資源簡介

廣東省深圳市南山實驗教育集團麒麟中學2024-2025學年九年級上學期期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2024九上·南山期中）若關于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C．且 D．m為任何實數
2．（2024九上·南山期中）如圖所示的幾何體的俯視圖是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·南山期中）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長是（　?。?br/>A． B． C．1 D．
4．（2024九上·南山期中）平地上立有三根等高的木桿，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·南山期中）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（　?。?br/>A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2024九上·南山期中）在長為，寬為的長方形田地中開辟三條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度．設道路的寬度為，則可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·南山期中）已知一次函數與反比例函數，則其圖像可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．（2024九上·南山期中）如圖所示，在正方形與等邊中，三點在一條直線上，且，．若有一動點沿著由往移動，則當的長度最小時，的長為（　?。?br/>A．2 B． C． D．4
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·南山期中）一元二次方程的解是　 　．
10．（2024九上·南山期中）為了估計魚塘中魚的數量，養魚者先從魚塘中捕獲100條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放回魚塘，一段時間后再從魚塘中打撈魚，通過多次試驗后發現捕撈的魚中有記號的頻率穩定在0.1左右，則魚塘中估計有約　 　條．
11．（2024九上·南山期中）如圖，實踐課上，小宇設計用光學原理來測量公園假山的高度，把一面鏡子放在與假山距離為米的B處，然后沿著射線退后到點E，這時恰好在鏡子里看到山頭A，利用皮尺測量米，若小宇的眼睛到地面的距離為米，則假山高度為　 　米．
12．（2024九上·南山期中）如圖，將長方形分成四塊，的面積是，的面積是，則四邊形的面積是　 　平方厘米．
13．（2024九上·南山期中）如圖，點是雙曲線在第一象限上的一動點，連接并延長交另一分支于點，以為斜邊作等腰，點在第二象限，隨著點的運動，點的位置也不斷的變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為　 ?。?br/>三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2024九上·南山期中）關于x的一元二次方程有兩個實數根，并且．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）滿足，求m的值．
15．（2024九上·南山期中）10月8日，麒麟中學“第二十四屆科技節”隆重開幕，當天舉行了豐富多彩的活動，A．三階6面魔方挑戰賽；B．科技知識競賽；C．環保調查；D．自制地球儀；E．機器人編程挑戰賽．為了解學生對這五類活動的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計（每位學生必選且只能選一類），并根據調查結果，繪制了兩幅不完整的統計圖如圖所示．
AI
根據上述信息，解決下列問題．
（1）本次調查總人數為______，并補全條形統計圖（要求在條形圖上方注明人數）；
（2）我校有2700名學生，請估計該校參加環保調查的學生人數；
（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學生中隨機抽取2名學生參加市環保調查，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
16．（2024九上·南山期中）如圖，中，，，．
（1）以O為位似中心，將縮小為原來的，得到，請在y軸右側畫出．
（2）的面積為______．
（3）在網格中找一點D，使得是以為底邊的等腰直角三角形，則點D的坐標為______．
17．（2024九上·南山期中）云南某地一村民，2021年承包種植橙子樹200畝，由于第一年收成不錯，該村民每年都增加種植面積，到2023年共種植288畝．假設每年的增長率相同．
（1）求該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率．
（2）某水果批發店銷售該種橙子，市場調查發現，當橙子售價為18元/千克時，每天能售出120千克，售價每降低1元，每天可多售出15千克，為了減少庫存，該店決定降價促銷，已知該橙子的平均成本價為8元/千克，若使銷售該種橙子每天獲利840元，則售價應降低多少元？
18．（2024九上·南山期中）如圖，在四邊形中，，分別是邊上的點，連接交于點，．添加下列條件之一使四邊形成為菱形：①；②．
（1）你添加的條件是______（填序號），并證明．
（2）在（1）的條件下，連接，若，求菱形的面積．
