資源簡介

廣東省汕頭市潮南區陳店公校聯考2024-2025學年九年級上學期10月期中數學試題
一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）
1．（2024九上·潮南期中）下列各曲線是根據不同的函數繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·潮南期中）拋物線的對稱軸是（　　）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
3．（2024九上·潮南期中）若關于x的一元二次方程有實數根，則c的值不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024九上·潮南期中）已知點與點關于原點對稱，則的值為（　　）
A．2 B．1 C． D．
5．（2024九上·潮南期中）如圖，將繞點C順時針方向旋轉得，若，則等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·潮南期中）二次函數的部分圖象如圖所示，可知方程的一個根為，則方程的另一個根為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·潮南期中）如圖，要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為的墻，另外三邊用長的籬笆圍成．為方便進出，在垂直于墻的一邊留一個寬的木板門，設花圃與墻垂直的一邊長為，若花圃的面積為，所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·潮南期中）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：）（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·潮南期中）已知m，n是方程的兩個根.記，，…，（t為正整數）．若，則t的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024九上·潮南期中）二次函數的圖象如圖所示，下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）
11．（2024九上·潮南期中）點是拋物線上的一點，則　 　；
12．（2024九上·潮南期中）一個矩形的兩鄰邊長分別是方程的的兩根，則矩形的面積等于　 　；
13．（2024九上·潮南期中）若，是方程的兩個實數根，則的值為　 　；
14．（2024九上·潮南期中）如圖，已知拋物線經過點，且頂點在直線上，則的值為　 　．
15．（2024九上·潮南期中）如圖，矩形中，頂點，，，將矩形繞點逆時針旋轉，每秒旋轉，則第100秒旋轉結束時，點的坐標為　 　．
三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）
16．（2024九上·潮南期中）已知．
（1）化簡A；
（2）若點是拋物線上的一點，求A的值．
17．（2024九上·潮南期中）如圖，在中，，． 將繞點B按逆時針方向旋轉得，使點C落在AB邊上，點A的對應點為點D，連接AD，求的度數．
18．（2024九上·潮南期中）已知實數x，y滿足，若，求t的最大值．
四、解答題（二） （本大題3小題，每小題9分，共27分）
19．（2024九上·潮南期中）如圖，在邊長為1的正方形網格中建立平面直角坐標系，的三個頂點均在格點上．
（1）畫出關于原點對稱的；
（2）畫出繞點逆時針旋轉得到的，并寫出點的坐標；
（3）若點為軸上一點，則的最小值為____________．
20．（2024九上·潮南期中）已知關于x的一元二次方程．
（1）若該方程有兩個實數根，求k的取值范圍．
（2）若該方程的兩個實數根滿足，求k的值．
21．（2024九上·潮南期中）2023年杭州亞運會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件68元的價格出售，經統計，2023年5月份的銷售量為256件，2023年7月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率．
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？
五、解答題（三） （本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）
22．（2024九上·潮南期中）如圖，P是等邊三角形內一點，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，連接．
（1）求證：
（2）若．求四邊形的面積．
23．（2024九上·潮南期中）如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），與直線y=x﹣4交于B，D兩點
（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標；
（2）點P為直線BD下方拋物線上的一個動點，試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）點Q是線段BD上異于B、D的動點，過點Q作QF⊥x軸于點F，交拋物線于點G，當△QDG為直角三角形時，直接寫出點Q的坐標．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故A不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、是中心對稱圖形，故C符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】
根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；逐一判斷即可解答．
2．【答案】B
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：∵二次函數頂點式，頂點坐標為：，對稱軸為：直線，
∴拋物線中，對稱軸為：直線．
故答案為：B．
【分析】
由二次函數頂點式中頂點坐標為：，對稱軸為：，進行解答即可．
3．【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，解得，
∴選項D中的5不符合題意，
故答案為：D．
【分析】
根據一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．據此求得c的取值范圍，再進行判斷即可解答．
4．【答案】C
