資源簡介

廣東省深圳市福田區(qū)西交利物浦大學(xué)基礎(chǔ)教育集團(tuán)外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2024九上·福田期中）如圖所示的幾何體，它的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·福田期中）如果2是方程的一個(gè)根，則常數(shù)的值為（　　）
A． B．4 C．2 D．
3．（2024九上·福田期中）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
4．（2024九上·福田期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，兩個(gè)“E”字是位似圖形，位似中心點(diǎn)O，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1．點(diǎn)P（﹣6，9）在①號“E”上，則點(diǎn)P在②號“E”上的對應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
5．（2024九上·福田期中）已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則的取值可以是（　　）
A．-2 B．1 C．2 D．3
6．（2024九上·福田期中）如圖，小聰在作線段的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，則直線即所求．根據(jù)他的作圖方法，可知四邊形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四邊形
7．（2024九上·福田期中）“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進(jìn)館閱讀人次逐月增加，第一個(gè)月進(jìn)館人次，前三個(gè)月累計(jì)進(jìn)館人次，若進(jìn)館人次的月增長率相同，求進(jìn)館人次的月增長率．設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·福田期中）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2，今有井直徑為5尺，不知其深，立5尺長的木于井上，從木的末端E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測得“入徑”為4寸，問井深是多少？（其中1尺寸）”根據(jù)譯文信息，則井深為（　　）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·福田期中）已知，則的值為　 　．
10．（2024九上·福田期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為　 　.
11．（2024九上·福田期中）如圖，三個(gè)氣球分別被三根繩子系住，繩子一同穿過封閉的紙筒，另一端固定在木板上，無法判斷繩子在紙筒中糾纏情況，隨機(jī)解開木板上兩根繩子，能取下氣球C的概率是　 　．
12．（2024九上·福田期中）如圖，中，為上一點(diǎn)，，，，則　 　．
13．（2024九上·福田期中）如圖，已知，在矩形中，，分別以所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（）的圖象與邊交于點(diǎn)E，將沿對折后，C點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)D處，則k的值為　 　．
三、解答題（共7小題，共61分）
14．（2024九上·福田期中）解方程： ；
15．（2024九上·福田期中）現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明的袋子，分別裝有3個(gè)小球（每個(gè)袋中的小球除顏色外，其他完全相同）．A袋裝有1個(gè)白球，2個(gè)紅球；B袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球．
（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出的小球是紅球的概率為______；
（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，并設(shè)計(jì)了如下規(guī)則：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．若甲、乙兩人摸到的小球顏色相同，則甲獲勝；若顏色不同，則乙獲勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由）
16．（2024九上·福田期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，給出了格點(diǎn)（頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上），已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
（1）畫出關(guān)于y軸對稱的；
（2）以點(diǎn)O為位似中心，在給定的網(wǎng)格中畫出，使與位似，并且點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）與的相似比是____．
17．（2024九上·福田期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
素材1 泥塑，俗稱“彩塑”，泥塑藝術(shù)是中國民間傳統(tǒng)的一種古老常見的民間藝術(shù)．某泥塑作坊制作泥塑進(jìn)行銷修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本為30元/件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，該泥塑每月的銷售量m（件）與每件售價(jià)n（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系．
問題解決
任務(wù)1 求該泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑數(shù)量的月平均增長率；
任務(wù)2 為使月銷售利潤達(dá)到6000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該泥塑的售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？
18．（2024九上·福田期中）如圖，在中，過A點(diǎn)作，交的平分線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的長．
19．（2024九上·福田期中）換一個(gè)角度初看
華羅庚先生曾說過，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．這真實(shí)地刻畫了數(shù)形結(jié)合的互補(bǔ)性和不可分．例如：已知兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，？根據(jù)“代數(shù)”的思想要解一元二次不等式，比較麻煩．而利用數(shù)形結(jié)合思想，只要畫出圖象后觀察交點(diǎn)，就很好理解了．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_______．
換一個(gè)角度二看
