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廣東省廣州市白云區永平片2024—2025學年上學期期中學情調查九年級數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1．（2024九上·白云期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故A不符合題意；
B、是一元二次方程，故B符合題意；
C、是分式方程，故C不符合題意；
D、最高次為3次，故D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】
根據一元二次方程的定義：含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程；逐一判斷即可解答．
2．（2024九上·白云期中）做好“垃圾分類”，倡導綠色健康的生活方式，是我們作為公民應盡的義務，如圖所示垃圾分類標志，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、本選項圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A不符合題意；
B、本選項圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、本選項圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C符合題意；
D、本選項圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D不符合題意．
故答案為：C．
【分析】
根據中心對稱圖形的定義：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形. 軸對稱圖形的定義平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.逐一判斷即可解答.
3．（2024九上·白云期中）將拋物線向上平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】二次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式為，
故答案為：C．
【分析】利用函數圖象（解析式）平移的特征：左加右減，上加下減分析求解即可.
4．（2024九上·白云期中）一元二次方程根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．不能判定
【答案】A
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故答案為：A．
【分析】
根據一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據題意，求得，由此解答即可．
5．（2024九上·白云期中）如圖，將繞著點順時針旋轉70°，得到，若，則的度數為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【知識點】角的運算；旋轉的性質
【解析】【解答】解：∵將繞著點順時針旋轉70°，得到，
∴∠BOD=70°，
∵，
∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．
故答案為：C．
【分析】
根據旋轉的性質可得∠BOD=70°，再根據角的和差計算即可解答．
6．（2024九上·白云期中）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故選：D．
【分析】
先將常數1移項到等號右邊，左右兩邊加上一次項系數一半的平方，進行配方即可。
7．（2024九上·白云期中）南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？設它的寬為x步，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設它的寬為x步，則長為(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故選：D．
【分析】設它的寬為x步，則長為(60-x)步，根據矩形面積=長×寬，列出方程即可求解．
8．（2024九上·白云期中）設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：拋物線中，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
而離直線的距離最遠，點離直線最近，
．
故答案為：A．
【分析】
根據二次函數的性質得到拋物線的開口向下，對稱軸為直線，然后根據三個點離對稱軸的遠近判斷函數值的大小，由此即可解答．
9．（2024九上·白云期中）函數y＝ax－2 (a≠0)．與y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與一次函數的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：∵在y=ax-2中：b=-2，
∴一次函數圖象與y軸的負半軸相交，
∵①當a＞0時，
∴二次函數圖象經過原點，開口向上，一次函數圖象經過第一、三、四象限，
∵②當a＜0時，
∴二次函數圖象經過原點，開口向下，一次函數圖象經過第二、三、四象限，
故答案為：A．
【分析】
由題意分情況進行分析：①當a＞0時，拋物線開口向上，直線與y軸的負半軸相交，經過第一、三、四象限，②當a＜0時，拋物線開口向下，直線與y軸的負半軸相交，經過第二、三、四象限，由此解答即可．
10．（2024九上·白云期中）將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，然后繞點O逆時針旋轉90°至△A OB 的位置．若點B的橫坐標為2，則點A 的坐標為（　　）
A．（1，1） B． C．（-1，1） D．
【答案】C
【知識點】點的坐標；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖所示，過點作，交于點
∵為等腰直角三角形，由旋轉所得
∴≌
∴為等腰直角三角形
∵點的橫坐標為
∴點（0，2）
∴
∵
∴
∴點坐標為（-1，1）
故答案為：C
【分析】
根據旋轉的性質得出≌，從而得出，再根據等腰直角三角形的性質得出，從而得出點的坐標，解答即可．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（2024九上·白云期中）拋物線的頂點坐標是　 　．
【答案】（1，2）
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：∵是拋物線的頂點式，
∴頂點坐標為（1，2）．
故答案為：（1，2）．
【分析】拋物線的頂點式為y=a(x-h)2+k，其中頂點坐標為（h，k），據此解答.
