資源簡介

蘇科版·九年級上冊
2.4.2 圓周角
——圓內接四邊形
第二章
對稱圖形——圓
章節導讀
學 習 目 標
1
2
理解圓的內接四邊形、四邊形的外接圓的概念
掌握圓內接四邊形的性質
3
掌握圓內接四邊形的判定，能構造輔助圓
知識回顧
1. 確定圓的條件？
C
A
B
O
不在同一條直線上的三點確定一個圓。
知識回顧
2. 三角形的外接圓？圓的內接三角形？
三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，
這個三角形叫做圓的內接三角形。
C
A
B
O
新知探究
思
考
1. 過四邊形的4個頂點能畫一個圓嗎？
D3
D2
C
A
B
O
D1
如圖，過四邊形ABCD1的4個頂點能畫一個圓；
但是，過四邊形ABCD2、四邊形ABCD3的4個頂點不能畫一個圓；
∴過四邊形的4個頂點不一定能畫一個圓。
新知探究
思
考
2. 如圖，四邊形的ABCD的四個頂點都在?O上，請類比三角形，
描述四邊形ABCD與?O的關系？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的3個頂點確定一個圓
四邊形的4個頂點都在同一個圓上
這個圓叫做三角形的外接圓
這個三角形叫做圓的內接三角形
C
A
B
O
D
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}這個圓叫做四邊形的外接圓
這個四邊形叫做圓的內接四邊形
新知探究
圓內接四邊形：
一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，
這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。
eg：如圖，四邊形ABCD是?O的內接四邊形，
?O是四邊形ABCD的外接圓。
?
知識要點
C
D
A
B
O
新知探究
思
考
1. 如圖，在?O的內接四邊形ABCD中，BD是?O的直徑，
問：∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數量關系？
解：∵BD是?O的直徑，
∴∠A = 90°，∠C = 90°，
∴∠A + ∠C = 180°，
又∵四邊形內角和是360°，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°。
【總結】在此情況下，圓內接四邊形的對角互補。
C
A
D
B
O
新知探究
思
考
2. 如圖，圓心O不在?O的內接四邊形ABCD的對角線上，
問：上述結論是否仍然成立?
解：作直徑DE，連接AE、CE，
∵BD是?O的直徑，
∴∠DAE + DCE = 90° + 90° = 180°，
又∵???????? = ????????，∴∠BCE = ∠BAE，
∴∠DAB + ∠DCB = ∠DAB + ∠BCE + ∠DCE
= ∠DAB + ∠BAE + ∠DCE = ∠DAE + DCE = 180°，
又∵四邊形內角和是360°，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°。
?
C
A
D
B
O
E
【總結】圓內接四邊形的對角互補。
新知探究
思
考
解：∵∠A的度數是????????????的度數的一半，
∠C的度數是????????????的度數的一半，
????????????和????????????的度數的和是360°，
∴∠A + ∠C = 12 × 360° = 180°，
同理：∠B + ∠D=180°。
?
C
A
D
B
O
3. 還有其他證明“圓內接四邊形的對角互補”的方法嗎？
【提示：從圓周角的知識入手】
新知探究
圓內接四邊形的性質：
圓內接四邊形的對角互補。
eg：如圖，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
知識要點
C
D
A
B
O
典例分析
典例1 如圖，B、C、D是?O上的三個點，
已知∠C = 105°，求∠BOD的度數？
C
D
B
O
解：設點A是優弧BD上一點 ( 不與B、D重合 )，
連接AB、AD，
由題意可得：四邊形ABCD是?O的內接四邊形，
∴∠A + ∠C = 180°，
∵∠C = 105°，∴∠A = 75°，
∴∠BOD = 2∠A = 150°。
A
方法技巧
解題關鍵：
構造圓內接四邊形，利用圓內接四邊形的性質求圓心角所對的圓周角的度數。
12∠BOD + ∠C = 180°
?
新知探究
探
究
如圖，四邊形ABCD是?O的內接四邊形，∠BAE是∠BAD的外角，問 ：∠C與∠BAE有怎樣的數量關系？
解：∵四邊形ABCD是?O的內接四邊形，
∴∠BAD + ∠C = 180°，
又∵∠BAD + ∠BAE = 180°，
∴∠C = ∠BAE。
【總結】圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。
C
D
A
B
O
E
新知探究
圓內接四邊形的性質的推論：
圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。
eg：如圖，∠C = ∠BAE。
知識要點
C
D
A
B
O
E
典例分析
典例2 如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點M為邊CB延長線上一點。若∠AOC = 110°，則∠ABM的度數是（　　）
A．45° B．50°
C．55° D．70°
解：∵∠AOC = 110°，
∴∠D = 12∠AOC = 55°，
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠ABM = ∠D = 55°。
?