我們定義：任意給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積都是原矩形的2倍，那么我們稱是的“加倍矩形”，是的“雙半矩形”．請你研究矩形是否存在“雙半矩形”．我們利用數(shù)形結(jié)合思想來解決方程問題．如圖2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中和分別表示矩形的“雙半矩形”的兩邊長．
（2）請你結(jié)合之前的研究，回答下列問題：
①這個(gè)圖象所研究的矩形的面積為_____，周長為_____．
②是否存在矩形的“雙半矩形”？如果存在，請求出的邊長；如果不存在，請說明理由．
（3）在第（2）問的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在以，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
20．（2024九上·福田期中）【定義】在內(nèi)有一點(diǎn)，連接，，．在所得的，，中，有且只有兩個(gè)三角形相似，則稱點(diǎn)為的相似心．
【應(yīng)用】
（1）如圖1，在的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請判斷點(diǎn)是否為的相似心．若是，請直接寫出相似的兩個(gè)三角形；若不是，請說明理由．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)分別為軸負(fù)半軸，軸正半軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，連接，設(shè)的外角平分線，交于點(diǎn)，延長，分別交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．
①的度數(shù)是_____
②求證：點(diǎn)為的相似心．
（3）圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，若點(diǎn)為的相似心，連接，直接寫出線段的長．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：圖中幾何體的主視圖是，
故答案為：A．
【分析】利用從正面看幾何體得到的圖形解答．
2．【答案】B
【知識點(diǎn)】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
∴；
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)元二次方程的根的定義把代入方程進(jìn)行求解即可解答．
3．【答案】B
【知識點(diǎn)】幾何概率；利用頻率估計(jì)概率；簡單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：∵經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，
∴點(diǎn)落在陰影部分的概率為，
故陰影部分的面積為20×0.6=12.
∴黑色陰影的面積為約12，
故答案為：B．
【分析】利用頻率估計(jì)概率的方法：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，故可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率．
4．【答案】A
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①號“E”與②號“E”是位似圖形，位似比為2：1，點(diǎn)P（﹣6，9），
∴點(diǎn)P在②號“E”上的對應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案為：A．
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)“如果兩個(gè)圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線上）”計(jì)算即可求解.
5．【答案】D
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象
【解析】【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，
∴，
∴，
的取值可以是3，
故答案為：D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得，再求出n的取值范圍即可。
6．【答案】B
【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：由作法可知，
根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，
可知四邊形一定是菱形．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)作法與菱形的判定可得四邊都相等的四邊形是菱形，由此解答即可．
7．【答案】D
【知識點(diǎn)】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程為，
故答案為：D．
【分析】設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，再根據(jù)第一個(gè)月的進(jìn)館人次加第二和第三個(gè)月的進(jìn)館人次等于，列方程即可解答．
8．【答案】D
【知識點(diǎn)】解分式方程；矩形的性質(zhì)；相似三角形的實(shí)際應(yīng)用；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：5尺寸，
設(shè)尺．
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案為：D．
【分析】
設(shè)尺，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，從而可得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到， 構(gòu)建方程計(jì)算即可解答.
9．【答案】
【知識點(diǎn)】分式的值；比例的性質(zhì)；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴設(shè)，，
，
故答案為：．
【分析】
設(shè)，，代入所求式子中求解即可解答.
10．【答案】10
【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程的根的情況求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵ 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
則4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案為：10.
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有，列方程，即可解出m的值.
11．【答案】
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：隨機(jī)解開木板上兩根繩子可能有三種等可能情形，
其中能取下氣球的有兩種，所以概率為．
故答案為：．
【分析】
根據(jù)解開木板上兩根繩子可能有三種等可能情形，再確定其中能取下氣球的有兩種，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可解答．
12．【答案】
【知識點(diǎn)】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案為：.