19．（2024九上·南山期中）根據以下素材，完成設計貨船通過雙曲線橋的方案：一座曲線橋如圖1所示，當水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于對稱．如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數表達式．
（1）問題解決：確定橋洞的形狀．
建立平面直角坐標系如圖3所示，落在第一象限的角平分線上．設點C為，
①點A的坐標為______．（用m的代數式表示）；
②求出經過點A的雙曲線的函數表達式．
（2）探索應用：
這艘貨船運載貨物高3米（即米），此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（已知，．）
20．（2024九上·南山期中）綜合與實踐課上，徐老師和同學們開展了一場以“最小值”為主題的探究活動．
【提出問題】徐老師提出了一個問題：如圖1，在矩形中，，，P為邊上的一動點，以為邊向右作等邊，連接，如何求的最小值？
【探究發現】小亮發現：如圖4所示，以為邊向下構造一個等邊，便可得到，進而將的最小值轉化為的最小值的問題．
（1）按照小明的想法，求證：；并求出的最小值．
【拓展應用】
（2）小剛受此啟發，舉一反三，提出新問題：如圖2，若將圖1當中構造的等邊三角形，改為以為邊向右構造正方形，在運動過程中，求出的最小值．
（3）小紅同學深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3，若將圖2當中構造的正方形改為以為邊向右構造菱形，使，也可求得的最小值．請你直接寫出最小值為______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：由題意可得：
m-2≠0，解得：m≠2
故答案為：A
【分析】根據一元二次方程的定義即可求出答案.
2．【答案】C
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：的俯視圖是，
故答案為：C．
【分析】
根據三視圖的定義： 從物體的上方垂直投影到水平投影面上所得到的視圖，主要反映物體的長度和寬度， 解答即可．
3．【答案】C
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：如圖，過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，
，
則，
線段，
，
，
故答案為：C
【分析】過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，根據平行線分線段成比例定理即可求出答案.
4．【答案】D
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：根據平行投影的定義可知，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是：
故答案為：D．
【分析】
根據平行投影的定義：平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影.在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化，逐一判斷即可解答.
5．【答案】A
【知識點】黃金分割
【解析】【解答】解：雕像的腰部以下與全身的高度比值接近，米，
，
米，
的值約為米；
故答案為：A．
【分析】
根據黃金分割的定義是：將一條線段分成兩部分，使得其中較長部分與整條線段的比值等于較短部分與較長部分的比值 ．即可由題意得到，米，計算即可求出的值，解答即可．
6．【答案】A
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設入口的寬度為x m，由題意得：
（30-2x）（20-x）=468．
故選：A．
【分析】設入口的寬度為x m，根據余田的面積為468列出方程即可．
7．【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：當時，b=1＞0，可知的圖象過一二三象限，的圖象過一三象限；
當時，b=1＞0，可知的圖象過一二四象限，的圖象過二四象限，
∴時，選項D中的圖象符合題意.
故答案為：D．
【分析】由一次函數的圖象和性質可知：當時，b=1＞0，可知的圖象過一二三象限，的圖象過一三象限；當時，b=1＞0，可知的圖象過一二四象限，的圖象過二四象限，結合各選項即可判斷求解．
8．【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】.解：當時，的長度最小，
∵四邊形是正方形，
∴，．
∵是等邊三角形，
∴，．
三點在一條直線上，
∴，
∴，
．
在中，
∴．
故答案為：B．
【分析】
根據正方形和等邊三角形的性質得到，DF的長度，利用平角的定義求出，再利用含所對的直角邊等于斜邊的一半求出，再由勾股定理求出，再利用來求解，解答即可．
9．【答案】，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴或x-6=0
解得：x=0或x=6
∴方程的解為，
故答案為：，
【分析】移項，提公因式進行因式分解，再解方程即可求出答案.
10．【答案】1000
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：設魚塘中有魚x條，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，為原方程的解，
所以估計魚塘中約有1000條魚，
故答案為：1000．
【分析】設魚塘中有魚x條，利用頻率估計概率得到，解方程即可求出答案.
