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廣東省廣州市七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024九上·廣州期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·廣州期中）做好“垃圾分類”，倡導(dǎo)綠色健康的生活方式，是我們作為公民應(yīng)盡的義務(wù)，如圖所示垃圾分類標(biāo)志，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·廣州期中）將拋物線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·廣州期中）一元二次方程根的情況為（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能判定
5．（2024九上·廣州期中）如圖，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到，若，則的度數(shù)為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2024九上·廣州期中）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·廣州期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長(zhǎng)共60步，問(wèn)它的寬和長(zhǎng)各多少步？設(shè)它的寬為x步，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·廣州期中）設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·廣州期中）函數(shù)y＝ax－2 (a≠0)．與y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是
A． B．
C． D．
10．（2024九上·廣州期中）將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，然后繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A OB 的位置．若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（　　）
A．（1，1） B． C．（-1，1） D．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
11．（2024九上·廣州期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　 　．
12．（2024九上·廣州期中）如果、是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值是　 　．
13．（2024九上·廣州期中）拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則　 　．
14．（2024九上·廣州期中）如圖，拋物線的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則一元二次方程的實(shí)數(shù)根是　 　．
15．（2024九上·廣州期中）如圖，已知，，將邊繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B落在邊的垂直平分線上的點(diǎn)E時(shí)，　 　．
16．（2024九上·廣州期中）如圖，二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸是直線，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是　 　（填序號(hào)）
三、解答題：本題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17．（2024九上·廣州期中）解方程： .
18．（2024九上·廣州期中）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．
19．（2024九上·廣州期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)畫出，使與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．
20．（2024九上·廣州期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
21．（2024九上·廣州期中）在國(guó)家政策的調(diào)控下，某市的商品房成交均價(jià)由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元．
（1）求4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率；
（2）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落，按此降價(jià)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)到6月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破每平方米7200元？請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（2024九上·廣州期中）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價(jià)x（元/千克）的變化而變化，具體關(guān)系式為：．設(shè)這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤(rùn)為y（元），解答下列問(wèn)題：
（1）求y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？
23．（2024九上·廣州期中）【閱讀材料1】
為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是，，，．
我們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實(shí)數(shù)，滿足，且，顯然m，n是方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：
解方程，可設(shè)__________，原方程可化為__________．
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是__________．
（2）間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．
24．（2024九上·廣州期中）已知函數(shù)為常數(shù)，且．
（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與軸交于，兩點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，．直接寫出的取值范圍．
25．（2024九上·廣州期中）如圖1，等邊中，分別交、于點(diǎn)D、E．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；
②若，，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的定義及相關(guān)的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故A不符合題意；
B、是一元二次方程，故B符合題意；
C、是分式方程，故C不符合題意；
D、最高次為3次，故D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；逐一判斷即可解答．
2．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、本選項(xiàng)圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故A不符合題意；
B、本選項(xiàng)圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；
C、本選項(xiàng)圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故C符合題意；
D、本選項(xiàng)圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形. 軸對(duì)稱圖形的定義平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.逐一判斷即可解答.
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為，
故答案為：C．
【分析】利用函數(shù)圖象（解析式）平移的特征：左加右減，上加下減分析求解即可.
4．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)題意，求得，由此解答即可．
5．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到，
∴∠BOD=70°，
∵，
∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOD=70°，再根據(jù)角的和差計(jì)算即可解答．
6．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故選：D．
【分析】
先將常數(shù)1移項(xiàng)到等號(hào)右邊，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，進(jìn)行配方即可。
7．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問(wèn)題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)它的寬為x步，則長(zhǎng)為(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故選：D．
【分析】設(shè)它的寬為x步，則長(zhǎng)為(60-x)步，根據(jù)矩形面積=長(zhǎng)×寬，列出方程即可求解．
8．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)
【解析】【解答】解：拋物線中，
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
而離直線的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)離直線最近，
．
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小，由此即可解答．
9．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：∵在y=ax-2中：b=-2，
∴一次函數(shù)圖象與y軸的負(fù)半軸相交，
∵①當(dāng)a＞0時(shí)，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，開口向上，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，
∵②當(dāng)a＜0時(shí)，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，開口向下，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，
故答案為：A．
【分析】
由題意分情況進(jìn)行分析：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，直線與y軸的負(fù)半軸相交，經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，直線與y軸的負(fù)半軸相交，經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，由此解答即可．
10．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)
∵為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)所得
∴≌
∴為等腰直角三角形
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
∴點(diǎn)（0，2）
∴
∵
∴
∴點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
故答案為：C
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出≌，從而得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，解答即可．
11．【答案】（1，2）
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：∵是拋物線的頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
故答案為：（1，2）．
【分析】拋物線的頂點(diǎn)式為y=a(x-h)2+k，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），據(jù)此解答.
