資源簡介

廣東省深圳市33校聯考2024—2025學年八年級第一學期期中素養數學試題
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題給出4個選項，其中只有一個選項是正確的，請將正確的選項涂在答題卡上）
1．（2024八上·深圳期中）在，，0，1這四個數中，最小的數是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．（2024八上·深圳期中）9的算術平方根是（　　）
A． 3 B．9 C．±3 D．±9
3．（2024八上·深圳期中）下列四組數據中，不能作為直角三角形的三邊長的是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，25
4．（2024八上·深圳期中）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·深圳期中）年巴黎奧運會見證了中國體育代表團創造夏奧會境外參賽最佳戰績．如圖所示是巴黎部分景點的平面示意圖，每個小正方形的邊長表示個單位長度，如果將凱旋門的位置記作，盧浮宮的位置記作，那么埃菲爾鐵塔的位置是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·深圳期中）一次函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．
B．若，兩點在該函數圖象上，則
C．方程的解是
D．一次函數的表達式為
7．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，，，為的中點，過點作交于點，則的長為（　　）
A． B．6 C．5 D．
8．（2024八上·深圳期中）如圖1所示，在甲、乙兩地之間有一車站丙（離乙地較近），一輛貨車從甲地出發經丙站駛往乙地，一輛轎車從乙地出發經丙站駛往甲地，兩車同時出發，勻速行駛，圖2分別是貨車、轎車行駛時離丙站的路程與行駛時間之間的函數圖象．則下列說法錯誤的是（　　）
A．貨車的速度為
B．
C．當時，兩車相遇
D．當時，轎車剛好到達丙車站
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，請將正確的答案填在答題卡上）
9．（2024八上·深圳期中）若正比例函數的圖象經過第一、三象限，請你寫出一個符合上述條件的的值：　 　.
10．（2024八上·深圳期中）在平面直角坐標系中，點在軸上，則點的坐標是　 　.
11．（2024八上·深圳期中）如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為“指距”．研究表明，一般情況下人的身高與指距滿足一次函數，若人的身高為時，指距為；當人的身高為時，指距為．籃球運動員姚明的身高為，則據此估計他的指距是　 　cm．（結果精確到）
12．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，，，以三角形各邊為直徑作半圓，其中兩半圓交于點，陰影部分面積分別記作和，則，之間應滿足的等式是　 　．
13．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，點，分別在，邊上，連接，將沿翻折，點的對應點恰好落在的延長線上，且，連接，若，，則　 　．
三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2024八上·深圳期中）計算：
（1）；
（2）．
15．（2024八上·深圳期中）下面是小明同學計算的過程，請認真閱讀并完成相應的任務，
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任務一：小明同學的解答過程從第 步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是 ．
任務二：請你寫出正確的計算過程．
16．（2024八上·深圳期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，．
（1）畫出關于軸對稱的；
（2）的面積是 ；
（3）已知為軸上一點，若的面積為4，則點的坐標為 ．
17．（2024八上·深圳期中）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”數形結合是解決數學問題的重要思想方法．數軸是數形結合的產物，用數軸上的點可以直觀地表示實數，從而建立起“數”與“形”之間的聯系．
（1）如圖1，點是原點，點對應的實數為，過點作垂直于數軸，且，連接，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，那么點對應的實數為 ；
（2）在（1）的條件下，若將線段向右平移，使得點對應的實數為1，那么此時點對應的實數為 ；
（3）如圖2，點對應的實數是3，射線垂直數軸于點，請在數軸上作出對應的點．（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡）
18．（2024八上·深圳期中）小聰發現美宜佳超市裝的是自動門，自動門上方裝有一個感應器，當人體進入感應器的感應范圍時，感應門就會自動打開．如圖，點處裝著一個感應器，感應器的最大感應距離恰好等于它離地的高度，已知小聰的身高為米，當他走到離門米時（米），感應門自動打開，即，求感應器的離地高度為多少米？