11．【答案】14
【知識點】相似三角形的實際應用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意知，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案為：．
【分析】
先利用AA證明，再根據相似三角形的性質得到，即，計算求解即可解答．
12．【答案】11
【知識點】三角形的面積；長方體的頂點、棱、面的特點；三角形的高
【解析】【解答】解：連接
∵三角形和三角形等高不等底，則其面積比就等于對應底的比，且
∴
∵三角形和三角形等高不等底
∴
∵三角形和三角形等高，同底
∴
∴
∵
即
∴
則
答：四邊形的面積是11平方厘米．
故答案為：11.
【分析】
由題意可知：三角形和三角形等高不等底，則其面積比就等于對應底的比，即，再推出，則，即可求出三角形的面積，又因三角形與三角形的面積和是長方形的面積的一半，從而可以求出四邊形的面積，由此解答即可．
13．【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-AAS；同側一線三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如圖，連接，作軸于，軸于，
∵點、點是正比例函數圖象與雙曲線的交點，
∴點與點關于原點對稱，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
設點坐標為，則，，
∴點坐標為，
∵，
∴點在反比例函數圖象上．
故答案為：．
【分析】
連接，作軸于，軸于，利用反比例函數的性質和等腰直角三角形的性質，根據“”可判定，設點坐標為，得出，，最后根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定函數解析式，解答即可．
14．【答案】（1）解：∵方程有兩個實數根，并且
（2）解：是方程的兩個根
解得：或
又
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數根，判別式b2-4ac的值大于零，據此求解；
（2）根據根與系數的關系得到，，代入已知等式中建立關于m的方程，求出m值即可．
15．【答案】（1）解：200，
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人），
∴該校參加環保調查學生人數約為810人；
（3）解：根據題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）結合兩幅圖可得：（人），
∴本次調查總人數為200；
∵（人），
∴喜歡自制地球儀的有50人；
故答案為：200；
【分析】
（1）根據選擇B類的學生人數和所占百分比，求出調查總人數，再求出選擇D類的學生人數，補全條形統計圖即可；
（2）用學校人數2700乘以選擇C類的學生人數的占比，計算即可求解；
（3）利用畫樹狀圖法畫出圖形，得到共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，再利用概率公式求解即可解答．
（1）解：結合兩幅圖可得：（人），
∴本次調查總人數為200；
∵（人），
∴喜歡自制地球儀的有50人；
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人），
∴該校參加環保調查學生人數約為810人；
（3）解：根據題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
16．【答案】（1）解：如圖，即為所求．
（2）6
（3）或
【知識點】點的坐標；三角形的面積；等腰三角形的判定；作圖﹣位似變換；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：（2）∵，，
∴，
則，
故答案為：6；
（3）∵是以為底邊的等腰直角三角形，
∴點在的垂直平分線上，
方法一：結合圖形可知點的坐標為或；
方法二：如圖，是等腰直角三角形，
∴，，
過點作軸，，，
則，，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，則，
又∵，
∴，
∴，同理可得，
即點的坐標為或；
故答案為：或．
【分析】
（1）把點，，的橫縱坐標都乘以得到點、、的坐標，然后描點畫出圖形即可解答；
（2）根據三角形的面積公式求解即可；
（3）根據三角形的性質及位似變換的性質：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為那么位似圖形對應點的坐標的比等于或由題意可知，點在的垂直平分線上，方法一：結合圖形可知點的坐標；方法二：過點作軸，，，結合等腰三角形得性質，利用邊的長度即可求解點的坐標；解答即可．
（1）解：如圖，即為所求．
（2）∵，，
∴，
則，
故答案為：6；
（3）∵是以為底邊的等腰直角三角形，
∴點在的垂直平分線上，
方法一：結合圖形可知點的坐標為或；
方法二：如圖，是等腰直角三角形，
∴，，
過點作軸，，，
則，，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，則，
又∵，
∴，
∴，同理可得，
即點的坐標為或；
故答案為：或．
17．【答案】（1）解：設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為；
（2）解：設售價應降價y元，則每千克的銷售利潤為元，每天能售出千克，
根據題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：售價應降低6元．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，由題意得：，解方程即可求出答案.
