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21.2.3 因 式 分 解 法
第二十一章 一元二次方程
第一課時
學 習 目 標
1
2
3
了解因式分解法解一元二次方程的概念。
會用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。
通過探索因式分解法解一元二次方程的過程，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。
知識回顧
1.我們已經學過了幾種解一元二次方程的方法
（1）配方法
（2）公式法
已知
當時
等號兩邊同時開平降次為一元一次方程
當
一元二次方程的求根公式
配方化為
這兩個方法都需要先將一元二次方程化為一般形式
將a，b，c的值直接代入公式
知識回顧
2.什么叫因式分解？
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫分解因式.
（C為多項式，A、B是整式）
3.因式分解有哪些方法
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
（3）十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
對于有的多項式需要先適當分組再因式分解
4.若 =0，能得出什么結論？
若 =0 ，則=0或=0
實數(shù)乘法法則
根據(jù)上述規(guī)律,物體經過多少秒落回地面(結果保留小數(shù)點后兩位)
解：設物體經過x秒落回地面，由題意得：
小球最終回到地面，
此時離地高度為0
嘗試用配方法和公式法求方程的解？
導入新課
根據(jù)物理學規(guī)律,如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經過x s離地面的高度(單位：m)為10x-4.9x2
10x-4.9x2 =0 ①
配方法
解方程 10x-4.9x2=0
解：移項得，
4.9x2 -10x=0
系數(shù)化為1得，x2 - x =0
配方得，
x 2 - x +=
整理得， =
由此可得， =±
則= ≈2.04
公式法
解：移項得，
4.9 x 2 -10 x =0
a=4.9,b=-10,c=0
Δ=b2-4ac=100>0
方程有兩個不等的實數(shù)根
=
即x 1=, x 2=≈2.04
導入新課
做一做
新知探究
①
探究點1
因式分解法
方程10x - 4.9x 2 = 0化為：
；
∴ 方程的解為：x 1 = 0，x 2 =.
　x = 0
或 10-4.9x = 0
討論
因式分解：10x - 4.9x 2= ；
x (10-4.9x )
x (10-4.9x ) = 0
若 =0 ，
則=0或=0
除了配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程
①
配方法
公式法
降次
=
新知探究
探究點1
因式分解法
①
因式分解
降次
轉化為每個一次因式等于0，
得到兩個一次方程
x (10-4.9x ) = 0
10x - 4.9x 2=0 ①
∴ x 1 = 0，x 2 =.
　x = 0
或 10-4.9x = 0
思考：
二次方程①如何降為一次的
因式分解法：
當一元二次方程的一邊為0時，將方程的另一邊分解成兩個因式的積，進而轉化為兩個一元一次方程求解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
典例分析
探究點1
因式分解法
方程 0(≠0)
通過變形和因式分解
(+p)(+q)=0
+p=0或+q=0
=-p或+=-q
化為一次方程
寫出方程的解
例1．方程的正確解法是（ ）
A．化為
B．
C．化為
D．化為
先移項為
提公因式（x+1）可得
【解析】
注意：方程兩邊不能同時除以
C
例2　　因式分解法解下列方程:
典例分析
探究點1
因式分解法
解：
或
方程= =
因式分解
（1）
（2）
或2
因式分解
方程= -=
歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解.
新知探究
探究點2
正確運用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的一般步驟
討論
①移項,使一元二次方程等式右邊為0;
②分解，把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式的積;
③賦值，分別令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程;
④求解，分別解這兩個一元一次方程，得到方程的解。
由于不是所有的方程都能因式分解，這種方法僅限于能因式分解的一元二次方程.
典例分析
探究點2
正確運用因式分解法解一元二次方程
例3.用因式分解法解方程：
5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0
解：
（1）方程化為
因式分解得：
或
解得= =
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
方法二：利用公式直接因式分解
方法一
解：（1）方程化為
方法二
解得= =
典例分析
探究點2
正確運用因式分解法解一元二次方程
例3.用因式分解法解方程：
5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0
解：
（2）移項，方程化為
因式分解得：
或
解得= =
方法一
解：（1）方程化為
方法二
方法二：
先化為一般式再因式分解
解得= =
典例分析
探究點2
正確運用因式分解法解一元二次方程
例3.用因式分解法解方程：
5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0
解：
（3）因式分解得：
或
解得= =
公因式，直接因式分解
（）（5x-(x＋1)）=0
（）（4x-1）=0
拓展提升
1.解方程組:
解: 由(2)得:
代入(1)中得
解得= =
當= 時
當= 時
∴解方程組的解:
或
1.用因式分解法解下列方程.
（4）
2
（1）因式分解，得
解：
或
解得= =-1
教材P14練習
（2）因式分解，得
或
解得= =
鞏固練習
1.用因式分解法解下列方程.
（4）
2
（3）化簡方程得：
解：
∴
解得= =1
教材P14練習
（4）因式分解，得
或
解得= - =
鞏固練習
1.用因式分解法解下列方程.
（4）
2
（5）化簡方程得：
解：
或 3
解得= - =-
教材P14練習
（6）化簡方程得：
-
或
解得= =
鞏固練習
鞏固練習
2.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍，求小圓形場地的半徑.
解：設小圓形場地的半徑為r
根據(jù)題意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
得
答：小圓形場地的半徑是m
（不合題意，舍去）
教材P14練習
鞏固練習
3．若等腰三角形的底和腰是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D． 不能確定
解方程
解得：，．
∵三角形為等腰三角形
∴腰為5，底為2,（腰為2，底為5舍去）
∴周長為12。
【解】
C
1.(2024·四川涼山·中考真題)已知， 則的值為___.
真題感知
∵ ，∴
將代入=0 ,
得，=0 ，
即=0 ，
∴=0 或 ,
解得= =
∵ ≥0
∴ = 舍去,
∴ =
3
解:
真題感知
2.（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：
你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
移項，得
，
提取公因式，得
，
去括號，得
，
則或，
解得：，．
方程兩邊不能同時除以含未知數(shù)的代數(shù)式
提公因式后去括號符號不對
正確解答：
課堂小結
方程 0(≠0)，通過變形和因式分解，變成(x+p)(x+q)=0的形式，則x+p=0或x+q=0，進而解出方程。
依據(jù)
如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即
若ab=0，則a=0或b=0.
步驟
（1）方程右邊化為0；
（2）將方程左邊因式分解；
（3）根據(jù)至少有一個因式為零，得到兩個一元一次方程；
（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
因式分解法解一元二次方程

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