【分析】結(jié)合公共角∠A，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證△ADC∽△ACB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，從而代入數(shù)據(jù)可求AC的長．
13．【答案】
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定；翻折變換（折疊問題）；求余弦值
【解析】【解答】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，
∵，
∴設(shè)，，
∵矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
根據(jù)折疊性質(zhì)，；，
，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【分析】
過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)，；，利用勾股定理，三角函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可解答．
14．【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知識點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點(diǎn)，難以利用因式分解法求解，則可選用配方法求解，即先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，由于二次項(xiàng)次數(shù)為1，則直接給方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后兩邊同時(shí)開方，進(jìn)而可求解.
15．【答案】（1）
（2）解：這個(gè)游戲規(guī)則不公平．理由如下：
根據(jù)題意，列表如下：
紅1 紅2 白
白1 （白1，紅1） （白1，紅2） （白1，白）
白2 （白2，紅1） （白2，紅2） （白2，白）
紅 （紅，紅1） （紅，紅2） （紅，白）
由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有5種，顏色相同的結(jié)果有4種，
∴P（顏色不相同）=，P（顏色相同）=，
∵＜，
∴這個(gè)游戲規(guī)則不公平．
【知識點(diǎn)】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3種等可能結(jié)果，而摸出紅球的結(jié)果有2種，
∴P（摸出紅球）=，
故答案為：；
【分析】
（1）由概率公式計(jì)算即可解答；
（2）先列出表格，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有4種，顏色相同的結(jié)果有5種，由概率公式，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，計(jì)算即可解答．
16．【答案】（1）解：如圖所示：即為所求；
（2）如圖所示：即為所求；
（3）
【知識點(diǎn)】作圖﹣軸對稱；作圖﹣位似變換；坐標(biāo)與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
與的相似比，
故答案為：．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)和的坐標(biāo)特征得到位似比，然后將B1、C1的橫、縱坐標(biāo)乘以-2得到、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連接即可；
（3）根據(jù)位似三角形的相似比等于位似比解題即可．
（1）解：如圖所示：即為所求；
（2）如圖所示：即為所求；
（3），，
與的相似比，
故答案為：．
17．【答案】解：
任務(wù)1：設(shè)7月份到9月份制作泥塑數(shù)量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：7月份到9月份制作泥塑數(shù)的月平均增長率為．
任務(wù)2：該泥塑每件的售價(jià)為n元，則每件的銷售利潤為元，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，
又盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
．
該泥塑的售價(jià)應(yīng)定為50元/件．
【知識點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
任務(wù)1：設(shè)7月份到9月份制作泥塑數(shù)的平均增長率為x，利用9月份制作泥塑數(shù)=該車間7月份制作泥塑數(shù)該車間4月份到6月份制作泥塑數(shù)的平均增長率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程取其符合題意的值，解答即可；
任務(wù)2：該泥塑每件的售價(jià)為n元，則每件的銷售利潤為元，利用總利潤=每個(gè)的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再結(jié)合要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即可得到n的值，解答即可．
18．【答案】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；角平分線的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根據(jù)，，得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行加角平分線，得到，即可得證；
（2）證明，列出比例式，進(jìn)行求解即可解答．
（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】解：（1）；（2）①20，28；
②不存在，理由如下：
假設(shè)存在矩形，其邊長為，，
同理可得：，，
則存在方程：，
，
∴方程無解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由如下：
聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得：，
解得：或5，
即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、；
設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)為對角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
，
解得：，即點(diǎn)；
當(dāng)或?yàn)閷蔷€時(shí)，
同理可得：或，
解得：或，
即點(diǎn)或；
綜上，或或．
【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；點(diǎn)的坐標(biāo)；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)系中的中點(diǎn)公式
【解析】【解答】解：（1）聯(lián)立和得：，
解得：或5，
觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故答案為：；
（2）①設(shè)矩形的邊長分別為：，，
由題意得：且，
而，，
則，，
故周長為28，面積為20，
故答案為：20，28；
【分析】
（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，計(jì)算得出圖象的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象，即可求解；
（2）①由題意得：且，即可求解；
②假設(shè)存在矩形，其邊長為，，同理可得：，，則存在方程：，而方程無解，即可求解；
（3）當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，計(jì)算即可求解；當(dāng)或?yàn)閷蔷€時(shí)，同樣的方法求解即可解答．
20．【答案】（1）點(diǎn)是的相似心，相似三角形為．
（2）解：①；
②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，如圖，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴點(diǎn)O為的相似心；
（3）或
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：（1）由圖可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能證明，
故答案為：點(diǎn)是的相似心，且相似三角形為；
（2）①根據(jù)題意得：，
∴，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴；
（3）如圖，延長至點(diǎn)F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵點(diǎn)M在的圖象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵為直角三角形，
∴．
分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
設(shè)，則，
過點(diǎn)G作，垂足為點(diǎn)D，如圖，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去負(fù)值），
∴；
（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
與（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，此時(shí)點(diǎn)E在斜邊上，也不成立．
綜上可知或．
故答案為：或.