12．（2024九上·白云期中）如果、是一元二次方程的兩個根，那么的值是　 　．
【答案】2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的兩個根，
，
故答案為：．
【分析】
根據一元二次方程根與系數的關系，即一元二次方程的兩根之和是，兩根之積是，根據一元二次方程的根與系數的關系得到兩根之和，計算即可解答．
13．（2024九上·白云期中）拋物線與軸只有一個交點，則　 　．
【答案】9
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個交點，
∴，
∴c=9，
故答案為：9
【分析】根據二次函數與x軸的交點問題結合題意即可求解。
14．（2024九上·白云期中）如圖，拋物線的圖象與軸的一個交點為，則一元二次方程的實數根是　 　．
【答案】，
【知識點】利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；數形結合
【解析】【解答】解：∵拋物線的圖象與軸的一個交點為，對稱軸為直線，
∴拋物線與x軸另一個交點為，
∴關于x的一元二次方程的兩個實數根分別是，．
故答案為：，．
【分析】
先利用二次函數的對稱軸為直線，則利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸另一個交點為，然后根據拋物線與x軸的交點問題得到關于x的一元二次方程的兩個實數根；解答即可．
15．（2024九上·白云期中）如圖，已知，，將邊繞著點A旋轉，當點B落在邊的垂直平分線上的點E時，　 　．
【答案】或
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；旋轉的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖所示，當點E在線段右邊時，
∵是邊的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，當點E在線段左邊時，
同理可得是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】
根據題意分點E在線段右邊和點E在線段左邊兩種情況討論：當點E在線段右邊時，根據垂直平分線得性質和已知條件可判定是等邊三角形，再根據等邊三角形得性質利用角度得計算即可解答；當點E在線段左邊時，類似的方法，求解即可．
16．（2024九上·白云期中）如圖，二次函數的圖像的對稱軸是直線，有以下四個結論：①；②；③；④，其中正確的結論是　 　（填序號）
【答案】②④
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；數形結合
【解析】【解答】解：由圖像可知拋物線開口向下，與y軸的交點位于x軸上方，
∴，．
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，，故②正確；
∴，故①錯誤；
由圖像可知拋物線與y軸的交點位于1和2之間，
∴．
∵，
∴，
兩邊都乘以，得：．
∵，
∴，
∴，即，
∴，故③錯誤；
由圖像可知當時，，
∴，
∴，故④正確．
故答案為：②④．
【分析】
由圖像可知開口向下，與y軸的交點位于1和2之間，從而得出，．結合對稱軸為和對稱軸公式可得出，，即可判斷①②；又可知，即得出，根據不等式的性質可得出，根據a和b的關系即得出可判斷③；根據圖像可知當時，，結合a和b的關系即得出可判斷④；逐一判斷即可解答．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應寫文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2024九上·白云期中）解方程： .
【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點：二次項系數為1，一次項系數為偶數，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．（2024九上·白云期中）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉得到，點C旋轉后的對應點為點，連接，求的長．
【答案】
【知識點】勾股定理；旋轉的性質
【解析】【解答】解：∵，將繞點逆時針旋轉得到，
，
．
故答案為：.
