)上冊(cè)
復(fù)習(xí)引入
3、判斷：下列式子屬于哪種類型？
3+5=8
????+3
2????+6=12
5 ?????+3????=18
3 ?????-5≤36
?????????????=????
?
1、回憶一下，我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些形式的方程？
我們學(xué)過(guò)的方程有：一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程.其中，前兩種方程是整式方程.
2、一元一次方程的概念：
含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.
等式
代數(shù)式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式,能找到一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
3.能夠判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根，并解決相關(guān)問(wèn)題.
重點(diǎn)
難點(diǎn)
問(wèn)題引入
問(wèn)題1：綠苑小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，準(zhǔn)備在兩幢樓房之間，設(shè)置一塊面積為900平方米的矩形綠地,并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少?
提示
1、嘗試設(shè)置未知數(shù)。
2、找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，列出方程。
3、整理方程。
解：設(shè)綠地的寬為????米，

?
列出方程：
????????????????(????+10)=900,
?
整理方程：
??????????????2+10????-900=0.
?
問(wèn)題引入
去年
今年
明年
5萬(wàn)冊(cè)
5（1+????）萬(wàn)冊(cè)
?
5（1+????）(1+????)萬(wàn)冊(cè)
?
問(wèn)題 2：學(xué)校圖書(shū)館去年年底有圖書(shū) 5 萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到 7.2 萬(wàn)冊(cè).這兩年的年平均增長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為????,
明年年底的圖書(shū)數(shù)為5(1+????)(1+????)，即5(1+????)2
列出方程：5(1+????)2=7.2，
整理可得 5????2+10????-2.2=0.
?
新知探究
這兩個(gè)方程都是整式方程并且都只含一個(gè)未知數(shù)
1、上述兩個(gè)方程整理后是整式方程嗎?含有幾個(gè)未知數(shù)?
觀察 這兩個(gè)方程，思考并回答下列問(wèn)題：
2、按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們的最高次數(shù)是幾？
含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)都是2.
?????2+10 ?????-900=0
5????2+10????-2.2=0
?
新知探究
一元二次方程成立的條件：
①等號(hào)兩邊都是整式；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)是 2．
一個(gè)整式方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，這樣的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的定義
小試牛刀
判斷下列方程哪些為一元二次方程？
①2????=????2-1
?
②????3 - ?????2=1
?
③?????2-?2?????3=0
?
④????2+1 = ????(2 ????2-1)
?
⑥????2+2 ?????-3=????2+4
?
⑤?????2=23
?
①只含有一個(gè)未知數(shù)
②未知數(shù)最高次數(shù)是2
③等號(hào)兩邊都是整式（分母或根號(hào)內(nèi)不含未知數(shù)）
二元二次方程
×
√
×
×
×
分式
最高次數(shù)為3
√
一元一次方程
嘗試總結(jié)一元二次方程的特點(diǎn)：
思考探索
思考：一元二次方程與一元一次方程的區(qū)別和聯(lián)系？
區(qū)別：未知數(shù)的的次數(shù)
聯(lián)系：未知數(shù)的個(gè)數(shù)？未知數(shù)系數(shù)？
{F5AB1C69-6EDB-4FF4-983F-18BD219EF322}
一元一次方程
一元二次方程
區(qū) 別
最高次數(shù)為1
最高次數(shù)為2
聯(lián) 系
未知數(shù)只有1個(gè)、整式方程、未知數(shù)系數(shù)不能為0
新知探究
????????2+????????+????=0
?
二次項(xiàng)
一次項(xiàng)
常數(shù)項(xiàng)
二次項(xiàng)系數(shù)
一次項(xiàng)系數(shù)
常數(shù)項(xiàng)
強(qiáng)調(diào)：要確定一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須要將方程轉(zhuǎn)化為方程的一般形式，同時(shí)包含系數(shù)前面的符號(hào)。
方法技巧
（a≠0)，其中 a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).
一元二次方程的一般形式
新知探究
????????2+????????+????=0
?
一元一次方程
當(dāng)????=0時(shí)
?
當(dāng)????≠0，????=0時(shí)
?
當(dāng)????≠0，????=0時(shí)
?
當(dāng)????≠0，????=????=0時(shí)
?
????????+????=0
?
????????2+????=0
????????2+????????=0
????????2=0
?
一元二次方程的特殊形式
小試牛刀
例：把一元二次方程 (1+3????)(?????-3)=2?????2+3 轉(zhuǎn)化為一般形式，并指明該方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
?
解： 去括號(hào)，得 ?????-3+3?????2-9?????=2?????2+3.
移項(xiàng)，得?????-3+3?????2-9?????-2?????2-3=0.
合并同類項(xiàng)，整理得一般形式為?????2-8?????-6=0.