【分析】
（1）根據(jù)勾股定理可求出三個(gè)三角形的邊長，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似解答即可；
（2）①根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得，從而得出答案；②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，證明即可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合相似心的定義求出，再分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形，（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形和（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形，每一種情形再分對應(yīng)角分別考慮，解答即可．
（1）解：由圖可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能證明，
故點(diǎn)是的相似心，且相似三角形為；
（2）解：①根據(jù)題意得：，
∴，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴；
②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，如圖，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴點(diǎn)O為的相似心；
（3）解：如圖，延長至點(diǎn)F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵點(diǎn)M在的圖象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵為直角三角形，
∴．
分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
設(shè)，則，
過點(diǎn)G作，垂足為點(diǎn)D，如圖，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去負(fù)值），
∴；
（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
與（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，此時(shí)點(diǎn)E在斜邊上，也不成立．
綜上可知或．
1 / 1廣東省深圳市福田區(qū)西交利物浦大學(xué)基礎(chǔ)教育集團(tuán)外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2024九上·福田期中）如圖所示的幾何體，它的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：圖中幾何體的主視圖是，
故答案為：A．
【分析】利用從正面看幾何體得到的圖形解答．
2．（2024九上·福田期中）如果2是方程的一個(gè)根，則常數(shù)的值為（　　）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
∴；
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)元二次方程的根的定義把代入方程進(jìn)行求解即可解答．
3．（2024九上·福田期中）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【知識點(diǎn)】幾何概率；利用頻率估計(jì)概率；簡單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解：∵經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，
∴點(diǎn)落在陰影部分的概率為，
故陰影部分的面積為20×0.6=12.
∴黑色陰影的面積為約12，
故答案為：B．
【分析】利用頻率估計(jì)概率的方法：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，故可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率．
4．（2024九上·福田期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，兩個(gè)“E”字是位似圖形，位似中心點(diǎn)O，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1．點(diǎn)P（﹣6，9）在①號“E”上，則點(diǎn)P在②號“E”上的對應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①號“E”與②號“E”是位似圖形，位似比為2：1，點(diǎn)P（﹣6，9），
∴點(diǎn)P在②號“E”上的對應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案為：A．
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)“如果兩個(gè)圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線上）”計(jì)算即可求解.