12．【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即一元二次方程的兩根之和是，兩根之積是，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和，計(jì)算即可解答．
13．【答案】9
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∴c=9，
故答案為：9
【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合題意即可求解。
14．【答案】，
【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：∵拋物線的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為，
∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，．
故答案為：，．
【分析】
先利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，則利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；解答即可．
15．【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段右邊時(shí)，
∵是邊的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段左邊時(shí)，
同理可得是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】
根據(jù)題意分點(diǎn)E在線段右邊和點(diǎn)E在線段左邊兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段右邊時(shí)，根據(jù)垂直平分線得性質(zhì)和已知條件可判定是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)利用角度得計(jì)算即可解答；當(dāng)點(diǎn)E在線段左邊時(shí)，類似的方法，求解即可．
16．【答案】②④
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：由圖像可知拋物線開口向下，與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，
∴，．
∵對(duì)稱軸是直線，
∴，
∴，，故②正確；
∴，故①錯(cuò)誤；
由圖像可知拋物線與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，
∴．
∵，
∴，
兩邊都乘以，得：．
∵，
∴，
∴，即，
∴，故③錯(cuò)誤；
由圖像可知當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，故④正確．
故答案為：②④．
【分析】
由圖像可知開口向下，與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，從而得出，．結(jié)合對(duì)稱軸為和對(duì)稱軸公式可得出，，即可判斷①②；又可知，即得出，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得出，根據(jù)a和b的關(guān)系即得出可判斷③；根據(jù)圖像可知當(dāng)時(shí)，，結(jié)合a和b的關(guān)系即得出可判斷④；逐一判斷即可解答．
17．【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點(diǎn)：二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．【答案】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得，，
，
的長(zhǎng)是
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理求出CC'的長(zhǎng)即可.
19．【答案】解：如圖所示，，，．
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；作圖﹣中心對(duì)稱
【解析】【分析】
首先確定、、三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，再連接即可；然后根據(jù)點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答．
20．【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
∴
∴．
．
（2）解：令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，．
【知識(shí)點(diǎn)】解二元一次方程；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式以及經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入計(jì)算分別求得，即可求解；
（2）由題意，直接令，即可求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解答即可．
（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
∴
∴．
．
（2）令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，．
21．【答案】解：（1）設(shè)4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為，
根據(jù)題意得，
解得，（不符合題意，舍去），
答：4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為．
（2）不會(huì)．
理由：（元，且7290元元，
到6月份該市的商品房成交均價(jià)不會(huì)跌破每平方米7200元．
【知識(shí)點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問(wèn)題
【解析】【分析】（1）設(shè)4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為，連續(xù)兩次降價(jià)后的價(jià)格為每平方米元，列方程求出的值即可解答；
（2）按（1）中求出的百分比求出的值即得到6月份的成交均價(jià)，可知是否會(huì)跌破每平方米7200元，解答即可．
22．【答案】（1）解：；
∴w與x的關(guān)系式為：．
（2）解：，
∴當(dāng)時(shí)，y的值最大．
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）把代入即可求解；
（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可求解．
（1）解：；
∴w與x的關(guān)系式為：．
（2）解：，
∴當(dāng)時(shí)，y的值最大．
23．【答案】（1），，，；
（2）解：∵的兩個(gè)根為，，則，
∴，不互為相反數(shù)，
∴，
∵實(shí)數(shù)，滿足，，且，
∴，
∴，是方程的兩個(gè)根，
∴，，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）；換元法解一元二次方程；整體思想
【解析】【解答】解： (1) 解方程，可設(shè)，原方程可化為，
∴，
解得：，，
當(dāng)，則，
解得：，
當(dāng)時(shí)，則，方程無(wú)解，
∴原方程的解為：，；
故答案為：，，，；
【分析】
（1）設(shè)，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可解答；
（2）先判斷，可得，是方程的兩個(gè)根，可得，，再利用完全平方公式的變形，再整體代入進(jìn)行求解即可解答．
24．【答案】（1）證明：令，則，
△，
該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)；
（2）解：由方程解得，
，，
，，
，
，
；
（3）或．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；分類討論
【解析】【解答】解：（3）如圖，
時(shí)，，時(shí)，，
拋物線一定過(guò)點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)為常數(shù)，且的圖象開口向上時(shí)滿足題意，則，
函數(shù)為常數(shù)，且的圖象開口向下時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是或．
故答案為：或．
【分析】
（1）令轉(zhuǎn)化為，再利用根的判別式即可判斷；
（2）解方程求得，，則，，，，根據(jù)即可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍；
（3）由解析式可知拋物線一定過(guò)點(diǎn)，，分兩種情況討論即可求得的取值范圍，解答即可．