方程的二次項(xiàng)系數(shù)為 1，一次項(xiàng)系數(shù)為-8，常數(shù)項(xiàng)為-6.
?
小試牛刀
填表，指出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方程
二次項(xiàng)系數(shù)
一次項(xiàng)系數(shù)
常數(shù)項(xiàng)
2????2+????-3=0
????2 +????=1
????-7????2 =0
3????2=6
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}方程
二次項(xiàng)系數(shù)
一次項(xiàng)系數(shù)
常數(shù)項(xiàng)
2
1
-7
3
1
1
1
0
-3
-1
0
-6
小試牛刀
1、將下列方程2????(????-1)=3(????-5)-4轉(zhuǎn)化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
?
解： 去括號(hào)，得 ?????????????-2????=3?????-15-4.
移項(xiàng)合并，得 ?????????2-5?????+19=0.
方程的二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為-5，常數(shù)項(xiàng)為19.
?
2.當(dāng) ????= 時(shí),方程(????-1)????2 -(2????-1)????+????=0 是關(guān)于????的一元一次方程,當(dāng)?????≠ _時(shí),上述方程才是關(guān)于????的一元二次方程.
?
1
1
新知探究
一元二次方程的根
方法技巧
已知一元二次方程的解求未知字母的值的方法：
（1）代入：把方程的解代入原方程；
(2) 計(jì)算：解方程求出未知字母的值；
(3）判定：舍去使二次項(xiàng)系數(shù)為 0 的數(shù).
例：下列各數(shù)中，哪個(gè)是方程????（2?????）=1的解（ ）.
A. 3 B.-3 C.2 D. 1
?
把未知數(shù)的值分別代入方程的左右兩邊，如果能使方程的左右兩邊相等，則這個(gè)值是一元二次方程的根.
變式訓(xùn)練
若????＝0是關(guān)于????的一元二次方程(?????1)????2+2????+????2-1=0 的解，則????= .
?
解：將????＝0代入，
?????????????2-1=0
得????= ±1
∵???? ≠1,
∴?????=-1.
?
基礎(chǔ)訓(xùn)練
1、若????是方程????2+?????-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式-2????2-2????＋2025 的值是 .
?
2、把一元二次方程 4????2-4????+1=????2+6????+9 化成一般形式是 .
?
解：將????代入，
????2+ ?????=1得
-2????2-2?????=-2
∴ -2????2-2?????+2025=2023
?
3????2-10?????8=0
?
基礎(chǔ)訓(xùn)練
3、若關(guān)于????的方程（????-1)?????2+2?????-3=0是一元二次方程，則????的值可以是
（寫(xiě)出一個(gè)即可）.
?
4、將4個(gè)數(shù)????,????,????,????排成2行2列,記成????????????????=?????????????????.若????+1????+12?????1=0，可以用方程表示為 .
?
5
????2-2?????3=0
?
解：由題意得，
????+????????+?????????????+????=????
整理得????2-2?????????=????
?
拓展提升
1.若關(guān)于x的方程(????+5) ????2-23 +????x-1=0是一元二次方程，指出方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
?
解： 由題意得：
????2 -23=2，
得????=±5，
∵ ????≠-5，
∴ ???? =5.
整理得10????2+5?????-1=0
方程的二次項(xiàng)系數(shù)為10，一次項(xiàng)系數(shù)為5，常數(shù)項(xiàng)為-1.
?
拓展提升
2.已知????是關(guān)于????的方程????2-2????-3=0的一個(gè)根,則 2????2-4????+2= .
?
解：將????代入，
????2-2????-3=0
得????2-2?????=3
∴ ????????2-4?????=6,
∴ ????????2-4????+????=8.
?
中考鏈接
1．（2023·云南·中考模擬）下列是一元二次方程的是（ ）。
A. ????2+3=0 B.????????+3????-4=0 C.2????-3+????=0 D.1????+2????-6=0
?
2. (2024·廣東·中考模擬)已知????=2是關(guān)于????的一元二次方程????????2+ (????2-2)????+2????+4=0 的一個(gè)根,則 ???? 的值為 ( ) 。
A. 3 B.-3 C.2 D.-1
?
A
B
概念
一元一次方程的區(qū)別和聯(lián)系
課堂小結(jié)
找準(zhǔn)項(xiàng)及系數(shù)
????????2+????????+????=0（????≠0）
?
區(qū)別：字母指數(shù),
聯(lián)系：系數(shù)不能為0
確定一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須要將方程化為一般形式，同時(shí)包含前面的符號(hào).
一元二次方程
形式
根
能使方程的左右兩邊相等，則這個(gè)值是一元二次方程的根.
①含有一個(gè)未知數(shù)
②未知數(shù)的最高次數(shù)是2
③等號(hào)兩邊都是整式.
感謝聆聽(tīng)!

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