【知識點】解二元一次方程組；關于原點對稱的點的坐標特征；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵點與點關于原點對稱，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】
根據平面直角坐標系中任意一點，關于原點的對稱點是， 求解即可解答．
5．【答案】D
【知識點】垂線的概念；三角形內角和定理；旋轉的性質
【解析】【解答】解：如圖，記垂足為，
∵將繞點C順時針方向旋轉得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：D．
【分析】
根據旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角得到：，，再結合垂直的定義與三角形的內角和定理，計算即可解答．
6．【答案】A
【知識點】利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標為，
拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
方程的根為，
即方程的另一個根為：．
故答案為：A．
【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為，從而可確定方程的另一個根．
7．【答案】A
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設與墻垂直的一邊長為，則與墻平行的一邊長為，
根據題意得：．
故答案為：A．
【分析】
設與墻垂直的一邊長為，則與墻平行的一邊長為，根據花圃面積為即可列出關于的一元二次方程，解答即可．
8．【答案】C
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設每天遺忘的百分比為，
則，
解得：．
故答案為：C．
【分析】
設每天遺忘的百分比為，根據“兩天不練丟一半”列出方程，計算即可解答．
9．【答案】B
【知識點】分式的化簡求值；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；用代數式表示數值變化規律；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的兩個根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t為正整數，
∴，
故答案為：B．
【分析】
由一元二次方程根與系數關系得，再計算得，，…，，從而得到，由題意得，求解即可解答．
10．【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】解：②、∵拋物線開口向上，則，
∵對稱軸為直線，則，
∴，故②正確；
①、拋物線與軸交于負半軸，則，
∴，故①錯誤；
③、∵當時，取得小值，
∴，
當m為任意實數，則，故③正確，
④、∵拋物線關于對稱，
∴和的函數值相同，
即：，
由圖象知，當時，函數值大于0，
∴，故④正確；
⑤、當關于對稱時：即：時，
對應的函數值相同，
即：，
∴
∴若，且，則；故⑤正確；
綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個，
故答案為：C．
【分析】
根據開口方向得，根據對稱軸可得，與軸的交點位置交于負半軸，則，可判斷 ①② ；利用最值當時，取得小值可判斷③；根據對稱性和圖象上的點，可判斷④；利用對稱性可判斷⑤；逐一判斷即可解答．
11．【答案】
【知識點】點的坐標；二次函數y=ax²的圖象
【解析】【解答】解：把代入得：，
故答案為：．
【分析】
根據二次函數圖象上點的坐標特點，利用待定系數法把代入可得的值，解答即可.
12．【答案】6
【知識點】一元二次方程的根；矩形的性質；一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
解得：，
∴矩形相鄰的兩邊分別為：2和3，
∴矩形的面積為：；
故答案為：6．
【分析】
根據一元二次方程的解法：由方程得到兩個一次方程解得，結合矩形面積公式計算，即可解答．
13．【答案】2022
【知識點】一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵若，是方程的兩個實數根，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】
由，為方程的根，得，根據一元二次方程中根與系數的關系得到，則，根據，即可解答．
14．【答案】
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；求代數式的值-整體代入求值；數形結合
【解析】【解答】解：∵拋物線經過點，
∴，
∵頂點在直線上，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案為： ．
【分析】
把點代入拋物線解析式能使左右兩邊相等即可得到，根據拋物線的頂點橫坐標為，據此列式即可求解．
15．【答案】
【知識點】矩形的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；探索規律-點的坐標規律；坐標系中的中點公式
【解析】【解答】解：，
每旋轉八次，點的坐標重復出現．
4，
第100秒旋轉結束時點的位置，與第4秒旋轉結束時點的位置相同．
連接和，
四邊形是矩形，
和互相平分，
，，
，，
點的坐標為．
又，
第4秒旋轉結束時的點與點關于坐標原點對稱，
此時點的坐標為．
即第100秒旋轉結束時，點的坐標為．
故答案為：．
【分析】
由所給旋轉方式得出第100秒旋轉結束時點的位置，與第4秒旋轉結束時點的位置相同；再根據四邊形是矩形，由對角線中點坐標公式建立方程，計算求出點坐標，由此解答即可．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵點是拋物線上的一點，
∴
∴
∴

【知識點】分式的化簡求值；點的坐標；二次函數圖象上點的坐標特征；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】
（1）先計算括號內的加法，再計算除法即可解答；
（2）把點的坐標代入得到，則，整體代入（1）中結果即可解答．
17．【答案】解：是由旋轉得到
，，
，
【知識點】三角形內角和定理；旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【分析】根據旋轉性質可得，，，再根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，，再根據角之間的關系即可求出答案.