（2）設降價y元，則每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天銷售獲得的總利潤＝每件千克的銷售利潤×每天的銷售量，構造方程，解方程即可求出答案.
（1）解：設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為；
（2）解：設售價應降價y元，則每千克的銷售利潤為元，每天能售出千克，
根據題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：售價應降低6元．
18．【答案】（1）解：添加條件②，證明如下；
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：由菱形的性質可知，，如圖，
∵，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴菱形的面積為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）添加條件②，由，證明四邊形是平行四邊形，證明，則，進而可證四邊形是菱形，解答即可；
（2）由菱形的性質可知，，再由勾股定理得，，計算解得，進而可求的值，根據，計算求解即可．
（1）解：添加條件②，證明如下；
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：由菱形的性質可知，，如圖，
∵，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴菱形的面積為．
19．【答案】（1）解：①；
②設雙曲線接解析式為，
把，代入得
∴
解得，，
∴點A在雙曲線上；
（2）解：由（1）可求：，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設和交于點，過作軸于，過作軸于，則，
若能恰好通過，則，在雙曲線上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴點，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高載貨2.8米
∵，
∴此船不能通過，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用；勾股定理；矩形的判定與性質；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）①如圖，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，
∴，，
∵點C為，
∴，
∵落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關于對稱，即A、B關于第一象限角平分線對稱，，
∴點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∵過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：
【分析】
（1）①過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，根據落在第一象限的角平分線上，結合和作輔助線可得多個等腰直角三角形，即可表示出，解答即可；
②設雙曲線接解析式為，把，代入計算即可解答；
（2）求出當能恰好通過，則，在雙曲線上，此時設和交于點，過作軸于，過作軸于，由等腰直角三角形求出點，代入得，求出，即此船最高載貨2.8米，得到船身下降的高度，代入計算即可解答．
（1）解：①如圖，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，
∴，，
∵點C為，
∴，
∵落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關于對稱，即A、B關于第一象限角平分線對稱，，
∴點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∵過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②設雙曲線接解析式為，
把，代入得
∴
解得，，
∴點A在雙曲線上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設和交于點，過作軸于，過作軸于，則，
若能恰好通過，則，在雙曲線上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴點，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高載貨2.8米
∵，
∴此船不能通過，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
20．【答案】解：（1）如圖，過點M作于K，交于L，
∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，
∴
∴當最小時，最小，
∵M為定點，
∴當時，即點P與點K重合時，最小，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值為；
（2）如圖，以為邊向下作正方形，連接交于點O，連接，過點O作于，交于T，
∵四邊形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
當BG取得最小值時，最小，
∵點O為定點，
∴當時，即點P與點重合時，最小，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值為12，
∴的最小值為，
(3)
【知識點】垂線段最短及其應用；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（3）如圖，連接交于O，在下方作射線、射線，使，射線、射線交于點Q，過點Q作于，交于K，連接，
∵四邊形是菱形，，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當取得最小值時，最小，
∵點Q為定點，
∴當，即點P與點重合時，最小，
由（2）知：，
∴，
∴的最小值．
故答案為：.
【分析】
（1）過點作于，交于，可證得，得出，由為定點，可得當時，即點與點重合時，最小，再利用解直角三角形求得即可解答；
（2）以為邊向下作正方形，連接、交于點，連接，，過點作于，交于，可推出，，證得，得出，即，故當取得最小值時，最小，利用解直角三角形求得，進而可求得的最小值，解答即可；
（3）連接、交于，在下方作射線、射線，使，射線、射線交于點，過點作于，交于，連接，可證得，得出，即，故當取得最小值時，最小，由點為定點，可得當，即點與點重合時，最小，運用解直角三角形即可求得答案，解答即可．
1 / 1廣東省深圳市南山實驗教育集團麒麟中學2024-2025學年九年級上學期期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2024九上·南山期中）若關于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C．且 D．m為任何實數
【答案】A
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：由題意可得：
m-2≠0，解得：m≠2
故答案為：A
【分析】根據一元二次方程的定義即可求出答案.