5．（2024九上·福田期中）已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則的取值可以是（　　）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象
【解析】【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，
∴，
∴，
的取值可以是3，
故答案為：D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得，再求出n的取值范圍即可。
6．（2024九上·福田期中）如圖，小聰在作線段的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，則直線即所求．根據(jù)他的作圖方法，可知四邊形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四邊形
【答案】B
【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：由作法可知，
根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，
可知四邊形一定是菱形．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)作法與菱形的判定可得四邊都相等的四邊形是菱形，由此解答即可．
7．（2024九上·福田期中）“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進(jìn)館閱讀人次逐月增加，第一個(gè)月進(jìn)館人次，前三個(gè)月累計(jì)進(jìn)館人次，若進(jìn)館人次的月增長率相同，求進(jìn)館人次的月增長率．設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程為，
故答案為：D．
【分析】設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，再根據(jù)第一個(gè)月的進(jìn)館人次加第二和第三個(gè)月的進(jìn)館人次等于，列方程即可解答．
8．（2024九上·福田期中）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2，今有井直徑為5尺，不知其深，立5尺長的木于井上，從木的末端E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測得“入徑”為4寸，問井深是多少？（其中1尺寸）”根據(jù)譯文信息，則井深為（　　）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
【答案】D
【知識點(diǎn)】解分式方程；矩形的性質(zhì)；相似三角形的實(shí)際應(yīng)用；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：5尺寸，
設(shè)尺．
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案為：D．
【分析】
設(shè)尺，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，從而可得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到， 構(gòu)建方程計(jì)算即可解答.
二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·福田期中）已知，則的值為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】分式的值；比例的性質(zhì)；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴設(shè)，，
，
故答案為：．
【分析】
設(shè)，，代入所求式子中求解即可解答.
10．（2024九上·福田期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為　 　.
【答案】10
【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程的根的情況求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵ 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
則4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案為：10.
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有，列方程，即可解出m的值.
11．（2024九上·福田期中）如圖，三個(gè)氣球分別被三根繩子系住，繩子一同穿過封閉的紙筒，另一端固定在木板上，無法判斷繩子在紙筒中糾纏情況，隨機(jī)解開木板上兩根繩子，能取下氣球C的概率是　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：隨機(jī)解開木板上兩根繩子可能有三種等可能情形，
其中能取下氣球的有兩種，所以概率為．
故答案為：．
【分析】
根據(jù)解開木板上兩根繩子可能有三種等可能情形，再確定其中能取下氣球的有兩種，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可解答．
12．（2024九上·福田期中）如圖，中，為上一點(diǎn)，，，，則　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案為：.
【分析】結(jié)合公共角∠A，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證△ADC∽△ACB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，從而代入數(shù)據(jù)可求AC的長．
13．（2024九上·福田期中）如圖，已知，在矩形中，，分別以所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（）的圖象與邊交于點(diǎn)E，將沿對折后，C點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)D處，則k的值為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定；翻折變換（折疊問題）；求余弦值
【解析】【解答】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，
∵，
∴設(shè)，，
∵矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
根據(jù)折疊性質(zhì)，；，
，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【分析】
過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)，；，利用勾股定理，三角函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可解答．
三、解答題（共7小題，共61分）
14．（2024九上·福田期中）解方程： ；
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知識點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點(diǎn)，難以利用因式分解法求解，則可選用配方法求解，即先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，由于二次項(xiàng)次數(shù)為1，則直接給方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后兩邊同時(shí)開方，進(jìn)而可求解.
