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第二十二章 二次函數 經典題型單選 專項練 2025-2026學年
上學期初中數學人教版九年級上冊
1．y=3（x﹣1）2+2與y軸的交點坐標是（　?。?br/>A．（0，2） B．（0，5） C．（2，0） D．（5，0）
2．已知點，，都在二次函數的圖象上，那么、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一坐標系中，作y=3x2+2，y=﹣3x2﹣1，y=x2的圖像，則它們（　?。?br/>A．都是關于y軸對稱 B．頂點都在原點
C．都是開口向上 D．以上都不對
4．如圖，是一條拋物線的圖象，則其解析式為（　?。?br/>A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x-3
5．已知二次函數y=x2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），當b從﹣2逐漸增加到2的過程中，它所對應的拋物線的位置也隨之變動，下列關于拋物線的移動方向的描述中，正確的是（　?。?br/>A．先往左上方移動，再往左下方移動
B．先往左下方移動，再往左上方移動
C．先往右上方移動，再往右下方移動
D．先往右下方移動，再往右上方移動
6．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結論：
①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2=2．
其中正確的有（　　）個．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知3x+y＝6，則xy的最大值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數是（　?。?br/>A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
9．已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（a，0），則代數式a2﹣a+2018的值為（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10．拋物線的部分圖像如圖所示，與x軸的一個交點坐標為，拋物線的對稱軸是下列結論中：
；；方程有兩個不相等的實數根；拋物線與x軸的另一個交點坐標為；若點在該拋物線上，則．
其中正確的有　　
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線x=1，有下列四個判斷：
①關于x的一元二次方程的兩個根分別是；
②；
③若拋物線上有三個點分別為（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），則y1＜y2＜y3；
④當OC=3時，點P為拋物線對稱軸上的一個動點，則△PCA的周長的最小值是，
上述四個判斷中正確的 有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖，拋物線與x軸一個交點為，對稱軸為直線，則時x的范圍是　　
A．或 B．
C． D．
13．已知二次函數的圖像如圖，有下列5個結論：
①；②；③；④；⑤（的實數），其中正確的結論個數有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
14．已知二次函數y=（x－h）2+1（h為常數），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數y的最小值為5，則h的值是（　　）
A．－1 B．－1或5 C．5 D．－5
15．如圖，二次函數（）的圖象與軸交于點、兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，點的坐標為，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
16．將拋物線y=x2﹣4x+3向上平移至頂點落在x軸上，如圖所示，則兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖中陰影部分）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．若二次函數y=﹣x2﹣3x+2的自變量x分別取x1、x2、x3，且x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1、y2、y3的大小關系正確的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
18．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．如圖，拋物線y=﹣2x2+4x與x軸的另一個交點為A，現將拋物線向右平移m（m＞2）個單位長度，所得拋物線與x軸交于C，D，與原拋物線交于點P，設△PCD的面積為S，則用m表示S正確的是（　　）
A．（m2﹣4） B． m2﹣2 C．（4﹣m2） D．2﹣m2
20．已知二次函數圖象如圖所示，下列結論：
；；；點，都在拋物線上，則有其中正確的結論有　　
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B C B B B C B
題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B B B C B A C B C
1．B
求拋物線與y軸的交點坐標，可令x=0，求得y值即可.