18．【答案】解：由得，．
由，
則
∵，
∴．
即當時，取得最大值，最大值為6．
【知識點】二次函數的最值；偶次方的非負性；配方法的應用
【解析】【分析】
用表示得到：，再用去表示，化簡進行配方得到，再利用偶次方的非負性即可得到最值，解答即可．
19．【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求，．
（3）
【知識點】點的坐標；勾股定理；中心對稱及中心對稱圖形；作圖﹣旋轉；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【解答】
解：（3）作點關于軸的對稱點'，連接，交軸于點，連接，
則的最小值為
故答案為：．
【分析】
（1）根據中心對稱的性質作圖即可解答．
（2）根據旋轉的性質作圖，即可得出答案．
（3）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，則的最小值即為，由勾股定理計算即可解答．
（1）如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求，．
（3）作點關于軸的對稱點'，連接，交軸于點，連接，
則的最小值為
故答案為：．
20．【答案】（1）解：根據題意得
解得；
（2）解：根據題意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】
（1）由該方程有兩個實數根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根據根與系數的關系得到，再根據得到，然后解關于的方程，最后利用的范圍確定的值，解答即可．
（1）解：根據題意得
解得；
（2）解：根據題意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
21．【答案】（1）解：設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x
∴，解得：，（不符合題意，舍去）
答：該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為
（2）解：設該款吉祥物降價m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件
∴
解得：，（不符合題意，舍去）
答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x，根據增長率問題的等量關系列出方程：，解出x即可
（2）設該款吉祥物降價m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據等量關系：總利潤=單件利潤×件數，列出方程：，解出m即可.
22．【答案】（1）證明：如圖1中，
是等邊三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如圖2中，連接，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質和已知條件利用SAS證明，再根據全等三角形的性質解答即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再根據，計算即可解答．
23．【答案】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點坐標是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴設該拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），
將點C（0，﹣8）代入函數解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴該拋物線的解析式為：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
聯立方程組：
解得（舍去）或，
即點D的坐標是（﹣1，﹣5）；
（2）如圖所示：
過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴當x=時，△BDP的面積的最大值為．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知識點】點的坐標；二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；三角形的面積；二次函數-面積問題
【解析】【解答】
解：（3）設直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設G點坐標為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標為（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x軸，
∴∠DQG=45°．
若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形．
①當∠QDG=90°時，過點D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②當∠DGQ=90°，則DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
綜上所述，當△QDG為直角三角形時，點Q的坐標為（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案為：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），將點C的坐標代入可求得a的值，然后將y=x﹣4與拋物線的解析式聯立方程組并求解即可解答；
（2）過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4），則PE═﹣x2+3x+4，然后依據S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面積與x的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可解答；
（3）設直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設G點坐標為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標為（x，x﹣4），先證明△QDG為等腰直角三角形，然后根據∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可解答．
1 / 1廣東省汕頭市潮南區陳店公校聯考2024-2025學年九年級上學期10月期中數學試題
一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）
1．（2024九上·潮南期中）下列各曲線是根據不同的函數繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故A不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、是中心對稱圖形，故C符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：C．
【分析】
根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；逐一判斷即可解答．
2．（2024九上·潮南期中）拋物線的對稱軸是（　　）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】B
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：∵二次函數頂點式，頂點坐標為：，對稱軸為：直線，
∴拋物線中，對稱軸為：直線．
故答案為：B．
【分析】
由二次函數頂點式中頂點坐標為：，對稱軸為：，進行解答即可．
3．（2024九上·潮南期中）若關于x的一元二次方程有實數根，則c的值不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，解得，
∴選項D中的5不符合題意，
故答案為：D．
【分析】
根據一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．據此求得c的取值范圍，再進行判斷即可解答．