19．（2024八上·深圳期中）類比推理是根據一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法．著名數學家波利亞認為“類比就是一種形似”．類比推理思想在初中代數推理學習中也被廣泛應用．
【特例感知】
觀察下列等式：，．
（1）根據上述特征，計算： ．
【嘗試類比】
（2）已知一次函數（為正整數）與軸、軸分別交于，兩點，為坐標原點，設的面積為．
① ；
②求的值．
【類比遷移】
（3）計算： ．
20．（2024八上·深圳期中）創新小隊在學習一次函數的圖象與性質時，發現一次函數圖象的平移實際上是圖象上每個點沿著相同的方向平移，平移前后兩個對應點之間的距離叫做平移距離．
【探究發現】
（1）以一次函數如何平移得到一次函數為例進行探究．
①請在平面直角坐標系中，畫出一次函數的圖象，與軸交于點，與軸交于點；
②觀察圖象發現，將點、點分別向上平移 個單位，平移后的點在直線上．事實上，將一次函數圖象上的每個點按上述方式平移，平移后的點都在直線上，平移距離為4個單位．
③請你嘗試再寫出另一種點的平移方式：將一次函數圖象上的點向 平移，平移距離為 個單位，可得直線．
④若要使得平移距離有最小值，點，應該如何平移，請在平面直角坐標系中，作出平移后的對應點，．
【深入探究】
（2）將一次函數按平移距離最小值的方式平移到，則平移距離為 （用，表示）．
【拓展升華】
（3）如圖，已知正方形各邊平行于坐標軸，且邊長為，點坐標為，若線段，且點，在直線上，平移線段使得線段端點恰好落在正方形的邊上，則平移距離的最小值為 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】實數的大小比較；有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-2<<0<1，
∴最小的數是-2，
故答案為：A.
【分析】利用實數比較大小的方法分析求解即可.
2．【答案】A
【知識點】算術平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9的算術平方根是3．
故答案為：A．
【分析】根據一個正數的平方等于9，則這個正數，就是9的平方根即可得出答案。
3．【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴這三條邊不能組成直角三角形，∴A符合條件；
B、∵62+82=102，∴這三條邊能組成直角三角形，∴B不符合條件；
C、∵52+122=132，∴這三條邊能組成直角三角形，∴C不符合條件；
D、∵72+242=252，∴這三條邊能組成直角三角形，∴D不符合條件；
故答案為：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐項分析判斷即可.
4．【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點M的坐標為（-2，3），
∴點M關于x軸對稱的點坐標為（-2，-3），
故答案為：D.
【分析】利用關于x軸對稱的點坐標的特征（橫坐標不變，縱坐標變為相反數）求解即可.
5．【答案】C
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【解答】解：∵盧浮宮的位置記作，
∴軸應該為盧浮宮的位置上格，軸應該為盧浮宮的位置左格，建立平面直角坐標系，如下圖，
∴埃菲爾鐵塔的位置是，
故答案為：．
【分析】
根據盧浮宮的位置記作，則軸應該為盧浮宮的位置上格，軸應該為盧浮宮的位置左格建立平面直角坐標系即可解答．
6．【答案】D
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與一元一次方程的關系；比較一次函數值的大小；數形結合
【解析】【解答】解：由圖象可知，直線與軸交于點，與軸交于點，隨的增大而減小，
把，代入解析式，得：，解得：，
∴一次函數的表達式為，故D選項正確；
∴，故A選項錯誤；
方程的解是，故C選項錯誤，
若，兩點在該函數圖象上，則，故B選項錯誤；
故答案為：D．
【分析】
根據待定系數法求函數解析式把，代入解析式，計算可判斷D；根據一次函數的圖象和性質A，C，B，逐一進行判斷即可解答．
7．【答案】A
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理
【解析】【解答】解：連接，
∵為的中點，，
∴是的中垂線，
∴，
設，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故答案為：A．
【分析】
連接，根據題意易得是的中垂線，進而得到，設，在中，利用勾股定理進行求解即可解答．
8．【答案】C
【知識點】有理數的除法法則；通過函數圖象獲取信息；數形結合
【解析】【解答】解：由圖可知，甲地與丙地相距，
貨車的速度為，A正確，故不符合要求；
∴從甲地到乙地的距離為，
∴乙地與丙地相距，
∴，B正確，故不符合要求；
轎車的速度為，
兩車的相遇時間為，C錯誤，故符合要求；
轎車剛好到達丙車站的時間為，D正確，故不符合要求；
故答案為：C．
【分析】
由圖可知，甲地與丙地相距，貨車的速度為，可判斷A；從甲地到乙地的距離為，則乙地與丙地相距，即，可判斷B；轎車的速度為，則兩車的相遇時間為，可判斷C；轎車剛好到達丙車站的時間為，可判斷D，逐一判斷即可解答．
9．【答案】0
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵正比例函數的圖象經過第一、三象限，
∴2-k>0，
解得：k<2，
∴k=0（答案不唯一），
故答案為：k=0（答案不唯一）.