【分析】
利用旋轉的性質得到，再根據勾股定理計算即可解答．
19．（2024九上·白云期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，，請畫出，使與關于原點成中心對稱，并寫出點，，的坐標．
【答案】解：如圖所示，，，．
【知識點】點的坐標；關于原點對稱的點的坐標特征；作圖﹣中心對稱
【解析】【分析】
首先確定、、三點關于原點成中心對稱的對稱點，再連接即可；然后根據點的位置寫出點的坐標即可解答．
20．（2024九上·白云期中）已知拋物線經過點，且對稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線與軸的交點坐標．
【答案】（1）解：∵拋物線經過點，且對稱軸為．
∴
∴．
．
（2）解：令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點坐標是，．
【知識點】解二元一次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根據對稱軸公式以及經過點，代入計算分別求得，即可求解；
（2）由題意，直接令，即可求出拋物線與軸的交點坐標，解答即可．
（1）解：∵拋物線經過點，且對稱軸為．
∴
∴．
．
（2）令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點坐標是，．
21．（2024九上·白云期中）在國家政策的調控下，某市的商品房成交均價由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元．
（1）求4、5兩月平均每月降價的百分率；
（2）如果房價繼續回落，按此降價的百分率，請你預測到6月份該市的商品房成交均價是否會跌破每平方米7200元？請說明理由．
【答案】解：（1）設4、5兩月平均每月降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（不符合題意，舍去），
答：4、5兩月平均每月降價的百分率為．
（2）不會．
理由：（元，且7290元元，
到6月份該市的商品房成交均價不會跌破每平方米7200元．
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設4、5兩月平均每月降價的百分率為，連續兩次降價后的價格為每平方米元，列方程求出的值即可解答；
（2）按（1）中求出的百分比求出的值即得到6月份的成交均價，可知是否會跌破每平方米7200元，解答即可．
22．（2024九上·白云期中）某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發現，在一段時間內，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y（元），解答下列問題：
（1）求y與x的關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？
【答案】（1）解：；
∴w與x的關系式為：．
（2）解：，
∴當時，y的值最大．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）把代入即可求解；
（2）把函數解析式轉化為頂點式，即可求解．
（1）解：；
∴w與x的關系式為：．
（2）解：，
∴當時，y的值最大．
23．（2024九上·白云期中）【閱讀材料1】
為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設，那么原方程可化為，經過運算，原方程的解是，，，．
我們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實數，滿足，且，顯然m，n是方程兩個不相等的實數根，由韋達定理可知，．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
解方程，可設__________，原方程可化為__________．
經過運算，原方程的解是__________．
（2）間接應用：
已知實數，滿足，，且，求的值．
【答案】（1），，，；
（2）解：∵的兩個根為，，則，
∴，不互為相反數，
∴，
∵實數，滿足，，且，
∴，
∴，是方程的兩個根，
∴，，
∴．
【知識點】完全平方公式及運用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；換元法解一元二次方程；整體思想
【解析】【解答】解： (1) 解方程，可設，原方程可化為，
∴，
解得：，，
當，則，
解得：，
當時，則，方程無解，
∴原方程的解為：，；
故答案為：，，，；
【分析】
（1）設，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可解答；
（2）先判斷，可得，是方程的兩個根，可得，，再利用完全平方公式的變形，再整體代入進行求解即可解答．
24．（2024九上·白云期中）已知函數為常數，且．
（1）求證：該函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）當時，該函數圖象與軸交于，兩點，求線段長度的取值范圍；
（3）當時，．直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）證明：令，則，
△，
該函數的圖象與軸總有公共點；
（2）解：由方程解得，
，，
，，
，
，
；
（3）或．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；坐標系中的兩點距離公式；分類討論
【解析】【解答】解：（3）如圖，
時，，時，，
拋物線一定過點，，
當時，，
函數為常數，且的圖象開口向上時滿足題意，則，
函數為常數，且的圖象開口向下時，，解得，
當時，，則的取值范圍是或．
故答案為：或．
【分析】
（1）令轉化為，再利用根的判別式即可判斷；
（2）解方程求得，，則，，，，根據即可求得線段長度的取值范圍；
（3）由解析式可知拋物線一定過點，，分兩種情況討論即可求得的取值范圍，解答即可．
25．（2024九上·白云期中）如圖1，等邊中，分別交、于點D、E．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）將繞點C順時針旋轉（），設直線與直線相交于點F．
①如圖2，當時，判斷的度數是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
②若，，當B，D，E三點共線時，求的長．
【答案】（1）證明：是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）解：①的度數是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．如圖3，
過點作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，如圖4，
過點作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
【知識點】三角形全等及其性質；等邊三角形的判定與性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先判斷出，進而得出，，即可得出結論，解答即可；
（2）①先判斷出，得出，再根據全等三角形的性質解答即可；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．過點作于，求出，，進而求出，再利用線段的和差運算解答即可；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，同Ⅰ的方法，解答即可．
（1）是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）①的度數是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．如圖3，
過點作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，如圖4，
