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第一章 三角形的初步知識
1.5.1三角形全等的判定
教學目標
1.探索并掌握判定兩個三角形全等的基本事實:三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS).
2.了解三角形的穩定性及其應用.
3.會運用“SSS”判定兩個三角形全等.
4.掌握角平分線的尺規作圖.
錢塘江大橋由著名橋梁工程師茅以升設計,建成于1937年,是我國第一座鐵路、公路兩用雙層橋.橋上有許多全等的三角形結構.
全等三角形的性質是什么？
全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
情境導入
△ABC和△A'B'C'全等，說出它們的對應邊以及對應角
對應邊：BC和B'C',CA和C'A',AB和A'B'
對應角：∠A和∠A',∠B和∠B',∠C和∠C'
思考:從六個條件中至少選出幾個條件可以使得兩個三角形全等
探究新知
一個條件:有一個角相等或一條邊相等
動手操作:畫出一個角為50°的三角形和一條邊為3cm的三角形，與同桌互相比較所畫的三角形，它們能重合嗎？
有一個角相等或一條邊相等的兩個三角形不一定全等
探究新知
兩個條件:有兩個角對應相等、有兩條邊對應相等、或一條邊，一個角對應相等
動手操作:畫出一個角為60°和一個角為45°的三角形，與同桌互相比較所畫的三角形，它們能重合嗎？
有兩個角對應相等的兩個三角形不一定全等
探究新知
有兩條邊對應相等
動手操作:畫出一條邊為5cm和一條邊為7cm的三角形，與同桌互相比較所畫的三角形，它們能重合嗎？
有兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等
探究新知
有一條邊對應相等和一個角對應相等
動手操作:畫出一條邊為5cm和一個角為40°的三角形，與同桌互相比較所畫的三角形，它們能重合嗎？
有一條邊對應相等和一個角對應相等的兩個三角形不一定全等
探究新知
動手操作:畫出三個角都為60°的三角形，與同桌互相比較所畫的三角形，它們能重合嗎？
有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等
探究新知
畫法：如圖
1.畫線段EF=1.3cm.
2.分別以點E,F為圓心,2.5cm,1.9cm長為半徑畫兩條圓弧,交于點D(或D').
3.連結DE,DF (或D'E,D'F). △DEF(或△D'EF)即所求作的三角形.
把你畫的三角形與其他同學所畫的三角形進行比較,它們能互相重合嗎
按照下面的方法,用刻度尺和圓規在一張透明紙上畫△DEF,使其三邊長分別為1.3cm,1.9cm和2.5cm.
探究新知
一般地,我們有如下基本事實:
三邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).
幾何語言：
在△ABC和△A'BC'中
∵
∴ △ABC≌△A'BC'（SSS）
探究新知
讓我們動手做下面的實驗:
如圖 ,把兩根木條的一端用螺栓固定在一起,木條可以自由轉動.在轉動過程中,連結另兩個端點所成的三角形的形狀、大小隨之改變.如果把另兩個端點用螺栓固定在第三根木條上,那么構成的三角形的形狀、大小就完全確定.
從上述實驗可以看出,當三角形的三條邊長確定時,三角形的形狀、大小完全被確定,這個性質叫做三角形的穩定性,這是三角形特有的性質.
探究新知
三角形的穩定性在生產和日常生活中有廣泛的應用.例如,房屋的人字架、大橋的鋼梁、起重機的支架等,都采用三角形結構，以起到穩固的作用.
探究新知
例1 已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求證:∠A=∠C.
證明:在 △ABD和△CDB中，
∵
∴△ABD≌△CDB (SSS).
∴∠A=∠C (全等三角形的對應角相等).
例題精講
圖1
例2 已知∠BAC（圖1）,用直尺和圓規作∠BAC的平分線AD,并說出該作法正確的理由.
作法：如圖2.
1.以點A為圓心，適當長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于E,F兩點.
2.分別以E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠BAC內一點D.
3.過點A,D作射線AD.射線AD就是所求作的∠BAC的平分線.
圖2
例題精講
事實上,如圖,連結DE,DF.
在 △ADF和△ADE中，
∵
∴△ADF≌△ADE (SSS)
∴∠1=∠2 (全等三角形的對應角相等),即AD平分∠BAC.
例題精講
1.如圖，木工師傅用4根木條釘成一個四邊形木架ABCD，要使這個木架不變形，木工師傅至少要再釘上木條( )
4根　 　
B. 3根
C. 2根　 　
D. 1根
D
課堂練習
2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，點E在AD上，依據“SSS”可以直接判定( )
A. △ADB≌△ADC
B. △ABE≌△ACE
C. △BDE≌△CDE
D. 以上都不對
B
課堂練習
3.如圖,AB∥CD,以點B為圓心,小于DB長為半徑作圓弧,分別交BA、BD于點E、F,再分別以點E、F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩弧交于點G,作射線BG交CD于點H.若∠D=120°,則∠DHB的度數為
　　　　°.
30
課堂練習
1．如圖,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,則∠ACD的度數是(　　)
A.120°　　　　
B.125°　　　　
C.127°　　　　
D.104°
C
課堂練習
2.如圖,李叔叔家的凳子壞了,于是他給凳子加了兩根木條,這樣凳子就比較牢固了,他所應用的數學原理是　　　　　　　　　　　　.
三角形的穩定性
課堂練習
如圖，C是AE的中點，AB＝CD，CB＝ED.求證：AB∥CD.
證明：∵C是AE的中點，
∴AC＝CE.
在△ABC和△CDE中，
∵
∴△ABC≌△CDE(SSS)，
∴∠A＝∠ECD(全等三角形的對應角相等)
∴AB∥CD.
課堂練習
“邊邊邊”定理是什么？如何用幾何語言描述？
三邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).
幾何語言：
在△ABC和△A'BC'中
∵
∴ △ABC≌△A'BC'（SSS）
課堂總結
【知識技能類作業】
1．如圖，點E，F均在線段BC上，AB＝D C，AE＝DF，BF＝CE.下列結論中，不一定成立的是( )
∠B＝∠C
B. AF∥DE
C. AE＝DE　
D. AB∥DC
C
作業布置
【知識技能類作業】
2.如圖，AB=DC,AE=DF,CE=BF,∠B=55°，則∠C=（ ）
A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
B
作業布置
【知識技能類作業】
3.如圖，E是BD的中點，A，E，C三點共線．若AB＝AD，BC＝DC，則圖中全等三角形共有( )
4對　 　
B. 3對
C. 2對　 　
D. 1對
B
作業布置

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