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）可得2-k>0，再求出k的取值范圍即可.
10．【答案】
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：∵點M在y軸上，
∴m+3=0，
解得：m=-3，
∴2m+4=2×（-3）+4=-2，
∴點M的坐標為（0，-2），
故答案為：（0，-2）.
【分析】利用y軸上點坐標的特征可得m+3=0，求出m的值，再求出2m+4的值，即可得到點M的坐標.
11．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：設與的函數關系式為．
由題意可得，
解得，
與之間的函數關系式；
當時，，
解得：
故答案為：．
【分析】
根據數據，利用待定系數法求出與之間的函數關系式，將代入解析式，求出指距即可解答．
12．【答案】
【知識點】勾股定理；面積及等積變換
【解析】【解答】解：中，，
，
，
，
故答案為：．
【分析】根據勾股定理可得，再由計算即可求解．
13．【答案】
【知識點】二次根式的性質與化簡；三角形的面積；三角形內角和定理；勾股定理；線段的比
【解析】【解答】解：如圖所示，設與交于點O
∴
∵將沿翻折，點的對應點恰好落在的延長線上，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，，
∴
由折疊得，
∵，
∴
∴
解得（負值舍去）
∵
∴
∴．
故答案為：．
【分析】
如圖所示，設與交于點O，由折疊得到，然后結合得到，然后利用三角形內角和定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代數求解即可解答．
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】二次根式的加減法；二次根式的混合運算；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先化簡二次根式，再計算乘法，最后相減即可；
（2）根據二次根式的除法先化簡，再開立方根運算，再化簡絕對值，最后計算加減求解即可解答．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．【答案】解：任務一：二； 去括號后，括號內第二項沒有變號．
任務二：
．
【知識點】二次根式的混合運算；去括號法則及應用
【解析】【分析】
去括號時，括號前是“”號，去括號后，括號內的各項都要變號．故而可判斷解答過程從第二步開始出現錯誤，再根據去括號法則更正錯誤，并寫出正確的計算過程即可解答．
16．【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）4
（3），
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質；坐標與圖形變化﹣對稱；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】
解： (2)的面積為：；
故答案為：4，
（3）由題意，得：，
∴，
∴或，
∴點的坐標為，．
故答案為：，，
【分析】
（1）根據軸對稱的性質，畫出即可解答；
（2）分割法求出三角形的面積即可；
（3）根據的面積為4，建立方程求出點的縱坐標，即可解答．
（1）解：如圖，即為所求；
（2）的面積為：；
（3）由題意，得：，
∴，
∴或，
∴點的坐標為，．
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：由題意知，，如圖，在上取，連接，
∵，
∴如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作．
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理；數形結合；運用勾股定理在數軸上標出無理數對應點
【解析】【解答】解：（1）由題意知，，
由勾股定理得，，
∴點對應的實數為，
故答案為：；
（2）由題意知，此時點對應的實數為；
故答案為：；
【分析】
（1）由勾股定理得，，則點對應的實數為，解答即可；
（2）由題意知，此時點對應的實數為，解答即可；
（3）由題意知，，如圖，在上取，連接，由，如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作，即可解答．
（1）解：由題意知，，
由勾股定理得，，
∴點對應的實數為，
故答案為：；
（2）解：由題意知，此時點對應的實數為；
故答案為：；
（3）解：由題意知，，
如圖，在上取，連接，
∵，
∴如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作．
18．【答案】解：如圖，過點作于點，
由題意得，米，米，
設米，則米，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
所以米，
答：感應器的離地高度為2.5米．