15．（2024九上·福田期中）現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明的袋子，分別裝有3個(gè)小球（每個(gè)袋中的小球除顏色外，其他完全相同）．A袋裝有1個(gè)白球，2個(gè)紅球；B袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球．
（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出的小球是紅球的概率為______；
（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，并設(shè)計(jì)了如下規(guī)則：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．若甲、乙兩人摸到的小球顏色相同，則甲獲勝；若顏色不同，則乙獲勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由）
【答案】（1）
（2）解：這個(gè)游戲規(guī)則不公平．理由如下：
根據(jù)題意，列表如下：
紅1 紅2 白
白1 （白1，紅1） （白1，紅2） （白1，白）
白2 （白2，紅1） （白2，紅2） （白2，白）
紅 （紅，紅1） （紅，紅2） （紅，白）
由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有5種，顏色相同的結(jié)果有4種，
∴P（顏色不相同）=，P（顏色相同）=，
∵＜，
∴這個(gè)游戲規(guī)則不公平．
【知識點(diǎn)】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3種等可能結(jié)果，而摸出紅球的結(jié)果有2種，
∴P（摸出紅球）=，
故答案為：；
【分析】
（1）由概率公式計(jì)算即可解答；
（2）先列出表格，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有4種，顏色相同的結(jié)果有5種，由概率公式，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，計(jì)算即可解答．
16．（2024九上·福田期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，給出了格點(diǎn)（頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上），已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
（1）畫出關(guān)于y軸對稱的；
（2）以點(diǎn)O為位似中心，在給定的網(wǎng)格中畫出，使與位似，并且點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）與的相似比是____．
【答案】（1）解：如圖所示：即為所求；
（2）如圖所示：即為所求；
（3）
【知識點(diǎn)】作圖﹣軸對稱；作圖﹣位似變換；坐標(biāo)與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
與的相似比，
故答案為：．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)和的坐標(biāo)特征得到位似比，然后將B1、C1的橫、縱坐標(biāo)乘以-2得到、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連接即可；
（3）根據(jù)位似三角形的相似比等于位似比解題即可．
（1）解：如圖所示：即為所求；
（2）如圖所示：即為所求；
（3），，
與的相似比，
故答案為：．
17．（2024九上·福田期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
素材1 泥塑，俗稱“彩塑”，泥塑藝術(shù)是中國民間傳統(tǒng)的一種古老常見的民間藝術(shù)．某泥塑作坊制作泥塑進(jìn)行銷修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本為30元/件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，該泥塑每月的銷售量m（件）與每件售價(jià)n（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系．
問題解決
任務(wù)1 求該泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑數(shù)量的月平均增長率；
任務(wù)2 為使月銷售利潤達(dá)到6000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該泥塑的售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？
【答案】解：
任務(wù)1：設(shè)7月份到9月份制作泥塑數(shù)量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：7月份到9月份制作泥塑數(shù)的月平均增長率為．
任務(wù)2：該泥塑每件的售價(jià)為n元，則每件的銷售利潤為元，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，
又盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
．
該泥塑的售價(jià)應(yīng)定為50元/件．
【知識點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
任務(wù)1：設(shè)7月份到9月份制作泥塑數(shù)的平均增長率為x，利用9月份制作泥塑數(shù)=該車間7月份制作泥塑數(shù)該車間4月份到6月份制作泥塑數(shù)的平均增長率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程取其符合題意的值，解答即可；
任務(wù)2：該泥塑每件的售價(jià)為n元，則每件的銷售利潤為元，利用總利潤=每個(gè)的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再結(jié)合要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即可得到n的值，解答即可．
18．（2024九上·福田期中）如圖，在中，過A點(diǎn)作，交的平分線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的長．
【答案】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知識點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；角平分線的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根據(jù)，，得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行加角平分線，得到，即可得證；
（2）證明，列出比例式，進(jìn)行求解即可解答．
（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（2024九上·福田期中）換一個(gè)角度初看
華羅庚先生曾說過，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．這真實(shí)地刻畫了數(shù)形結(jié)合的互補(bǔ)性和不可分．例如：已知兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，？根據(jù)“代數(shù)”的思想要解一元二次不等式，比較麻煩．而利用數(shù)形結(jié)合思想，只要畫出圖象后觀察交點(diǎn)，就很好理解了．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_______．
換一個(gè)角度二看
我們定義：任意給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積都是原矩形的2倍，那么我們稱是的“加倍矩形”，是的“雙半矩形”．請你研究矩形是否存在“雙半矩形”．我們利用數(shù)形結(jié)合思想來解決方程問題．如圖2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中和分別表示矩形的“雙半矩形”的兩邊長．
（2）請你結(jié)合之前的研究，回答下列問題：
①這個(gè)圖象所研究的矩形的面積為_____，周長為_____．