4．（2024九上·潮南期中）已知點與點關于原點對稱，則的值為（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知識點】解二元一次方程組；關于原點對稱的點的坐標特征；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵點與點關于原點對稱，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】
根據平面直角坐標系中任意一點，關于原點的對稱點是， 求解即可解答．
5．（2024九上·潮南期中）如圖，將繞點C順時針方向旋轉得，若，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】垂線的概念；三角形內角和定理；旋轉的性質
【解析】【解答】解：如圖，記垂足為，
∵將繞點C順時針方向旋轉得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：D．
【分析】
根據旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角得到：，，再結合垂直的定義與三角形的內角和定理，計算即可解答．
6．（2024九上·潮南期中）二次函數的部分圖象如圖所示，可知方程的一個根為，則方程的另一個根為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標為，
拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
方程的根為，
即方程的另一個根為：．
故答案為：A．
【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為，從而可確定方程的另一個根．
7．（2024九上·潮南期中）如圖，要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為的墻，另外三邊用長的籬笆圍成．為方便進出，在垂直于墻的一邊留一個寬的木板門，設花圃與墻垂直的一邊長為，若花圃的面積為，所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設與墻垂直的一邊長為，則與墻平行的一邊長為，
根據題意得：．
故答案為：A．
【分析】
設與墻垂直的一邊長為，則與墻平行的一邊長為，根據花圃面積為即可列出關于的一元二次方程，解答即可．
8．（2024九上·潮南期中）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【解答】解：設每天遺忘的百分比為，
則，
解得：．
故答案為：C．
【分析】
設每天遺忘的百分比為，根據“兩天不練丟一半”列出方程，計算即可解答．
9．（2024九上·潮南期中）已知m，n是方程的兩個根.記，，…，（t為正整數）．若，則t的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知識點】分式的化簡求值；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；用代數式表示數值變化規律；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的兩個根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t為正整數，
∴，
故答案為：B．
【分析】
由一元二次方程根與系數關系得，再計算得，，…，，從而得到，由題意得，求解即可解答．
10．（2024九上·潮南期中）二次函數的圖象如圖所示，下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】解：②、∵拋物線開口向上，則，
∵對稱軸為直線，則，
∴，故②正確；
①、拋物線與軸交于負半軸，則，
∴，故①錯誤；
③、∵當時，取得小值，
∴，
當m為任意實數，則，故③正確，
④、∵拋物線關于對稱，
∴和的函數值相同，
即：，
由圖象知，當時，函數值大于0，
∴，故④正確；
⑤、當關于對稱時：即：時，
對應的函數值相同，
即：，
∴
∴若，且，則；故⑤正確；
綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個，
故答案為：C．
【分析】
根據開口方向得，根據對稱軸可得，與軸的交點位置交于負半軸，則，可判斷 ①② ；利用最值當時，取得小值可判斷③；根據對稱性和圖象上的點，可判斷④；利用對稱性可判斷⑤；逐一判斷即可解答．
二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）
11．（2024九上·潮南期中）點是拋物線上的一點，則　 　；
【答案】
【知識點】點的坐標；二次函數y=ax²的圖象
【解析】【解答】解：把代入得：，
故答案為：．
【分析】
根據二次函數圖象上點的坐標特點，利用待定系數法把代入可得的值，解答即可.
12．（2024九上·潮南期中）一個矩形的兩鄰邊長分別是方程的的兩根，則矩形的面積等于　 　；
【答案】6
【知識點】一元二次方程的根；矩形的性質；一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
解得：，
∴矩形相鄰的兩邊分別為：2和3，
∴矩形的面積為：；
故答案為：6．
【分析】
根據一元二次方程的解法：由方程得到兩個一次方程解得，結合矩形面積公式計算，即可解答．
13．（2024九上·潮南期中）若，是方程的兩個實數根，則的值為　 　；
【答案】2022
【知識點】一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵若，是方程的兩個實數根，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】
由，為方程的根，得，根據一元二次方程中根與系數的關系得到，則，根據，即可解答．
14．（2024九上·潮南期中）如圖，已知拋物線經過點，且頂點在直線上，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；求代數式的值-整體代入求值；數形結合
【解析】【解答】解：∵拋物線經過點，
∴，
∵頂點在直線上，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案為： ．
【分析】
把點代入拋物線解析式能使左右兩邊相等即可得到，根據拋物線的頂點橫坐標為，據此列式即可求解．
15．（2024九上·潮南期中）如圖，矩形中，頂點，，，將矩形繞點逆時針旋轉，每秒旋轉，則第100秒旋轉結束時，點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】矩形的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；探索規律-點的坐標規律；坐標系中的中點公式
【解析】【解答】解：，
每旋轉八次，點的坐標重復出現．
4，
第100秒旋轉結束時點的位置，與第4秒旋轉結束時點的位置相同．
連接和，
四邊形是矩形，
和互相平分，
，，
，，
點的坐標為．
又，
第4秒旋轉結束時的點與點關于坐標原點對稱，
此時點的坐標為．
即第100秒旋轉結束時，點的坐標為．
故答案為：．
【分析】
由所給旋轉方式得出第100秒旋轉結束時點的位置，與第4秒旋轉結束時點的位置相同；再根據四邊形是矩形，由對角線中點坐標公式建立方程，計算求出點坐標，由此解答即可．
三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）
16．（2024九上·潮南期中）已知．
（1）化簡A；
（2）若點是拋物線上的一點，求A的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵點是拋物線上的一點，
∴
∴
∴

【知識點】分式的化簡求值；點的坐標；二次函數圖象上點的坐標特征；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【分析】
（1）先計算括號內的加法，再計算除法即可解答；
（2）把點的坐標代入得到，則，整體代入（1）中結果即可解答．
17．（2024九上·潮南期中）如圖，在中，，． 將繞點B按逆時針方向旋轉得，使點C落在AB邊上，點A的對應點為點D，連接AD，求的度數．
【答案】解：是由旋轉得到
，，
，
【知識點】三角形內角和定理；旋轉的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【分析】根據旋轉性質可得，，，再根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，，再根據角之間的關系即可求出答案.
