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教材回歸專題(四)與等腰三角形有關(guān)的計算與證明
一 與等腰三角形有關(guān)的計算與證明
【教材母題1】
已知:如圖,在△ABC 中,AB=AC,D 為CA延長線上一點,DE⊥BC,交 AB 于點 F。求證:∠D=∠AFD。
【思想方法】“對頂角相等”“等邊對等角”及等腰三角形“三線合一”是進行角度轉(zhuǎn)化的重要根據(jù)。在證明結(jié)論的過程中，主要運用轉(zhuǎn)化思想。
【變式】(改變條件，定點變動點；改變設問，證明變?yōu)樘骄?
1.(1)如圖 1,P 為等腰三角形ABC 底邊 BC 上的一個動點，過點 P 作 BC 的垂線，交直線 AB于點Q,交CA 的延長線于點R。AR 與AQ 之間有何數(shù)量關(guān)系 請證明你的猜想。
(2)如圖2，當點 P 沿著底邊 BC 所在的直線運動到CB 的延長線上時，其余條件不變，(1)中猜想還成立嗎 請你在圖2 中補全圖形，并給予證明。
二 與等邊三角形有關(guān)的計算與證明
【教材母題2】
已知：如圖，點A'，B'，C'分別在等邊三角形 ABC的三邊上，且AC'=BA'=CB'。 求證:△A'B'C'是等邊三角形。
【思想方法】等邊三角形是等腰三角形，等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)。“等邊三角形的三條邊都相等，三個角都等于 60°”“有一個角是 60°的等腰三角形為等邊三角形”是解決與等邊三角形有關(guān)問題的常用依據(jù)。
【變式】(基本圖形不變，改變條件和設問)
2.如圖,在等邊三角形ABC中,BC=8,過 BC 邊上一點 P,作∠DPE=60°,分別與邊 AB,AC相交于點 D 與點 E。
(1)在圖中找出與∠EPC 始終相等的角，并說明理由。
(2)若△PDE 為等邊三角形,求 BD+CE的值。
拓展性任務
1.如圖,B,E,C,F 是直線 l 上的四點,AC,DE相交于點 G,AB=DF,AC=DE,BC= EF。求證：△GEC是等腰三角形。
2.如圖 1,在等邊三角形 ABC中,D 是AB 邊上的動點，以CD 為一邊，向上作等邊三角形EDC,連結(jié)AE。
(1)△DBC 與△EAC 全等嗎 請說說你的理由。
(2)求證:AE∥BC。
(3)如圖 2，若動點 D 運動到邊 BA 的延長線上，所作△EDC 仍為等邊三角形，請問 AE∥BC 是否仍然成立 證明你的猜想。
3.已知 C 為線段AB 上一點,分別以 AC,BC 為邊在線段AB 的同側(cè)作△ACD 和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直線AE與 BD 相交于點 F。
(1) 如 圖 1, 若 ∠ACD = 60°, 則 ∠AFB = °。如圖2,若∠ACD=90°,則∠AFB= °。如圖3,若∠ACD=α,則∠AFB= (用含α的代數(shù)式表示)。
(2)設∠ACD=α,以點 C 為旋轉(zhuǎn)中心,將圖 3中的△ACD 按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度(交點 F 至少在 BD，AE 中的一條線段上，如圖4)，試探究∠AFB 與α的數(shù)量關(guān)系，并予以證明。
教材回歸專題(四)與等腰三角形有關(guān)的計算與證明
【教材母題1】略
1.(1)AR=AQ。證明略 (2)猜想仍然成立,略
【教材母題2】略
2.(1)∠BDP=∠EPC。理由略 (2)8
拓展性任務
1.略
2.(1)△DBC與△EAC全等。理由略 (2)略 (3)AE∥BC仍然成立。證明略
3.(1)12090180°-α (2)∠AFB=180°-α。證明略

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