2．（2024九上·南山期中）如圖所示的幾何體的俯視圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：的俯視圖是，
故答案為：C．
【分析】
根據三視圖的定義： 從物體的上方垂直投影到水平投影面上所得到的視圖，主要反映物體的長度和寬度， 解答即可．
3．（2024九上·南山期中）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長是（　?。?br/>A． B． C．1 D．
【答案】C
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：如圖，過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，
，
則，
線段，
，
，
故答案為：C
【分析】過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，根據平行線分線段成比例定理即可求出答案.
4．（2024九上·南山期中）平地上立有三根等高的木桿，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：根據平行投影的定義可知，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是：
故答案為：D．
【分析】
根據平行投影的定義：平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影.在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化，逐一判斷即可解答.
5．（2024九上·南山期中）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知識點】黃金分割
【解析】【解答】解：雕像的腰部以下與全身的高度比值接近，米，
，
米，
的值約為米；
故答案為：A．
【分析】
根據黃金分割的定義是：將一條線段分成兩部分，使得其中較長部分與整條線段的比值等于較短部分與較長部分的比值 ．即可由題意得到，米，計算即可求出的值，解答即可．
6．（2024九上·南山期中）在長為，寬為的長方形田地中開辟三條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度．設道路的寬度為，則可列方程（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設入口的寬度為x m，由題意得：
（30-2x）（20-x）=468．
故選：A．
【分析】設入口的寬度為x m，根據余田的面積為468列出方程即可．
7．（2024九上·南山期中）已知一次函數與反比例函數，則其圖像可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：當時，b=1＞0，可知的圖象過一二三象限，的圖象過一三象限；
當時，b=1＞0，可知的圖象過一二四象限，的圖象過二四象限，
∴時，選項D中的圖象符合題意.
故答案為：D．
【分析】由一次函數的圖象和性質可知：當時，b=1＞0，可知的圖象過一二三象限，的圖象過一三象限；當時，b=1＞0，可知的圖象過一二四象限，的圖象過二四象限，結合各選項即可判斷求解．
8．（2024九上·南山期中）如圖所示，在正方形與等邊中，三點在一條直線上，且，．若有一動點沿著由往移動，則當的長度最小時，的長為（　?。?br/>A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】.解：當時，的長度最小，
∵四邊形是正方形，
∴，．
∵是等邊三角形，
∴，．
三點在一條直線上，
∴，
∴，
．
在中，
∴．
故答案為：B．
【分析】
根據正方形和等邊三角形的性質得到，DF的長度，利用平角的定義求出，再利用含所對的直角邊等于斜邊的一半求出，再由勾股定理求出，再利用來求解，解答即可．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·南山期中）一元二次方程的解是　 ?。?br/>【答案】，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴或x-6=0
解得：x=0或x=6
∴方程的解為，
故答案為：，
【分析】移項，提公因式進行因式分解，再解方程即可求出答案.
10．（2024九上·南山期中）為了估計魚塘中魚的數量，養魚者先從魚塘中捕獲100條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放回魚塘，一段時間后再從魚塘中打撈魚，通過多次試驗后發現捕撈的魚中有記號的頻率穩定在0.1左右，則魚塘中估計有約　 　條．
【答案】1000
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：設魚塘中有魚x條，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，為原方程的解，
所以估計魚塘中約有1000條魚，
故答案為：1000．
【分析】設魚塘中有魚x條，利用頻率估計概率得到，解方程即可求出答案.