過點作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
1 / 1廣東省廣州市白云區永平片2024—2025學年上學期期中學情調查九年級數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1．（2024九上·白云期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·白云期中）做好“垃圾分類”，倡導綠色健康的生活方式，是我們作為公民應盡的義務，如圖所示垃圾分類標志，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·白云期中）將拋物線向上平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·白云期中）一元二次方程根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．不能判定
5．（2024九上·白云期中）如圖，將繞著點順時針旋轉70°，得到，若，則的度數為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2024九上·白云期中）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·白云期中）南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？設它的寬為x步，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·白云期中）設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·白云期中）函數y＝ax－2 (a≠0)．與y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是
A． B．
C． D．
10．（2024九上·白云期中）將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，然后繞點O逆時針旋轉90°至△A OB 的位置．若點B的橫坐標為2，則點A 的坐標為（　　）
A．（1，1） B． C．（-1，1） D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（2024九上·白云期中）拋物線的頂點坐標是　 　．
12．（2024九上·白云期中）如果、是一元二次方程的兩個根，那么的值是　 　．
13．（2024九上·白云期中）拋物線與軸只有一個交點，則　 　．
14．（2024九上·白云期中）如圖，拋物線的圖象與軸的一個交點為，則一元二次方程的實數根是　 　．
15．（2024九上·白云期中）如圖，已知，，將邊繞著點A旋轉，當點B落在邊的垂直平分線上的點E時，　 　．
16．（2024九上·白云期中）如圖，二次函數的圖像的對稱軸是直線，有以下四個結論：①；②；③；④，其中正確的結論是　 　（填序號）
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應寫文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2024九上·白云期中）解方程： .
18．（2024九上·白云期中）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉得到，點C旋轉后的對應點為點，連接，求的長．
19．（2024九上·白云期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，，請畫出，使與關于原點成中心對稱，并寫出點，，的坐標．
20．（2024九上·白云期中）已知拋物線經過點，且對稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線與軸的交點坐標．
21．（2024九上·白云期中）在國家政策的調控下，某市的商品房成交均價由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元．
（1）求4、5兩月平均每月降價的百分率；
（2）如果房價繼續回落，按此降價的百分率，請你預測到6月份該市的商品房成交均價是否會跌破每平方米7200元？請說明理由．
22．（2024九上·白云期中）某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發現，在一段時間內，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y（元），解答下列問題：
（1）求y與x的關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？
23．（2024九上·白云期中）【閱讀材料1】
為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設，那么原方程可化為，經過運算，原方程的解是，，，．
我們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實數，滿足，且，顯然m，n是方程兩個不相等的實數根，由韋達定理可知，．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
解方程，可設__________，原方程可化為__________．
經過運算，原方程的解是__________．
（2）間接應用：
已知實數，滿足，，且，求的值．
24．（2024九上·白云期中）已知函數為常數，且．
（1）求證：該函數的圖象與x軸總有公共點；
（2）當時，該函數圖象與軸交于，兩點，求線段長度的取值范圍；
（3）當時，．直接寫出的取值范圍．
25．（2024九上·白云期中）如圖1，等邊中，分別交、于點D、E．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）將繞點C順時針旋轉（），設直線與直線相交于點F．
①如圖2，當時，判斷的度數是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
②若，，當B，D，E三點共線時，求的長．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故A不符合題意；
B、是一元二次方程，故B符合題意；
C、是分式方程，故C不符合題意；
D、最高次為3次，故D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】
根據一元二次方程的定義：含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程；逐一判斷即可解答．
2．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、本選項圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A不符合題意；
B、本選項圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、本選項圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C符合題意；
D、本選項圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D不符合題意．
故答案為：C．
【分析】
根據中心對稱圖形的定義：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形. 軸對稱圖形的定義平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.逐一判斷即可解答.
3．【答案】C
【知識點】二次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式為，
故答案為：C．
【分析】利用函數圖象（解析式）平移的特征：左加右減，上加下減分析求解即可.