25．【答案】（1）證明：是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）解：①的度數(shù)是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．如圖3，
過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，即可得出結(jié)論，解答即可；
（2）①先判斷出，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．過(guò)點(diǎn)作于，求出，，進(jìn)而求出，再利用線段的和差運(yùn)算解答即可；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，同Ⅰ的方法，解答即可．
（1）是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）①的度數(shù)是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．如圖3，
過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
1 / 1廣東省廣州市七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024九上·廣州期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的定義及相關(guān)的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故A不符合題意；
B、是一元二次方程，故B符合題意；
C、是分式方程，故C不符合題意；
D、最高次為3次，故D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；逐一判斷即可解答．
2．（2024九上·廣州期中）做好“垃圾分類”，倡導(dǎo)綠色健康的生活方式，是我們作為公民應(yīng)盡的義務(wù)，如圖所示垃圾分類標(biāo)志，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形
【解析】【解答】解：A、本選項(xiàng)圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故A不符合題意；
B、本選項(xiàng)圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；
C、本選項(xiàng)圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故C符合題意；
D、本選項(xiàng)圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形. 軸對(duì)稱圖形的定義平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.逐一判斷即可解答.
3．（2024九上·廣州期中）將拋物線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為，
故答案為：C．
【分析】利用函數(shù)圖象（解析式）平移的特征：左加右減，上加下減分析求解即可.
4．（2024九上·廣州期中）一元二次方程根的情況為（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能判定
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)題意，求得，由此解答即可．
5．（2024九上·廣州期中）如圖，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到，若，則的度數(shù)為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到，
∴∠BOD=70°，
∵，
∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOD=70°，再根據(jù)角的和差計(jì)算即可解答．
6．（2024九上·廣州期中）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故選：D．
【分析】
先將常數(shù)1移項(xiàng)到等號(hào)右邊，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，進(jìn)行配方即可。
7．（2024九上·廣州期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長(zhǎng)共60步，問(wèn)它的寬和長(zhǎng)各多少步？設(shè)它的寬為x步，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問(wèn)題；列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)它的寬為x步，則長(zhǎng)為(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故選：D．
【分析】設(shè)它的寬為x步，則長(zhǎng)為(60-x)步，根據(jù)矩形面積=長(zhǎng)×寬，列出方程即可求解．
8．（2024九上·廣州期中）設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)
【解析】【解答】解：拋物線中，
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
而離直線的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)離直線最近，
．
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小，由此即可解答．
9．（2024九上·廣州期中）函數(shù)y＝ax－2 (a≠0)．與y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象共存判斷
【解析】【解答】解：∵在y=ax-2中：b=-2，
∴一次函數(shù)圖象與y軸的負(fù)半軸相交，
∵①當(dāng)a＞0時(shí)，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，開口向上，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，
∵②當(dāng)a＜0時(shí)，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，開口向下，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，
故答案為：A．
【分析】
由題意分情況進(jìn)行分析：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，直線與y軸的負(fù)半軸相交，經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，直線與y軸的負(fù)半軸相交，經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，由此解答即可．
10．（2024九上·廣州期中）將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，然后繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A OB 的位置．若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（　　）
A．（1，1） B． C．（-1，1） D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)
∵為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)所得
∴≌
∴為等腰直角三角形
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
∴點(diǎn)（0，2）
∴
∵
∴
∴點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
故答案為：C
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出≌，從而得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，解答即可．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
11．（2024九上·廣州期中）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　 　．
【答案】（1，2）
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：∵是拋物線的頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
故答案為：（1，2）．
【分析】拋物線的頂點(diǎn)式為y=a(x-h)2+k，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），據(jù)此解答.