11．（2024九上·南山期中）如圖，實踐課上，小宇設計用光學原理來測量公園假山的高度，把一面鏡子放在與假山距離為米的B處，然后沿著射線退后到點E，這時恰好在鏡子里看到山頭A，利用皮尺測量米，若小宇的眼睛到地面的距離為米，則假山高度為　 　米．
【答案】14
【知識點】相似三角形的實際應用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意知，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案為：．
【分析】
先利用AA證明，再根據相似三角形的性質得到，即，計算求解即可解答．
12．（2024九上·南山期中）如圖，將長方形分成四塊，的面積是，的面積是，則四邊形的面積是　 　平方厘米．
【答案】11
【知識點】三角形的面積；長方體的頂點、棱、面的特點；三角形的高
【解析】【解答】解：連接
∵三角形和三角形等高不等底，則其面積比就等于對應底的比，且
∴
∵三角形和三角形等高不等底
∴
∵三角形和三角形等高，同底
∴
∴
∵
即
∴
則
答：四邊形的面積是11平方厘米．
故答案為：11.
【分析】
由題意可知：三角形和三角形等高不等底，則其面積比就等于對應底的比，即，再推出，則，即可求出三角形的面積，又因三角形與三角形的面積和是長方形的面積的一半，從而可以求出四邊形的面積，由此解答即可．
13．（2024九上·南山期中）如圖，點是雙曲線在第一象限上的一動點，連接并延長交另一分支于點，以為斜邊作等腰，點在第二象限，隨著點的運動，點的位置也不斷的變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-AAS；同側一線三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如圖，連接，作軸于，軸于，
∵點、點是正比例函數圖象與雙曲線的交點，
∴點與點關于原點對稱，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
設點坐標為，則，，
∴點坐標為，
∵，
∴點在反比例函數圖象上．
故答案為：．
【分析】
連接，作軸于，軸于，利用反比例函數的性質和等腰直角三角形的性質，根據“”可判定，設點坐標為，得出，，最后根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定函數解析式，解答即可．
三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2024九上·南山期中）關于x的一元二次方程有兩個實數根，并且．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）滿足，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程有兩個實數根，并且
（2）解：是方程的兩個根
解得：或
又
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數根，判別式b2-4ac的值大于零，據此求解；
（2）根據根與系數的關系得到，，代入已知等式中建立關于m的方程，求出m值即可．
15．（2024九上·南山期中）10月8日，麒麟中學“第二十四屆科技節”隆重開幕，當天舉行了豐富多彩的活動，A．三階6面魔方挑戰賽；B．科技知識競賽；C．環保調查；D．自制地球儀；E．機器人編程挑戰賽．為了解學生對這五類活動的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計（每位學生必選且只能選一類），并根據調查結果，繪制了兩幅不完整的統計圖如圖所示．
AI
根據上述信息，解決下列問題．
（1）本次調查總人數為______，并補全條形統計圖（要求在條形圖上方注明人數）；
（2）我校有2700名學生，請估計該校參加環保調查的學生人數；
（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學生中隨機抽取2名學生參加市環保調查，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：200，
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人），
∴該校參加環保調查學生人數約為810人；
（3）解：根據題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）結合兩幅圖可得：（人），
∴本次調查總人數為200；
∵（人），
∴喜歡自制地球儀的有50人；
故答案為：200；
【分析】
（1）根據選擇B類的學生人數和所占百分比，求出調查總人數，再求出選擇D類的學生人數，補全條形統計圖即可；
（2）用學校人數2700乘以選擇C類的學生人數的占比，計算即可求解；
（3）利用畫樹狀圖法畫出圖形，得到共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，再利用概率公式求解即可解答．
（1）解：結合兩幅圖可得：（人），
∴本次調查總人數為200；
∵（人），
∴喜歡自制地球儀的有50人；
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人），
∴該校參加環保調查學生人數約為810人；
（3）解：根據題意畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生有8種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
16．（2024九上·南山期中）如圖，中，，，．
（1）以O為位似中心，將縮小為原來的，得到，請在y軸右側畫出．
（2）的面積為______．
（3）在網格中找一點D，使得是以為底邊的等腰直角三角形，則點D的坐標為______．
【答案】（1）解：如圖，即為所求．
（2）6
（3）或