4．【答案】A
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故答案為：A．
【分析】
根據一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據題意，求得，由此解答即可．
5．【答案】C
【知識點】角的運算；旋轉的性質
【解析】【解答】解：∵將繞著點順時針旋轉70°，得到，
∴∠BOD=70°，
∵，
∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．
故答案為：C．
【分析】
根據旋轉的性質可得∠BOD=70°，再根據角的和差計算即可解答．
6．【答案】D
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故選：D．
【分析】
先將常數1移項到等號右邊，左右兩邊加上一次項系數一半的平方，進行配方即可。
7．【答案】D
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設它的寬為x步，則長為(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故選：D．
【分析】設它的寬為x步，則長為(60-x)步，根據矩形面積=長×寬，列出方程即可求解．
8．【答案】A
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：拋物線中，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
而離直線的距離最遠，點離直線最近，
．
故答案為：A．
【分析】
根據二次函數的性質得到拋物線的開口向下，對稱軸為直線，然后根據三個點離對稱軸的遠近判斷函數值的大小，由此即可解答．
9．【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與一次函數的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：∵在y=ax-2中：b=-2，
∴一次函數圖象與y軸的負半軸相交，
∵①當a＞0時，
∴二次函數圖象經過原點，開口向上，一次函數圖象經過第一、三、四象限，
∵②當a＜0時，
∴二次函數圖象經過原點，開口向下，一次函數圖象經過第二、三、四象限，
故答案為：A．
【分析】
由題意分情況進行分析：①當a＞0時，拋物線開口向上，直線與y軸的負半軸相交，經過第一、三、四象限，②當a＜0時，拋物線開口向下，直線與y軸的負半軸相交，經過第二、三、四象限，由此解答即可．
10．【答案】C
【知識點】點的坐標；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖所示，過點作，交于點
∵為等腰直角三角形，由旋轉所得
∴≌
∴為等腰直角三角形
∵點的橫坐標為
∴點（0，2）
∴
∵
∴
∴點坐標為（-1，1）
故答案為：C
【分析】
根據旋轉的性質得出≌，從而得出，再根據等腰直角三角形的性質得出，從而得出點的坐標，解答即可．
11．【答案】（1，2）
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：∵是拋物線的頂點式，
∴頂點坐標為（1，2）．
故答案為：（1，2）．
【分析】拋物線的頂點式為y=a(x-h)2+k，其中頂點坐標為（h，k），據此解答.
12．【答案】2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的兩個根，
，
故答案為：．
【分析】
根據一元二次方程根與系數的關系，即一元二次方程的兩根之和是，兩根之積是，根據一元二次方程的根與系數的關系得到兩根之和，計算即可解答．
13．【答案】9
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個交點，
∴，
∴c=9，
故答案為：9
【分析】根據二次函數與x軸的交點問題結合題意即可求解。
14．【答案】，
【知識點】利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；數形結合
【解析】【解答】解：∵拋物線的圖象與軸的一個交點為，對稱軸為直線，
∴拋物線與x軸另一個交點為，
∴關于x的一元二次方程的兩個實數根分別是，．
故答案為：，．
【分析】
先利用二次函數的對稱軸為直線，則利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸另一個交點為，然后根據拋物線與x軸的交點問題得到關于x的一元二次方程的兩個實數根；解答即可．
15．【答案】或
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；旋轉的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖所示，當點E在線段右邊時，
∵是邊的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，當點E在線段左邊時，
同理可得是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】
根據題意分點E在線段右邊和點E在線段左邊兩種情況討論：當點E在線段右邊時，根據垂直平分線得性質和已知條件可判定是等邊三角形，再根據等邊三角形得性質利用角度得計算即可解答；當點E在線段左邊時，類似的方法，求解即可．
16．【答案】②④
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；數形結合
【解析】【解答】解：由圖像可知拋物線開口向下，與y軸的交點位于x軸上方，
∴，．
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，，故②正確；
∴，故①錯誤；
由圖像可知拋物線與y軸的交點位于1和2之間，
∴．
∵，
∴，
兩邊都乘以，得：．
∵，
∴，
∴，即，
∴，故③錯誤；
由圖像可知當時，，
∴，
∴，故④正確．
故答案為：②④．
【分析】
由圖像可知開口向下，與y軸的交點位于1和2之間，從而得出，．結合對稱軸為和對稱軸公式可得出，，即可判斷①②；又可知，即得出，根據不等式的性質可得出，根據a和b的關系即得出可判斷③；根據圖像可知當時，，結合a和b的關系即得出可判斷④；逐一判斷即可解答．
17．【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點：二次項系數為1，一次項系數為偶數，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．【答案】
【知識點】勾股定理；旋轉的性質
【解析】【解答】解：∵，將繞點逆時針旋轉得到，
，
．
故答案為：.
