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教材回歸專題(三)數(shù)學(xué)建模之角平分線十平行線
【數(shù)學(xué)建模】“雙平”模型：如圖，P是∠MON 的平分線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P 作 PQ∥ON,交 OM 于點(diǎn)Q，則△POQ是等腰三角形。
【教材母題】
如圖,在△ABC中,AB=AC,CD 是∠ACB 的平分線,DE∥BC,交 AC 于點(diǎn) E,且∠CDE=25°。求∠A,∠B 的度數(shù)。
【思想方法】有角平分線時(shí)，要善于利用相關(guān)的平行線(或過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線)構(gòu)造等腰三角形。它能為證明結(jié)論提供更多的條件，這里體現(xiàn)出了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。
【變式 1】(條件與結(jié)論互換)
1.如圖,在△ABC中,AB=AC,CD 為∠ACB 的平分線, DE∥BC,∠A = 40°,求∠EDC 的度數(shù)。
【變式 2】(變?yōu)槔媒Y(jié)論探究)
2.如圖,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC,交 AB 于點(diǎn) D,交 AC于點(diǎn) E。
(1)探索:DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系。
(2)若AB=7,AC=5,求△ADE 的周長(zhǎng)。
【變式3】(改變圖形形狀，把條件與結(jié)論互換)
3.如圖,AE平分∠BAC,AC=CE。
(1)求證:AB∥CD。
(2)若∠C=50°,求∠AED 的度數(shù)。
4.如圖,在△ABC 中,AB>AC,AF 是角平分線,D 是 AB 上一點(diǎn),且 AD=AC,作 DE∥BC,交 AC 于點(diǎn) E,連結(jié) DF。求證:DC 平分∠EDF。
拓展性任務(wù)
1.如圖,已知∠AOB,作∠AOB 的平分線OC,將直尺 DEMN 按如圖所示的方式擺放，使 EM邊與OB 邊重合,頂點(diǎn) D 落在OA 邊上,DN邊與OC 相交于點(diǎn) P。
(1)猜想:△DOP 是 三角形。
(2)請(qǐng)對(duì)(1)中猜想到的結(jié)論進(jìn)行證明。
2.如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) A 作AE∥BC,交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。
(1)求∠ADB 的度數(shù)。
(2)求證:△ADE 是等腰三角形。
3.(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD 平分∠ACB,過(guò)點(diǎn) D 作 EF∥BC,分別交 AB,AC于E,F 兩點(diǎn),則圖中共有 個(gè)等腰三角形。EF 與BE,CF 之間的 數(shù) 量 關(guān) 系 是 ,△AEF 的 周長(zhǎng)是 。
(2)如圖2,若將(1)中“在△ABC中,AB=AC=10”改為“若△ABC 為三條邊都不相等的三角形,AB=8,AC=10”,其余條件不變,則圖中共有 個(gè)等腰三角形。EF 與 BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么 證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)。
(3)如圖3,點(diǎn) D 在△ABC外,AB>AC,且 BD平分∠ABC,CD 平分△ABC 的外角∠ACG。過(guò)點(diǎn) D作DE∥BC,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn)，則 EF 與BE，CF 之間又有何數(shù)量關(guān)系呢 直接寫出結(jié)論，不用證明。
教材回歸專題(三)數(shù)學(xué)建模之角平分線十平行線
【教材母題】 ∠B=50°,∠A=80°
1.35°2.(1)DE=BD+CE(2)12
3.(1)略 (2)115° 4.略
拓展性任務(wù)
1.(1)等腰 (2)略 2.(1)108° (2)略
3.(1)5 BE+CF=EF20 (2)2,BE+CF=EF。證明略(3)BE-CF=EF

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