【知識點】點的坐標；三角形的面積；等腰三角形的判定；作圖﹣位似變換；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：（2）∵，，
∴，
則，
故答案為：6；
（3）∵是以為底邊的等腰直角三角形，
∴點在的垂直平分線上，
方法一：結合圖形可知點的坐標為或；
方法二：如圖，是等腰直角三角形，
∴，，
過點作軸，，，
則，，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，則，
又∵，
∴，
∴，同理可得，
即點的坐標為或；
故答案為：或．
【分析】
（1）把點，，的橫縱坐標都乘以得到點、、的坐標，然后描點畫出圖形即可解答；
（2）根據三角形的面積公式求解即可；
（3）根據三角形的性質及位似變換的性質：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為那么位似圖形對應點的坐標的比等于或由題意可知，點在的垂直平分線上，方法一：結合圖形可知點的坐標；方法二：過點作軸，，，結合等腰三角形得性質，利用邊的長度即可求解點的坐標；解答即可．
（1）解：如圖，即為所求．
（2）∵，，
∴，
則，
故答案為：6；
（3）∵是以為底邊的等腰直角三角形，
∴點在的垂直平分線上，
方法一：結合圖形可知點的坐標為或；
方法二：如圖，是等腰直角三角形，
∴，，
過點作軸，，，
則，，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，則，
又∵，
∴，
∴，同理可得，
即點的坐標為或；
故答案為：或．
17．（2024九上·南山期中）云南某地一村民，2021年承包種植橙子樹200畝，由于第一年收成不錯，該村民每年都增加種植面積，到2023年共種植288畝．假設每年的增長率相同．
（1）求該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率．
（2）某水果批發店銷售該種橙子，市場調查發現，當橙子售價為18元/千克時，每天能售出120千克，售價每降低1元，每天可多售出15千克，為了減少庫存，該店決定降價促銷，已知該橙子的平均成本價為8元/千克，若使銷售該種橙子每天獲利840元，則售價應降低多少元？
【答案】（1）解：設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為；
（2）解：設售價應降價y元，則每千克的銷售利潤為元，每天能售出千克，
根據題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：售價應降低6元．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，由題意得：，解方程即可求出答案.
（2）設降價y元，則每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天銷售獲得的總利潤＝每件千克的銷售利潤×每天的銷售量，構造方程，解方程即可求出答案.
（1）解：設該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為x，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該村民這兩年種植橙子畝數的平均增長率為；
（2）解：設售價應降價y元，則每千克的銷售利潤為元，每天能售出千克，
根據題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：售價應降低6元．
18．（2024九上·南山期中）如圖，在四邊形中，，分別是邊上的點，連接交于點，．添加下列條件之一使四邊形成為菱形：①；②．
（1）你添加的條件是______（填序號），并證明．
（2）在（1）的條件下，連接，若，求菱形的面積．
【答案】（1）解：添加條件②，證明如下；
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：由菱形的性質可知，，如圖，
∵，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴菱形的面積為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）添加條件②，由，證明四邊形是平行四邊形，證明，則，進而可證四邊形是菱形，解答即可；
（2）由菱形的性質可知，，再由勾股定理得，，計算解得，進而可求的值，根據，計算求解即可．
（1）解：添加條件②，證明如下；
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：由菱形的性質可知，，如圖，
∵，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴菱形的面積為．
19．（2024九上·南山期中）根據以下素材，完成設計貨船通過雙曲線橋的方案：一座曲線橋如圖1所示，當水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于對稱．如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數表達式．
（1）問題解決：確定橋洞的形狀．
建立平面直角坐標系如圖3所示，落在第一象限的角平分線上．設點C為，
①點A的坐標為______．（用m的代數式表示）；
②求出經過點A的雙曲線的函數表達式．
（2）探索應用：
這艘貨船運載貨物高3米（即米），此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（已知，．）
【答案】（1）解：①；
②設雙曲線接解析式為，
把，代入得
∴
解得，，
∴點A在雙曲線上；
（2）解：由（1）可求：，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設和交于點，過作軸于，過作軸于，則，