12．（2024九上·廣州期中）如果、是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值是　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即一元二次方程的兩根之和是，兩根之積是，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和，計(jì)算即可解答．
13．（2024九上·廣州期中）拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則　 　．
【答案】9
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題
【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∴c=9，
故答案為：9
【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合題意即可求解。
14．（2024九上·廣州期中）如圖，拋物線的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則一元二次方程的實(shí)數(shù)根是　 　．
【答案】，
【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：∵拋物線的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為，
∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，．
故答案為：，．
【分析】
先利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，則利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；解答即可．
15．（2024九上·廣州期中）如圖，已知，，將邊繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B落在邊的垂直平分線上的點(diǎn)E時(shí)，　 　．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段右邊時(shí)，
∵是邊的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段左邊時(shí)，
同理可得是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】
根據(jù)題意分點(diǎn)E在線段右邊和點(diǎn)E在線段左邊兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段右邊時(shí)，根據(jù)垂直平分線得性質(zhì)和已知條件可判定是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)利用角度得計(jì)算即可解答；當(dāng)點(diǎn)E在線段左邊時(shí)，類似的方法，求解即可．
16．（2024九上·廣州期中）如圖，二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸是直線，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是　 　（填序號(hào)）
【答案】②④
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解：由圖像可知拋物線開口向下，與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，
∴，．
∵對(duì)稱軸是直線，
∴，
∴，，故②正確；
∴，故①錯(cuò)誤；
由圖像可知拋物線與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，
∴．
∵，
∴，
兩邊都乘以，得：．
∵，
∴，
∴，即，
∴，故③錯(cuò)誤；
由圖像可知當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，故④正確．
故答案為：②④．
【分析】
由圖像可知開口向下，與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，從而得出，．結(jié)合對(duì)稱軸為和對(duì)稱軸公式可得出，，即可判斷①②；又可知，即得出，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得出，根據(jù)a和b的關(guān)系即得出可判斷③；根據(jù)圖像可知當(dāng)時(shí)，，結(jié)合a和b的關(guān)系即得出可判斷④；逐一判斷即可解答．
三、解答題：本題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17．（2024九上·廣州期中）解方程： .
【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點(diǎn)：二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
18．（2024九上·廣州期中）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．
【答案】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得，，
，
的長(zhǎng)是
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理求出CC'的長(zhǎng)即可.