【知識點】勾股定理；勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【分析】過點作于點，設米，則米，在中，利用勾股定理進行計算求解即可解答．
19．【答案】解：（1）；
（2）①；
②∵，
∴，
∴的值為．
（3）（或）
【知識點】分式的加減法；三角形的面積；一次函數圖象與坐標軸交點問題；探索規律-數列中的規律
【解析】【解答】解：（1），
故答案為：．
（2）當時，，則，
當時，，
解得，，
∴，
∴，
①當時，，
故答案為：；
（3）
，
故答案為：．
【分析】
（1）根據，計算求解即可解答；
（2）當時，當時，可求，，則，①當時，，計算求解即可解答；②由，可得 ，計算求解即可解答；
（3）根據，計算求解即可解答．
20．【答案】解：（1）①當，當，則，
∴，
則作圖如圖：
；②4；③左，4；
④點即為所求
過點分別作直線的垂線，垂足為，由垂線段最短得到直線沿射線方向平移，平移距離為；
（2）；
（3）
【知識點】垂線段最短及其應用；正方形的性質；平移的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）②對于直線，當，
∴點向上平移4個單位與重合，向上平移4個單位與重合，
故答案為：4；
③同理可求直線與軸交點為，而，
∴向左平移4個單位與點重合，
∴直線向左平移4個單位得到直線，
故答案為：左，4；
（2）記直線與與軸分別交于點，如圖
同上可求，
∴，
∴，
同理，
由題意得，
則為等腰直角三角形，
∴，
設，
則由勾股定理得：，
解得：（舍負），
即平移距離為
故答案為：；
（3）同上可得，延長交于點，
由得，
∴，
同上可得，
∴，
∴
∴由上知當沿著方向平移時，落在正方形的邊上時，平移距離最短，即為長，
在等腰中，，同上可得，
由平移得，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴軸，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
同理為等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴平移得最小值為，
故答案為：．
【分析】
（1）①求出直線與坐標軸的交點即可作圖；②由點向上平移4個單位與直線上的重合，即可確定平移距離；③同理可求直線與軸交點為，而，則向左平移4個單位與點重合，繼而直線向左平移4個單位得到直線；④根據垂線段最短即可確定平移方式，解答即可；
（2）同上可求，，則，，為等腰直角三角形，則，設，則由勾股定理得：，即可求解；
（3）同上可得，延長交于點，可得，則由上知當沿著方向平移時，落在正方形的邊上時，平移距離最短，即為長，在等腰中，，同上可得，可求，，由得，則，那么，即可求解．
1 / 1廣東省深圳市33校聯考2024—2025學年八年級第一學期期中素養數學試題
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題給出4個選項，其中只有一個選項是正確的，請將正確的選項涂在答題卡上）
1．（2024八上·深圳期中）在，，0，1這四個數中，最小的數是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知識點】實數的大小比較；有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-2<<0<1，
∴最小的數是-2，
故答案為：A.
【分析】利用實數比較大小的方法分析求解即可.
2．（2024八上·深圳期中）9的算術平方根是（　　）
A． 3 B．9 C．±3 D．±9
【答案】A
【知識點】算術平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9的算術平方根是3．
故答案為：A．
【分析】根據一個正數的平方等于9，則這個正數，就是9的平方根即可得出答案。
3．（2024八上·深圳期中）下列四組數據中，不能作為直角三角形的三邊長的是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，25
【答案】A
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴這三條邊不能組成直角三角形，∴A符合條件；
B、∵62+82=102，∴這三條邊能組成直角三角形，∴B不符合條件；
C、∵52+122=132，∴這三條邊能組成直角三角形，∴C不符合條件；
D、∵72+242=252，∴這三條邊能組成直角三角形，∴D不符合條件；
故答案為：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐項分析判斷即可.
4．（2024八上·深圳期中）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點M的坐標為（-2，3），
∴點M關于x軸對稱的點坐標為（-2，-3），
故答案為：D.
【分析】利用關于x軸對稱的點坐標的特征（橫坐標不變，縱坐標變為相反數）求解即可.