∵當x=0時，y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5，
∴y=3（x﹣1）2+2與y軸的交點坐標是（0，5），
2．D
分別計算自變量為 2、、 對應的函數值，然后比較函數值的大小即可．
解：當x＝ 2時，a＝ x2＋2x＋3＝ （ 2）2＋2×（ 2）＋3＝ 5；當x＝時，b＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝；當x＝時，c＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝ ；
所以a＜c＜b．
3．A
從三個二次函數解析式看，它們都缺少一次項，即一次項系數為0，故對稱軸x=0，對稱軸為y軸．
觀察三個二次函數解析式可知，一次項系數都為0，
故對稱軸x=-=0，對稱軸為y軸，都關于y軸對稱．
4．B
根據題意可知拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0），則可設交點式為y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可．
因為拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0），
可設交點式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式為：y=x2-2x-3，
故選B．
5．C
根據頂點坐標公式求二次函數y=x2-bx+2的頂點坐標，設頂點的橫坐標為m，縱坐標為n，轉化為關于x、y的函數關系式進行判斷．
∵拋物線y=x2-bx+2的頂點坐標為（，）
設m=，n=，則n=-m2+2，
∴頂點在拋物線y=-x2+2（-1≤x≤1）的一段上移動，
∵拋物線開口向下，對稱軸為y軸，
∴先往右上方移動，再往右下方移動．
6．B
解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=－=1，
∴b=－2a＞0，
∵拋物線與x軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸的一個交點在（2，0）與（3，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（－1，0）與（0，0）之間，
∴當x=－1時，y＜0，
即a－b+c＜0，所以④錯誤；
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正確；
∵x=1時，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正確；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴a（x1+x2）（x1－x2）+b（x1－x2）=0，
∴（x1－x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，
∴x1+x2=－=－=2，所以⑤正確．
7．B
根據已知方程得到y=－3x+6，將其代入所求的代數式后得到：xy=－3x2+6x，利用配方法求該式的最值．
解：∵3x+y=6，
∴y=－3x+6，
∴xy=－3x2+6x=－3（x－1）2+3．
∵（x－1）2≥0，
∴－3（x－1）2+3≤3，即xy的最大值為3．
8．B
拋物線與x軸的交點的橫坐標，即令y=0所對應的一元二次方程的根．
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，
∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數是1．
故選B．
考查了二次函數與一元二次方程之間的聯系，即拋物線與x軸的交點的個數與一元二次方程的根的關系．
9．C
把（a，0）代入y=x2﹣x﹣1可以求得a2﹣a=1,再將其整體代入所求的代數式進行求值即可.
∵拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（a，0），
∴a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，
∴a2﹣a+2018=1+2018=2019.
10．B
結合函數圖像，根據二次函數的性質及二次函數與一元二次方程、一元二次不等式間的關系逐一判斷即可．
對稱軸是y軸的右側，
，
拋物線與y軸交于正半軸，
，
，故錯誤，不符合題意；
，
，，故正確，符合題意；
由圖像得：時，與拋物線有兩個交點，
方程有兩個不相等的實數根，故正確，符合題意；
拋物線與x軸的一個交點坐標為，拋物線的對稱軸是，
拋物線與x軸的另一個交點坐標為，故正確，符合題意；
拋物線的對稱軸是，
有最大值是，
點在該拋物線上，
，故正確，符合題意，
本題正確的結論有：，4個，
11．C
由拋物線與對稱軸的交點對①進行判斷；由拋物線經過點（-1，0），代入解析式即可對②進行判斷；利用拋物線的對稱軸對③進行判斷；利用拋物線的對稱性得到PA=PB，當B、P、C在一條直線上時，PB+PC=BC，此時PA+PC最小，則△PCA的周長最小，根據勾股定理求得AC、BC即可對④進行判斷．
∵拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），
∴關于x的一元二次方程的兩個根分別是,故①正確；
∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），
∴，故②正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x==1，拋物線上有三個點分別為
（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2；，故③錯誤；
∵P為拋物線對稱軸上的一個動點，
∴點A與點B為拋物線的對稱點，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
當B、P、C在一條直線上時，PB+PC=BC，
此時PA+PC最小，則△PCA的周長最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3，
∴AC=，BC=，
∴△PCA的周長最小值為+．故④正確．
12．B
因為拋物線與x軸的一個交點為（ 2，0），對稱軸為直線x=1，
所以拋物線另一個與x軸的交點為（4，0），
∴y＜0時， 2＜x＜4．
故選B．
13．B
由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解：由對稱知，當時，函數值大于0，即，故③正確；
由圖象可知：圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，與y軸交于正半軸，
則，，，故，故①錯誤；
當時，，即，當時，，即，故②錯誤；
當時函數值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正確；