若能恰好通過，則，在雙曲線上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴點，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高載貨2.8米
∵，
∴此船不能通過，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用；勾股定理；矩形的判定與性質；線段的和、差、倍、分的簡單計算
【解析】【解答】解：（1）①如圖，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，
∴，，
∵點C為，
∴，
∵落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關于對稱，即A、B關于第一象限角平分線對稱，，
∴點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∵過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：
【分析】
（1）①過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，根據落在第一象限的角平分線上，結合和作輔助線可得多個等腰直角三角形，即可表示出，解答即可；
②設雙曲線接解析式為，把，代入計算即可解答；
（2）求出當能恰好通過，則，在雙曲線上，此時設和交于點，過作軸于，過作軸于，由等腰直角三角形求出點，代入得，求出，即此船最高載貨2.8米，得到船身下降的高度，代入計算即可解答．
（1）解：①如圖，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F，交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，
∴，，
∵點C為，
∴，
∵落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關于對稱，即A、B關于第一象限角平分線對稱，，
∴點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∵過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②設雙曲線接解析式為，
把，代入得
∴
解得，，
∴點A在雙曲線上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設和交于點，過作軸于，過作軸于，則，
若能恰好通過，則，在雙曲線上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴點，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高載貨2.8米
∵，
∴此船不能通過，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
20．（2024九上·南山期中）綜合與實踐課上，徐老師和同學們開展了一場以“最小值”為主題的探究活動．
【提出問題】徐老師提出了一個問題：如圖1，在矩形中，，，P為邊上的一動點，以為邊向右作等邊，連接，如何求的最小值？
【探究發現】小亮發現：如圖4所示，以為邊向下構造一個等邊，便可得到，進而將的最小值轉化為的最小值的問題．
（1）按照小明的想法，求證：；并求出的最小值．
【拓展應用】
（2）小剛受此啟發，舉一反三，提出新問題：如圖2，若將圖1當中構造的等邊三角形，改為以為邊向右構造正方形，在運動過程中，求出的最小值．
（3）小紅同學深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3，若將圖2當中構造的正方形改為以為邊向右構造菱形，使，也可求得的最小值．請你直接寫出最小值為______．
【答案】解：（1）如圖，過點M作于K，交于L，
∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，
∴
∴當最小時，最小，
∵M為定點，
∴當時，即點P與點K重合時，最小，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值為；
（2）如圖，以為邊向下作正方形，連接交于點O，連接，過點O作于，交于T，
∵四邊形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
當BG取得最小值時，最小，
∵點O為定點，
∴當時，即點P與點重合時，最小，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值為12，
∴的最小值為，
(3)
【知識點】垂線段最短及其應用；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（3）如圖，連接交于O，在下方作射線、射線，使，射線、射線交于點Q，過點Q作于，交于K，連接，
∵四邊形是菱形，，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當取得最小值時，最小，
∵點Q為定點，
∴當，即點P與點重合時，最小，
由（2）知：，
∴，
∴的最小值．
故答案為：.
【分析】
（1）過點作于，交于，可證得，得出，由為定點，可得當時，即點與點重合時，最小，再利用解直角三角形求得即可解答；
（2）以為邊向下作正方形，連接、交于點，連接，，過點作于，交于，可推出，，證得，得出，即，故當取得最小值時，最小，利用解直角三角形求得，進而可求得的最小值，解答即可；
（3）連接、交于，在下方作射線、射線，使，射線、射線交于點，過點作于，交于，連接，可證得，得出，即，故當取得最小值時，最小，由點為定點，可得當，即點與點重合時，最小，運用解直角三角形即可求得答案，解答即可．
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