18．（2024九上·潮南期中）已知實數x，y滿足，若，求t的最大值．
【答案】解：由得，．
由，
則
∵，
∴．
即當時，取得最大值，最大值為6．
【知識點】二次函數的最值；偶次方的非負性；配方法的應用
【解析】【分析】
用表示得到：，再用去表示，化簡進行配方得到，再利用偶次方的非負性即可得到最值，解答即可．
四、解答題（二） （本大題3小題，每小題9分，共27分）
19．（2024九上·潮南期中）如圖，在邊長為1的正方形網格中建立平面直角坐標系，的三個頂點均在格點上．
（1）畫出關于原點對稱的；
（2）畫出繞點逆時針旋轉得到的，并寫出點的坐標；
（3）若點為軸上一點，則的最小值為____________．
【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求，．
（3）
【知識點】點的坐標；勾股定理；中心對稱及中心對稱圖形；作圖﹣旋轉；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【解答】
解：（3）作點關于軸的對稱點'，連接，交軸于點，連接，
則的最小值為
故答案為：．
【分析】
（1）根據中心對稱的性質作圖即可解答．
（2）根據旋轉的性質作圖，即可得出答案．
（3）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，則的最小值即為，由勾股定理計算即可解答．
（1）如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求，．
（3）作點關于軸的對稱點'，連接，交軸于點，連接，
則的最小值為
故答案為：．
20．（2024九上·潮南期中）已知關于x的一元二次方程．
（1）若該方程有兩個實數根，求k的取值范圍．
（2）若該方程的兩個實數根滿足，求k的值．
【答案】（1）解：根據題意得
解得；
（2）解：根據題意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】
（1）由該方程有兩個實數根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根據根與系數的關系得到，再根據得到，然后解關于的方程，最后利用的范圍確定的值，解答即可．
（1）解：根據題意得
解得；
（2）解：根據題意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
21．（2024九上·潮南期中）2023年杭州亞運會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件68元的價格出售，經統計，2023年5月份的銷售量為256件，2023年7月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率．
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？
【答案】（1）解：設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x
∴，解得：，（不符合題意，舍去）
答：該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為
（2）解：設該款吉祥物降價m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件
∴
解得：，（不符合題意，舍去）
答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x，根據增長率問題的等量關系列出方程：，解出x即可
（2）設該款吉祥物降價m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據等量關系：總利潤=單件利潤×件數，列出方程：，解出m即可.
五、解答題（三） （本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）
22．（2024九上·潮南期中）如圖，P是等邊三角形內一點，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，連接．
（1）求證：
（2）若．求四邊形的面積．
【答案】（1）證明：如圖1中，
是等邊三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如圖2中，連接，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質和已知條件利用SAS證明，再根據全等三角形的性質解答即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再根據，計算即可解答．
23．（2024九上·潮南期中）如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），與直線y=x﹣4交于B，D兩點
（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標；
（2）點P為直線BD下方拋物線上的一個動點，試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）點Q是線段BD上異于B、D的動點，過點Q作QF⊥x軸于點F，交拋物線于點G，當△QDG為直角三角形時，直接寫出點Q的坐標．
【答案】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點坐標是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴設該拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），
將點C（0，﹣8）代入函數解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴該拋物線的解析式為：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
聯立方程組：
解得（舍去）或，
即點D的坐標是（﹣1，﹣5）；
（2）如圖所示：
過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴當x=時，△BDP的面積的最大值為．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知識點】點的坐標；二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；三角形的面積；二次函數-面積問題
【解析】【解答】
解：（3）設直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設G點坐標為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標為（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x軸，
∴∠DQG=45°．
若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形．
①當∠QDG=90°時，過點D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②當∠DGQ=90°，則DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
綜上所述，當△QDG為直角三角形時，點Q的坐標為（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案為：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），將點C的坐標代入可求得a的值，然后將y=x﹣4與拋物線的解析式聯立方程組并求解即可解答；
（2）過點P作PE∥y軸，交直線AB與點E，設P（x，x2﹣2x﹣8），則E（x，x﹣4），則PE═﹣x2+3x+4，然后依據S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面積與x的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可解答；
（3）設直線y=x﹣4與y軸相交于點K，則K（0，﹣4），設G點坐標為（x，x2﹣2x﹣8），點Q點坐標為（x，x﹣4），先證明△QDG為等腰直角三角形，然后根據∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可解答．
1 / 1

展開更多......

收起↑