當時，的值最大．此時，，
而當時，，
所以，
故，即，故⑤正確．
綜上所述，③④⑤正確．
故選：B．
本題考查二次函數系數符號，熟知系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點、拋物線與軸交點的個數確定是解題的關鍵．
14．B
由解析式可知該函數在時取得最小值1、時，隨的增大而增大、當時，隨的增大而減小，根據時，函數的最小值為5可分如下兩種情況：①若，時，取得最小值5；②若，當時，取得最小值5，分別列出關于的方程求解即可．
解：∵當x＞h時，y隨x的增大而增大，當x＜h時，y隨x的增大而減小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5，
可得：（1－h）2+1=5，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，
可得：（3－h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
綜上，h的值為－1或5，
故選B．
本題主要考查二次函數的性質和最值，根據二次函數的性質和最值分類討論是解題的關鍵．
15．C
根據B點的坐標與二次函數的對稱軸即可求出A點坐標，即能求出AB的值，可判斷①；由二次函數的圖象與x軸有兩個交點，即可確定，可判斷②；由圖象開口向上，可確定．由二次函數對稱軸為，即可知，從而得到b的符號，即求出的符號，可判斷③；根據圖象可知，再由，即可判斷出的符號．可判斷④；
∵A、B兩點是二次函數與x軸的交點，且二次函數對稱軸為
∴A、B兩點關于直線對稱．
∵B(1，0)，
∴A(-3，0)，
∴．
故①正確；
∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點A點和B點，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，即．
故②正確；
根據圖象開口向上可知，
∵二次函數對稱軸為，即，
∴．
∴．
故③錯誤；
根據圖象可知對于該二次函數，當時有最小值，且最小值小于0，
即，
∵，且，
∴，即．
故④正確；
綜上，正確的結論有①②④，共3個．
故選：C
本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程的關系．熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．
16．B
把點A、B、C代入拋物線解析式y=ax2+bx+c利用待定系數法求解即可；把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；根據頂點坐標求出向上平移的距離，再根據陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進行計算即可得解．
解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3），把點A、B、C代入拋物線解析式y=ax2+bx+c
得，
解得；
∴拋物線的函數表達式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為（2，-1），
∴PP′=1，
陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，
平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，
∴陰影部分的面積=2．故選B．
本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象與幾何變換，根據平移的性質，把陰影部分的面積轉化為平行四邊形的面積是解題的關鍵．
17．A
試題分析：∵拋物線y=﹣x2﹣3x+2的對稱軸x=﹣=﹣，a=﹣1＜0，
∴當x＞﹣時，y隨x增大而減小，∴0＜x1＜x2＜x3時，∴y1＞y2＞y3，
18．C
逐一分析四個選項，根據二次函數圖象的開口方向以及對稱軸與y軸的位置關系，即可得出a、b的正負性，由此即可得出一次函數圖象經過的象限，即可得出結論．
A. ∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，
∴a<0，b<0，
∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤；
B. ∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，
∴a>0，b<0，
∴一次函數圖象應該過第一、三、四象限，故本選項錯誤；
C. ∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，
∴a<0，b<0，
∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項正確；
D. ∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，
∴a<0，b<0，
∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤．
故選C．
本題主要考查二次函數圖象與一次函數圖象的綜合，掌握二次函數與一次函數系數與圖象的關系，是解題的關鍵．
19．B
先求出A的坐標，設P關于x=1的對稱點為Q，且設P的橫坐標為x1，Q的橫坐標為x2，根據題意可知x1+x2=2，x1﹣x2=m，從而求出x1與x2的表達式．
∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2（x－1）2+2，
∴拋物線的對稱軸為：x=1，令y=0代入y=﹣2x2+4x，
∴0=﹣2x2+4x，
∴x=0或x=2，
∴A（2，0），
∴OA=2，設P關于x=1的對稱點為Q，且設P的橫坐標為x1，Q的橫坐標為x2，
∴．
∵拋物線向右平移m（m＞2）個單位長度，
∴PQ=m，
∴x1﹣x2=m，
∴，解得：x1=，x2=．
把x1=代入y=﹣2x2+4x，
∴y=2﹣＜0，
∴在△PCD中，CD邊上的高為：﹣2．
∵OA=CD=2，
∴S△PCD=×2×（）=﹣2．
故選B．

20．C
觀察圖象判斷出a、b、c的符號,即可得出結論①正確,利用對稱軸公式x<-1,可得結論②正確;判斷出x=-1時縱坐標為負,可得結論③錯誤,利用圖象法可以判斷出④錯誤;
解:∵拋物線開口向上,
∴a>0，
∵-
∴b>0
∵拋物線交y軸于負半軸,
∴c<0,
∴abc<0,故①正確,
∵-，a>0,
∴b>2a,
∴2a-b<0,故②正確,
∵x=-1時,y<0
∴a-b+c<0，故③錯誤,
點(-3,y1),(1,y2)都在拋物線上,
觀察圖象可知y121世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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