②是否存在矩形的“雙半矩形”？如果存在，請求出的邊長；如果不存在，請說明理由．
（3）在第（2）問的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在以，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】解：（1）；（2）①20，28；
②不存在，理由如下：
假設(shè)存在矩形，其邊長為，，
同理可得：，，
則存在方程：，
，
∴方程無解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由如下：
聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得：，
解得：或5，
即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、；
設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)為對角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
，
解得：，即點(diǎn)；
當(dāng)或?yàn)閷蔷€時(shí)，
同理可得：或，
解得：或，
即點(diǎn)或；
綜上，或或．
【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；點(diǎn)的坐標(biāo)；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)系中的中點(diǎn)公式
【解析】【解答】解：（1）聯(lián)立和得：，
解得：或5，
觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故答案為：；
（2）①設(shè)矩形的邊長分別為：，，
由題意得：且，
而，，
則，，
故周長為28，面積為20，
故答案為：20，28；
【分析】
（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，計(jì)算得出圖象的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象，即可求解；
（2）①由題意得：且，即可求解；
②假設(shè)存在矩形，其邊長為，，同理可得：，，則存在方程：，而方程無解，即可求解；
（3）當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，計(jì)算即可求解；當(dāng)或?yàn)閷蔷€時(shí)，同樣的方法求解即可解答．
20．（2024九上·福田期中）【定義】在內(nèi)有一點(diǎn)，連接，，．在所得的，，中，有且只有兩個(gè)三角形相似，則稱點(diǎn)為的相似心．
【應(yīng)用】
（1）如圖1，在的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請判斷點(diǎn)是否為的相似心．若是，請直接寫出相似的兩個(gè)三角形；若不是，請說明理由．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)分別為軸負(fù)半軸，軸正半軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，連接，設(shè)的外角平分線，交于點(diǎn)，延長，分別交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．
①的度數(shù)是_____
②求證：點(diǎn)為的相似心．
（3）圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，若點(diǎn)為的相似心，連接，直接寫出線段的長．
【答案】（1）點(diǎn)是的相似心，相似三角形為．
（2）解：①；
②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，如圖，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴點(diǎn)O為的相似心；
（3）或
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：（1）由圖可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能證明，
故答案為：點(diǎn)是的相似心，且相似三角形為；
（2）①根據(jù)題意得：，
∴，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴；
（3）如圖，延長至點(diǎn)F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵點(diǎn)M在的圖象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵為直角三角形，
∴．
分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
設(shè)，則，
過點(diǎn)G作，垂足為點(diǎn)D，如圖，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去負(fù)值），
∴；
（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
與（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，此時(shí)點(diǎn)E在斜邊上，也不成立．
綜上可知或．
故答案為：或.
【分析】
（1）根據(jù)勾股定理可求出三個(gè)三角形的邊長，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似解答即可；
（2）①根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得，從而得出答案；②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，證明即可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合相似心的定義求出，再分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形，（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形和（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形，每一種情形再分對應(yīng)角分別考慮，解答即可．
（1）解：由圖可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能證明，
故點(diǎn)是的相似心，且相似三角形為；
（2）解：①根據(jù)題意得：，
∴，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴；
②作軸，軸，垂足分別為Q、P、N，如圖，
∵的外角平分線交于點(diǎn)M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴點(diǎn)O為的相似心；
（3）解：如圖，延長至點(diǎn)F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵點(diǎn)M在的圖象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵為直角三角形，
∴．
分類討論：（Ⅰ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
設(shè)，則，
過點(diǎn)G作，垂足為點(diǎn)D，如圖，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去負(fù)值），
∴；
（Ⅱ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，（當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
與（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）當(dāng)與為相似三角形時(shí)，
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)，與是全等三角形，顯然不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，顯然也不成立；
當(dāng)與為對應(yīng)角時(shí)， ，則，此時(shí)點(diǎn)E在斜邊上，也不成立．
綜上可知或．
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