5．（2024八上·深圳期中）年巴黎奧運會見證了中國體育代表團創造夏奧會境外參賽最佳戰績．如圖所示是巴黎部分景點的平面示意圖，每個小正方形的邊長表示個單位長度，如果將凱旋門的位置記作，盧浮宮的位置記作，那么埃菲爾鐵塔的位置是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【解答】解：∵盧浮宮的位置記作，
∴軸應該為盧浮宮的位置上格，軸應該為盧浮宮的位置左格，建立平面直角坐標系，如下圖，
∴埃菲爾鐵塔的位置是，
故答案為：．
【分析】
根據盧浮宮的位置記作，則軸應該為盧浮宮的位置上格，軸應該為盧浮宮的位置左格建立平面直角坐標系即可解答．
6．（2024八上·深圳期中）一次函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．
B．若，兩點在該函數圖象上，則
C．方程的解是
D．一次函數的表達式為
【答案】D
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與一元一次方程的關系；比較一次函數值的大小；數形結合
【解析】【解答】解：由圖象可知，直線與軸交于點，與軸交于點，隨的增大而減小，
把，代入解析式，得：，解得：，
∴一次函數的表達式為，故D選項正確；
∴，故A選項錯誤；
方程的解是，故C選項錯誤，
若，兩點在該函數圖象上，則，故B選項錯誤；
故答案為：D．
【分析】
根據待定系數法求函數解析式把，代入解析式，計算可判斷D；根據一次函數的圖象和性質A，C，B，逐一進行判斷即可解答．
7．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，，，為的中點，過點作交于點，則的長為（　　）
A． B．6 C．5 D．
【答案】A
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理
【解析】【解答】解：連接，
∵為的中點，，
∴是的中垂線，
∴，
設，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故答案為：A．
【分析】
連接，根據題意易得是的中垂線，進而得到，設，在中，利用勾股定理進行求解即可解答．
8．（2024八上·深圳期中）如圖1所示，在甲、乙兩地之間有一車站丙（離乙地較近），一輛貨車從甲地出發經丙站駛往乙地，一輛轎車從乙地出發經丙站駛往甲地，兩車同時出發，勻速行駛，圖2分別是貨車、轎車行駛時離丙站的路程與行駛時間之間的函數圖象．則下列說法錯誤的是（　　）
A．貨車的速度為
B．
C．當時，兩車相遇
D．當時，轎車剛好到達丙車站
【答案】C
【知識點】有理數的除法法則；通過函數圖象獲取信息；數形結合
【解析】【解答】解：由圖可知，甲地與丙地相距，
貨車的速度為，A正確，故不符合要求；
∴從甲地到乙地的距離為，
∴乙地與丙地相距，
∴，B正確，故不符合要求；
轎車的速度為，
兩車的相遇時間為，C錯誤，故符合要求；
轎車剛好到達丙車站的時間為，D正確，故不符合要求；
故答案為：C．
【分析】
由圖可知，甲地與丙地相距，貨車的速度為，可判斷A；從甲地到乙地的距離為，則乙地與丙地相距，即，可判斷B；轎車的速度為，則兩車的相遇時間為，可判斷C；轎車剛好到達丙車站的時間為，可判斷D，逐一判斷即可解答．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，請將正確的答案填在答題卡上）
9．（2024八上·深圳期中）若正比例函數的圖象經過第一、三象限，請你寫出一個符合上述條件的的值：　 　.
【答案】0
【知識點】一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：∵正比例函數的圖象經過第一、三象限，
∴2-k>0，
解得：k<2，
∴k=0（答案不唯一），
故答案為：k=0（答案不唯一）.
【分析】利用一次函數的圖象與系數的關系（①當k>0時，一次函數的圖象呈上升趨勢；②當k<0時，一次函數的圖象呈下降趨勢；③當b>0時，函數圖象經過y軸的正半軸；④當b<0時，函數圖象經過y軸的負半軸）可得2-k>0，再求出k的取值范圍即可.
10．（2024八上·深圳期中）在平面直角坐標系中，點在軸上，則點的坐標是　 　.
【答案】
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：∵點M在y軸上，
∴m+3=0，
解得：m=-3，
∴2m+4=2×（-3）+4=-2，
∴點M的坐標為（0，-2），
故答案為：（0，-2）.
【分析】利用y軸上點坐標的特征可得m+3=0，求出m的值，再求出2m+4的值，即可得到點M的坐標.
