資源簡介

配套初中數學湘教版
第一章 因式分解
1.1 多項式的因式分解
一、教學目標
1.了解因式分解的意義，理解因式分解的概念.
2.認識因式分解與整式乘法的相互關系—互逆關系(即相反變形)，并能運用這種關系尋求因式分解的方法；
3.通過解決實際問題，學會將現實應用場景轉化為數學模型，運用所學數學知識探索解決方案，體驗解決問題策略的多樣性，增強實踐應用意識.
4.通過對因式分解與多項式乘法的觀察、比較與分析，提升代數式變形能力及轉化化歸思維，培養綜合分析問題與靈活應用知識的能力.
二、教學重難點
重點：理解因式分解的概念，知道因式分解與多項式乘法的相互關系.
難點：能判斷式子從左到右的變形是因式分解．
三、教學用具
電腦、多媒體、課件、教學用具等．
四、教學過程設計
【復習回顧】
1.多項式的乘法有幾種形式？
預設：
單項式乘以多項式：a(m+n)=am+an
多項式乘以多項式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些？
預設：
平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b
完全平方公式：(a±b) =a ±2ab+b
設計意圖：回顧多項式的乘法與乘法公式，為接下來探究多項式的因式分解做準備.
【探究新知】
【做一做】
利用乘法公式，試著完成下列各題.
(1)因為(x+1) =__________，所以x +2x+1=(x+1)( )；
預設：因為(x+1) =x +2x+1,所以x +2x+1=(x+1) =(x+1)(x+1).
(2)因為x(x-)=___________，所以x -x=x( ).
預設：因為x(x-)=x -x,所以x -x=x( x-).
思考：你發現了什么？
預設：左邊都是一個多項式，右邊是兩個多項式的乘積.
注意：單項式可看作只有一項的多項式.
設計意圖：既從多項式乘法正向運算得到多項式，又從多項式反向思考其因式分解形式，初步培養多項式乘法與因式分解的雙向思維，為得到因式分解的概念做準備.
【抽象】
一般地，對于多項式f與g，如果有多項式h使得f = gh，那么把g叫作f的一個因式，此時，h也是f的一個因式．
例如：由于x +2x+1=(x+1) ，則x+1是多項式x +2x+1的因式.
類似：由于x -x=x( x-)，則x和x-都是多項式x -x的因式.
一般地，把一個多項式表示成若干個多項式的乘積形式，稱為把這個多項式因式分解，也稱為分解因式.
設計意圖：從具體多項式運算實例抽象出因式、因式分解的一般概念，引導學生經歷從特殊到一般的思維過程，培養其抽象概括能力，使其能把握數學概念的本質特征.
【做一做】
下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？
(1) a2+2ab+b2= (a+b)2; (2) m2+m-4=(m +3) (m-2)+2.
解: （1）是.因為從左邊到右邊是把多項式a2+2ab + b2表示成了多項式a+b與a+b的積的形式.
（2）不是.因為(m +3) (m-2)+2不是幾個多項式乘積的形式.
歸納：①每個因式必須是整式. ②分解的結果一定是積的形式.
設計意圖：通過做一做，鞏固對因式分解概念的理解，初步感受因式分解的特征.
【議一議】
多項式的因式分解與多項式的乘法之間有什么關系 與同學交流你的想法.
預設：是相反的變形，即
注意：左邊是多項式，右邊是幾個多項式的乘積.
設計意圖：通過引導學生探討因式分解與多項式乘法的關系，讓學生深入理解二者本質，明確因式分解是將多項式化為乘積形式，而多項式乘法是由因式得到多項式，強化對這兩個重要概念的記憶與理解.
【應用新知】
例1 填空：
因為(x-2)(x-3)=____________,
所以__________=(x-2)(x-3)是多項式______________的因式分解.
分析：先算多項式的乘法，再根據多項式的乘法與因式分解互逆，即可解答.
解: (x-2)(x-3)=x -3x-2x+(-2)×(-3)
=x -5x+6,
因此三個空格都填寫x -5x+6.
例2下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解嗎？若是，說明理由并指出它的因式；若不是，說明理由即可.
(1) x(x-2y)=x -2xy； (2) x -2x+1=x(x-2)+1；
(3)3x x=x(3x )； (4) xy-x-y+1=(x-1)(y-1).
解：(1)不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2)不是因式分解，理由：等式右邊不是幾個多項式的乘積形式.
(3)是因式分解，理由：等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且x(3x )=3x x，因而符合因式分解的定義.3x x的因式為x和3x .
(4)是因式分解，理由：等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且(x-1)(y-1)=xy-x-y+1，因而符合因式分解的定義.xy-x-y+1的因式為x-1和y-1.
歸納：因式分解與多項式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個多項式的積的形式，多項式乘法的右邊是多項式的形式．
例3檢驗下列因式分解是否正確.
（1）x2+xy=x(x+y)；
（2）a2-5a+6=a(a-5)+6；
（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).
解：
（1）因為x( x+y )=x2+xy，所以（1）正確；
（2）因為(a-2 )(a-3)=a2-5a+6，所以（2）不正確；
（3）因為(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正確.
設計意圖：通過例題鞏固多項式的因式分解，同時為學生提供解題范例，提高學生的解題規范性和準確性.
【課堂練習】
1.填空：
因為(x-4)(x+5)=____________,
所以__________=(x-4)(x+5)是多項式______________的因式分解.
解：(x-4)(x+5)=x +5x-4x+(-4)×5
=x -x-20,
因此三個空格都填寫x -x-20.
2.下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解嗎 若是，說明理由并指出它的因式；若不是，說明理由即可，
(1) (x +1)(x+2)=x +3x+2； (2) 2x y+4xy =2xy(x+2y)；
(3) x -2 = (x +1)(x-1)-1； (4) 4x -4x+1=(2x-1) .
解：(1)不是因式分解，理由:它是整式的乘法.
(2)是因式分解，理由：等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且2xy(x+2y)= 2x y+4xy ，因而符合因式分解的定義.2x y+4xy 的因式為2xy和x+2y.
(3)不是因式分解，理由：等式右邊不是幾個多項式的乘積.
(4)是因式分解，理由：等式右邊是兩個多項式的乘積形式，且(2x-1) = 4x -4x+1，因而符合因式分解的定義.4x -4x+1的因式為2x-1.
3. (7x-y)(7x+y)是下列哪一個多項式因式分解的結果( )
A.49x2+y2 B.-49x2+y2 C.49x2-y2 D.-49x2-y2
解：C.
4.若多項式x2+ax+b分解因式的結果為a(x-2)(x + 3)，求a，b的值.
解：因為x2+ax+b=a(x-2)(x + 3)，
即x2+ax+b=ax2+ax-6a，
所以a = 1，b =-6a =-6，
5.甲、乙兩個同學分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結果為(x+1)(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看錯了b，但a是正確的，
其分解結果為x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理，乙看錯了a，但b是正確的，
其分解結果為x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴a+b=15．
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣.
【總結歸納】
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：

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