C
A
B
O
D
M
C
方法技巧
解題關鍵：
套用圓內接四邊形的性質的推論。
注意：選填小題可直接使用該推論，但解答題需證明。
新知探究
思
考
在四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
用假設法：
已知不共線的三點確定一個圓，
則可假設第四個點不在圓上
第四個點不在圓上，
即第四個點在圓外或圓內
新知探究
思
考
在四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
解：A、B、C三點可確定?O，
① 假設點D在圓外，
延長AD交?O于點E，連接CE，
由題意可得：四邊形ABCE是圓內接四邊形，
∴∠B + ∠AEC = 180°，
∵∠B + ∠D = 180°，
∴∠AEC = ∠D，
與三角形的外角定理矛盾，故假設不成立。
C
A
B
O
D
E
新知探究
思
考
在四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
解：A、B、C三點可確定?O，
② 假設點D在圓內，
延長AD交?O于點E，連接CE，
由題意可得：四邊形ABCE是圓內接四邊形，
∴∠B + ∠E = 180°，
∵∠B + ∠ADC = 180°，
∴∠E = ∠ADC，
與三角形的外角定理矛盾，故假設不成立。
C
A
B
O
D
E
新知探究
思
考
在四邊形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
綜上，點D在圓上，
∴A、B、C、D四點共圓。
C
A
B
O
D
E
C
A
B
O
D
E
【總結】如果四邊形ABCD的一組對角互補，那么A、B、C、D四點共圓。
新知探究
知識要點
圓內接四邊形的判定：
如果四邊形ABCD的一組對角互補，那么A、B、C、D四點共圓。
eg：∵∠A + ∠C = 180°或∠B + ∠D = 180°，
∴A、B、C、D四點共圓。
C
A
D
B
O
典例分析
典例3 如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD。
求證：A、E、C、F四點共圓。
證明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC = ∠AFC = 90°，
∴∠AEC + ∠AFC = 180°，
∴A、E、C、F四點共圓。
C
A
B
D
E
F
新知探究
探
究
在四邊形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
解：A、B、C三點可確定?O，
① 假設點D在圓外，
設AD與?O交于點E，連接BE，
∵???????? = ????????，
∴∠AEB = ∠ACB，
∵∠ADB = ∠ACB，
∴∠AEB = ∠ADB，
與三角形的外角定理矛盾，故假設不成立。
?
C
A
B
O
D
E
新知探究
在四邊形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
解：A、B、C三點可確定?O，
② 假設點D在圓內，
延長AD交?O于點E，連接BE，
∵???????? = ????????，
∴∠E = ∠ACB，
∵∠ADB = ∠ACB，
∴∠E = ∠ADB，
與三角形的外角定理矛盾，故假設不成立。
?
C
A
B
O
D
E
探
究
新知探究
在四邊形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，問：A、B、C、D四點共圓嗎？
綜上，點D在圓上，
∴A、B、C、D四點共圓。
【總結】如果四邊形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，那么A、B、C、D四點共圓。
C
A
B
O
D
E
C
A
B
O
D
E
探
究
新知探究
知識要點
圓內接四邊形的判定的其他結論：
如果四邊形ABCD中，
∠ADB = ∠ACB或∠BAC = ∠BDC或∠CBD = ∠CAD或∠DCA = ∠DBA，
那么A、B、C、D四點共圓。
eg：∵∠ADB = ∠ACB，
∴A、B、C、D四點共圓。
C
A
D
B
O
典例分析
典例4 若在四邊形ABCD中，∠BAC = ∠BDC = 30°，∠ACB = 75°，則∠ADB = ________。
解：∵∠BAC = ∠BDC，
∴A、B、C、D四點共圓，
∵???????? = ????????，
∴∠ADB = ∠ACB = 75°。
?
C
D
A
B
75°
題型探究
圓內接四邊形的性質的應用
題型一
【例1】圓內接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C = 1：2：3，
則∠D = ________。
解：設∠A的度數為x，
∵∠A：∠B：∠C = 1：2：3，
∴∠B的度數為2x，∠C的度數為3x，
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠A+∠C=∠B + ∠D = 180°，
∴x + 3x = 180°，解得：x = 45°，
∴∠B = 2x = 90°，
∴∠D = 90°。
90°
題型探究
圓內接四邊形的性質的應用
題型一
【例2】如圖，四邊形ABCD是半圓的內接四邊形，AB是直徑，
???????? = ????????。若∠C = 110°，則∠ABC的度數等于________。
?
解：連接AC，
∵四邊形ABCD是半圓的內接四邊形，
∴∠DAB = 180° - ∠DCB = 70°，
∵???????? = ????????，
∴∠CAB=∠CAD = 12∠DAB = 35°，
∵AB是直徑，∴∠ACB = 90°，
∴∠ABC = 90° - ∠CAB = 55°。
?
55°
O
B
C
A
D
題型探究
圓內接四邊形的性質的推論的應用
題型二
【例3】如圖，A、B、C是?O上三點，D是AB延長線上一點，
∠CBD = 65°，則∠AOC = ________。
解：點E是優弧AB上一點 ( 不與A、B重合 )，
連接AE、CE，
由題意可得：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠E = ∠CBD = 65°，
∴∠AOC = 2∠E = 130°。
130°
O
C
A
B
D
E
題型探究
圓內接四邊形的判定——輔助圓
題型三
【例4】如圖，已知等腰三角形 ABC，∠ACB = 120°， 且 AC = BC = 4，在平面內任作 ∠APB = 60°，BP的最大值為________。
解：∵∠ACB = 120°，∠APB = 60°，
∴A、P、B、C四點共圓，
∴當BP是圓的直徑時，BP最長，
∴∠PAB = 90°，∴∠ABP = 30°，
過點C作AB的垂線交PB于點O，則點O即為圓心，
∵∠ACB = 120°，且AC = BC = 4，
∴∠ACB = 30°，∴∠BCO = 60°，
∴△OBC是等邊三角形，
8
P
O
∴OC = BC = 4，
∴BP = 2OC = 8。
課堂小結
圓內接四邊形：
一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，
這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。
圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。
圓內接四邊形的性質的推論：圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。
圓內接四邊形的判定：
如果四邊形ABCD的一組對角互補，那么A、B、C、D四點共圓。
圓內接四邊形的判定的其他結論：
如果四邊形ABCD中，
∠ADB = ∠ACB或∠BAC = ∠BDC或∠CBD = ∠CAD或∠DCA = ∠DBA，
那么A、B、C、D四點共圓。
感謝聆聽!

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