11．（2024八上·深圳期中）如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為“指距”．研究表明，一般情況下人的身高與指距滿足一次函數，若人的身高為時，指距為；當人的身高為時，指距為．籃球運動員姚明的身高為，則據此估計他的指距是　 　cm．（結果精確到）
【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：設與的函數關系式為．
由題意可得，
解得，
與之間的函數關系式；
當時，，
解得：
故答案為：．
【分析】
根據數據，利用待定系數法求出與之間的函數關系式，將代入解析式，求出指距即可解答．
12．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，，，以三角形各邊為直徑作半圓，其中兩半圓交于點，陰影部分面積分別記作和，則，之間應滿足的等式是　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；面積及等積變換
【解析】【解答】解：中，，
，
，
，
故答案為：．
【分析】根據勾股定理可得，再由計算即可求解．
13．（2024八上·深圳期中）如圖，在中，，點，分別在，邊上，連接，將沿翻折，點的對應點恰好落在的延長線上，且，連接，若，，則　 　．
【答案】
【知識點】二次根式的性質與化簡；三角形的面積；三角形內角和定理；勾股定理；線段的比
【解析】【解答】解：如圖所示，設與交于點O
∴
∵將沿翻折，點的對應點恰好落在的延長線上，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，，
∴
由折疊得，
∵，
∴
∴
解得（負值舍去）
∵
∴
∴．
故答案為：．
【分析】
如圖所示，設與交于點O，由折疊得到，然后結合得到，然后利用三角形內角和定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代數求解即可解答．
三、解答題（本大題共7小題，共61分）
14．（2024八上·深圳期中）計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】二次根式的加減法；二次根式的混合運算；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先化簡二次根式，再計算乘法，最后相減即可；
（2）根據二次根式的除法先化簡，再開立方根運算，再化簡絕對值，最后計算加減求解即可解答．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．（2024八上·深圳期中）下面是小明同學計算的過程，請認真閱讀并完成相應的任務，
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任務一：小明同學的解答過程從第 步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是 ．
任務二：請你寫出正確的計算過程．
【答案】解：任務一：二； 去括號后，括號內第二項沒有變號．
任務二：
．
【知識點】二次根式的混合運算；去括號法則及應用
【解析】【分析】
去括號時，括號前是“”號，去括號后，括號內的各項都要變號．故而可判斷解答過程從第二步開始出現錯誤，再根據去括號法則更正錯誤，并寫出正確的計算過程即可解答．
16．（2024八上·深圳期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，．
（1）畫出關于軸對稱的；
（2）的面積是 ；
（3）已知為軸上一點，若的面積為4，則點的坐標為 ．
【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）4
（3），
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質；坐標與圖形變化﹣對稱；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】
解： (2)的面積為：；
故答案為：4，
（3）由題意，得：，
∴，
∴或，
∴點的坐標為，．
故答案為：，，
【分析】
（1）根據軸對稱的性質，畫出即可解答；
（2）分割法求出三角形的面積即可；
（3）根據的面積為4，建立方程求出點的縱坐標，即可解答．
（1）解：如圖，即為所求；
（2）的面積為：；
（3）由題意，得：，
∴，
∴或，
∴點的坐標為，．
17．（2024八上·深圳期中）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”數形結合是解決數學問題的重要思想方法．數軸是數形結合的產物，用數軸上的點可以直觀地表示實數，從而建立起“數”與“形”之間的聯系．
（1）如圖1，點是原點，點對應的實數為，過點作垂直于數軸，且，連接，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，那么點對應的實數為 ；
（2）在（1）的條件下，若將線段向右平移，使得點對應的實數為1，那么此時點對應的實數為 ；
（3）如圖2，點對應的實數是3，射線垂直數軸于點，請在數軸上作出對應的點．（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡）
【答案】（1）
（2）
（3）解：由題意知，，如圖，在上取，連接，
∵，
∴如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作．
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理；數形結合；運用勾股定理在數軸上標出無理數對應點
【解析】【解答】解：（1）由題意知，，