【分析】
利用旋轉的性質得到，再根據勾股定理計算即可解答．
19．【答案】解：如圖所示，，，．
【知識點】點的坐標；關于原點對稱的點的坐標特征；作圖﹣中心對稱
【解析】【分析】
首先確定、、三點關于原點成中心對稱的對稱點，再連接即可；然后根據點的位置寫出點的坐標即可解答．
20．【答案】（1）解：∵拋物線經過點，且對稱軸為．
∴
∴．
．
（2）解：令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點坐標是，．
【知識點】解二元一次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根據對稱軸公式以及經過點，代入計算分別求得，即可求解；
（2）由題意，直接令，即可求出拋物線與軸的交點坐標，解答即可．
（1）解：∵拋物線經過點，且對稱軸為．
∴
∴．
．
（2）令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點坐標是，．
21．【答案】解：（1）設4、5兩月平均每月降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（不符合題意，舍去），
答：4、5兩月平均每月降價的百分率為．
（2）不會．
理由：（元，且7290元元，
到6月份該市的商品房成交均價不會跌破每平方米7200元．
【知識點】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設4、5兩月平均每月降價的百分率為，連續兩次降價后的價格為每平方米元，列方程求出的值即可解答；
（2）按（1）中求出的百分比求出的值即得到6月份的成交均價，可知是否會跌破每平方米7200元，解答即可．
22．【答案】（1）解：；
∴w與x的關系式為：．
（2）解：，
∴當時，y的值最大．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）把代入即可求解；
（2）把函數解析式轉化為頂點式，即可求解．
（1）解：；
∴w與x的關系式為：．
（2）解：，
∴當時，y的值最大．
23．【答案】（1），，，；
（2）解：∵的兩個根為，，則，
∴，不互為相反數，
∴，
∵實數，滿足，，且，
∴，
∴，是方程的兩個根，
∴，，
∴．
【知識點】完全平方公式及運用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；換元法解一元二次方程；整體思想
【解析】【解答】解： (1) 解方程，可設，原方程可化為，
∴，
解得：，，
當，則，
解得：，
當時，則，方程無解，
∴原方程的解為：，；
故答案為：，，，；
【分析】
（1）設，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可解答；
（2）先判斷，可得，是方程的兩個根，可得，，再利用完全平方公式的變形，再整體代入進行求解即可解答．
24．【答案】（1）證明：令，則，
△，
該函數的圖象與軸總有公共點；
（2）解：由方程解得，
，，
，，
，
，
；
（3）或．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；坐標系中的兩點距離公式；分類討論
【解析】【解答】解：（3）如圖，
時，，時，，
拋物線一定過點，，
當時，，
函數為常數，且的圖象開口向上時滿足題意，則，
函數為常數，且的圖象開口向下時，，解得，
當時，，則的取值范圍是或．
故答案為：或．
【分析】
（1）令轉化為，再利用根的判別式即可判斷；
（2）解方程求得，，則，，，，根據即可求得線段長度的取值范圍；
（3）由解析式可知拋物線一定過點，，分兩種情況討論即可求得的取值范圍，解答即可．
25．【答案】（1）證明：是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）解：①的度數是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．如圖3，
過點作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，如圖4，
過點作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
【知識點】三角形全等及其性質；等邊三角形的判定與性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先判斷出，進而得出，，即可得出結論，解答即可；
（2）①先判斷出，得出，再根據全等三角形的性質解答即可；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．過點作于，求出，，進而求出，再利用線段的和差運算解答即可；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，同Ⅰ的方法，解答即可．
（1）是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）①的度數是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當，，三點共線，且在上方時．如圖3，
過點作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當，，三點共線，且在下方時，如圖4，
過點作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
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