19．（2024九上·廣州期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)畫出，使與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．
【答案】解：如圖所示，，，．
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；作圖﹣中心對(duì)稱
【解析】【分析】
首先確定、、三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，再連接即可；然后根據(jù)點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答．
20．（2024九上·廣州期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
∴
∴．
．
（2）解：令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，．
【知識(shí)點(diǎn)】解二元一次方程；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式以及經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入計(jì)算分別求得，即可求解；
（2）由題意，直接令，即可求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解答即可．
（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為．
∴
∴．
．
（2）令，
．
解得：，．
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，．
21．（2024九上·廣州期中）在國(guó)家政策的調(diào)控下，某市的商品房成交均價(jià)由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元．
（1）求4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率；
（2）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落，按此降價(jià)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)到6月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破每平方米7200元？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】解：（1）設(shè)4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為，
根據(jù)題意得，
解得，（不符合題意，舍去），
答：4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為．
（2）不會(huì)．
理由：（元，且7290元元，
到6月份該市的商品房成交均價(jià)不會(huì)跌破每平方米7200元．
【知識(shí)點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問(wèn)題
【解析】【分析】（1）設(shè)4、5兩月平均每月降價(jià)的百分率為，連續(xù)兩次降價(jià)后的價(jià)格為每平方米元，列方程求出的值即可解答；
（2）按（1）中求出的百分比求出的值即得到6月份的成交均價(jià)，可知是否會(huì)跌破每平方米7200元，解答即可．
22．（2024九上·廣州期中）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價(jià)x（元/千克）的變化而變化，具體關(guān)系式為：．設(shè)這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤(rùn)為y（元），解答下列問(wèn)題：
（1）求y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？
【答案】（1）解：；
∴w與x的關(guān)系式為：．
（2）解：，
∴當(dāng)時(shí)，y的值最大．
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）把代入即可求解；
（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可求解．
（1）解：；
∴w與x的關(guān)系式為：．
（2）解：，
∴當(dāng)時(shí)，y的值最大．
23．（2024九上·廣州期中）【閱讀材料1】
為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是，，，．
我們將上述解題的方法叫換元法．
【閱讀材料2】
已知實(shí)數(shù)，滿足，且，顯然m，n是方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：
（1）直接應(yīng)用：
解方程，可設(shè)__________，原方程可化為__________．
經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解是__________．
（2）間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．
【答案】（1），，，；
（2）解：∵的兩個(gè)根為，，則，
∴，不互為相反數(shù)，
∴，
∵實(shí)數(shù)，滿足，，且，
∴，
∴，是方程的兩個(gè)根，
∴，，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）；換元法解一元二次方程；整體思想
【解析】【解答】解： (1) 解方程，可設(shè)，原方程可化為，
∴，
解得：，，
當(dāng)，則，
解得：，
當(dāng)時(shí)，則，方程無(wú)解，
∴原方程的解為：，；
故答案為：，，，；
【分析】
（1）設(shè)，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可解答；
（2）先判斷，可得，是方程的兩個(gè)根，可得，，再利用完全平方公式的變形，再整體代入進(jìn)行求解即可解答．
24．（2024九上·廣州期中）已知函數(shù)為常數(shù)，且．
（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與軸交于，兩點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，．直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）證明：令，則，
△，
該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)；
（2）解：由方程解得，
，，
，，
，
，
；
（3）或．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；分類討論
【解析】【解答】解：（3）如圖，
時(shí)，，時(shí)，，
拋物線一定過(guò)點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)為常數(shù)，且的圖象開口向上時(shí)滿足題意，則，
函數(shù)為常數(shù)，且的圖象開口向下時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是或．
故答案為：或．
【分析】
（1）令轉(zhuǎn)化為，再利用根的判別式即可判斷；
（2）解方程求得，，則，，，，根據(jù)即可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍；
（3）由解析式可知拋物線一定過(guò)點(diǎn)，，分兩種情況討論即可求得的取值范圍，解答即可．
25．（2024九上·廣州期中）如圖1，等邊中，分別交、于點(diǎn)D、E．
（1）求證：是等邊三角形；
（2）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；
②若，，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）解：①的度數(shù)是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．如圖3，
過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，即可得出結(jié)論，解答即可；
（2）①先判斷出，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．過(guò)點(diǎn)作于，求出，，進(jìn)而求出，再利用線段的和差運(yùn)算解答即可；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，同Ⅰ的方法，解答即可．
（1）是等邊三角形，
，
∵，
，．
是等邊三角形；
（2）①的度數(shù)是定值，理由如下：如圖2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在上方時(shí)．如圖3，
過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在下方時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)作于，
．
同理可得，
綜上所述，或8．
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