由勾股定理得，，
∴點對應的實數為，
故答案為：；
（2）由題意知，此時點對應的實數為；
故答案為：；
【分析】
（1）由勾股定理得，，則點對應的實數為，解答即可；
（2）由題意知，此時點對應的實數為，解答即可；
（3）由題意知，，如圖，在上取，連接，由，如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作，即可解答．
（1）解：由題意知，，
由勾股定理得，，
∴點對應的實數為，
故答案為：；
（2）解：由題意知，此時點對應的實數為；
故答案為：；
（3）解：由題意知，，
如圖，在上取，連接，
∵，
∴如圖，取點，表示的數為，然后以為圓心，為半徑畫弧，右側交點即為，點即為所作．
18．（2024八上·深圳期中）小聰發現美宜佳超市裝的是自動門，自動門上方裝有一個感應器，當人體進入感應器的感應范圍時，感應門就會自動打開．如圖，點處裝著一個感應器，感應器的最大感應距離恰好等于它離地的高度，已知小聰的身高為米，當他走到離門米時（米），感應門自動打開，即，求感應器的離地高度為多少米？
【答案】解：如圖，過點作于點，
由題意得，米，米，
設米，則米，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
所以米，
答：感應器的離地高度為2.5米．
【知識點】勾股定理；勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【分析】過點作于點，設米，則米，在中，利用勾股定理進行計算求解即可解答．
19．（2024八上·深圳期中）類比推理是根據一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法．著名數學家波利亞認為“類比就是一種形似”．類比推理思想在初中代數推理學習中也被廣泛應用．
【特例感知】
觀察下列等式：，．
（1）根據上述特征，計算： ．
【嘗試類比】
（2）已知一次函數（為正整數）與軸、軸分別交于，兩點，為坐標原點，設的面積為．
① ；
②求的值．
【類比遷移】
（3）計算： ．
【答案】解：（1）；
（2）①；
②∵，
∴，
∴的值為．
（3）（或）
【知識點】分式的加減法；三角形的面積；一次函數圖象與坐標軸交點問題；探索規律-數列中的規律
【解析】【解答】解：（1），
故答案為：．
（2）當時，，則，
當時，，
解得，，
∴，
∴，
①當時，，
故答案為：；
（3）
，
故答案為：．
【分析】
（1）根據，計算求解即可解答；
（2）當時，當時，可求，，則，①當時，，計算求解即可解答；②由，可得 ，計算求解即可解答；
（3）根據，計算求解即可解答．
20．（2024八上·深圳期中）創新小隊在學習一次函數的圖象與性質時，發現一次函數圖象的平移實際上是圖象上每個點沿著相同的方向平移，平移前后兩個對應點之間的距離叫做平移距離．
【探究發現】
（1）以一次函數如何平移得到一次函數為例進行探究．
①請在平面直角坐標系中，畫出一次函數的圖象，與軸交于點，與軸交于點；
②觀察圖象發現，將點、點分別向上平移 個單位，平移后的點在直線上．事實上，將一次函數圖象上的每個點按上述方式平移，平移后的點都在直線上，平移距離為4個單位．
③請你嘗試再寫出另一種點的平移方式：將一次函數圖象上的點向 平移，平移距離為 個單位，可得直線．
④若要使得平移距離有最小值，點，應該如何平移，請在平面直角坐標系中，作出平移后的對應點，．
【深入探究】
（2）將一次函數按平移距離最小值的方式平移到，則平移距離為 （用，表示）．
【拓展升華】
（3）如圖，已知正方形各邊平行于坐標軸，且邊長為，點坐標為，若線段，且點，在直線上，平移線段使得線段端點恰好落在正方形的邊上，則平移距離的最小值為 ．
【答案】解：（1）①當，當，則，
∴，
則作圖如圖：
；②4；③左，4；
④點即為所求
過點分別作直線的垂線，垂足為，由垂線段最短得到直線沿射線方向平移，平移距離為；
（2）；
（3）
【知識點】垂線段最短及其應用；正方形的性質；平移的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）②對于直線，當，
∴點向上平移4個單位與重合，向上平移4個單位與重合，
故答案為：4；
③同理可求直線與軸交點為，而，
∴向左平移4個單位與點重合，
∴直線向左平移4個單位得到直線，
故答案為：左，4；
（2）記直線與與軸分別交于點，如圖
同上可求，
∴，
∴，
同理，
由題意得，
則為等腰直角三角形，
∴，
設，
則由勾股定理得：，
解得：（舍負），
即平移距離為
故答案為：；
（3）同上可得，延長交于點，
由得，
∴，
同上可得，
∴，
∴
∴由上知當沿著方向平移時，落在正方形的邊上時，平移距離最短，即為長，
在等腰中，，同上可得，
由平移得，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴軸，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
同理為等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴平移得最小值為，
故答案為：．
【分析】
（1）①求出直線與坐標軸的交點即可作圖；②由點向上平移4個單位與直線上的重合，即可確定平移距離；③同理可求直線與軸交點為，而，則向左平移4個單位與點重合，繼而直線向左平移4個單位得到直線；④根據垂線段最短即可確定平移方式，解答即可；
（2）同上可求，，則，，為等腰直角三角形，則，設，則由勾股定理得：，即可求解；
（3）同上可得，延長交于點，可得，則由上知當沿著方向平移時，落在正方形的邊上時，平移距離最短，即為長，在等腰中，，同上可得，可求，，由得，則，那么，即可求解．
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