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5.4.3　正切函數的性質與圖象（同步檢測）
一、選擇題
1.函數f(x)＝tan (ω＞0)的圖象與直線y＝a(a∈R)的兩相鄰交點間的距離為2π，則ω＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
2.函數y＝tan 在一個周期內的圖象是下圖中的(　　)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))
3.已知函數y＝tan ωx在內單調遞減，則(　　)
A.0＜ω≤1 B.－1≤ω＜0
C.ω≥1 D.ω≤－1
4.已知函數f(x)＝2tan ，則下列判斷正確的是(　　)
A.f(x)的定義域是 B.f(x)的值域是R
C.f(x)是奇函數 D.f(x)的最小正周期是π
5.函數y＝2tan 的定義域是(　　)
A. B.
C. D.
6.函數f(x)＝tan 的單調遞增區間是(　　)
A.，k∈Z B.(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
7.下列坐標所表示的點不是函數y＝tan 圖象的對稱中心的是(　　)
A. B.
C. D.
8.（多選）下列四個函數中，以π為周期，且在區間上單調遞減的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝cos 2x
C.y＝－tan x D.y＝sin |2x|
9.（多選）已知函數f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，則下列結論正確的是(　　)
A.f(x1＋π)＝f(x1) B.f(－x1)＝f(x1)
C.＞0 D.f＞(x1x2＞0)
二、填空題
10.函數y＝tan ，x∈的值域是　　　　　　
11.函數y＝x tan x是________(填“奇”或“偶”)函數．
12.函數f (x)＝tan ωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長為，則ω=_____
13.函數y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的最大值為　　　　，最小值為　　　　．
三、解答題
14.若x∈，求函數y＝＋2tanx＋1的最值及相應的x的值．
15.畫出函數y＝|tan x|的圖象，并根據圖象判斷其單調區間、奇偶性、周期性．
16.已知函數f (x)＝3tan．
(1)求它的最小正周期和單調遞減區間；
(2)試比較f (π)與f 的大小．
參考答案及解析：
一、選擇題
1.B　解析：∵f(x)＝tan (ω＞0)的圖象與直線y＝a(a∈R)的兩相鄰交點間的距離為＝2π，∴ω＝.故選B.
2.A　解析：由函數周期T＝＝2π，排除選項B，D.將x＝代入函數式中，得tan ＝tan 0＝0.故函數圖象與x軸的一個交點為.故選A.
3.B　解析：因為y＝tan ωx在內是減函數，所以ω＜0且T＝≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
4.B　解析：對于函數f(x)＝2tan ，應有2x＋≠kπ＋，k∈Z，求得x≠＋，k∈Z，可得函數的定義域為，故A錯誤；顯然，函數y的值域為R，是非奇非偶函數，故B正確，C錯誤；函數的最小正周期為，故D錯誤．
5.D　解析：由3x＋≠kπ＋，解得x≠＋，k∈Z，所以函數的定義域是.故選D.
6.C 解析：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f(x)的單調遞增區間是，k∈Z.
7.C 解析：令3x－＝，k∈Z，解得x＝＋(k∈Z)，當k＝0，1，2時，x＝，，，A，B，D均符合題意．故選C.
8.AC　解析：∵y＝|sin x|的最小正周期為＝π，且在區間上單調遞減，故A滿足條件．∵y＝cos 2x的最小正周期為＝π，且在區間上單調遞增，故B不滿足條件．∵y＝－tan x的最小正周期為π，且在區間上單調遞減，故C滿足條件．∵y＝sin |2x|沒有周期性，故D不滿足條件．故選AC.
9.AC　 解析：f(x)＝tan x的周期為π，故A正確；函數f(x)＝tan x為奇函數，故B不正確；f(x)＝tan x在區間上單調遞增，故C正確；由函數f(x)＝tan x的圖象可知，函數在區間上有f＞，在區間上有f＜，故D不正確．
二、填空題
10.答案：（1, ]　
解析：由0＜x≤，得0＜≤，從而＜＋≤，所以tan ＜tan ≤tan ，即1＜tan ≤ .
11.答案：偶　
解析：令f(x)＝x tan x，因為f(x)的定義域為R，又因為f(－x)＝－x tan (－x)＝x tan x＝f(x)，所以y＝f(x)＝x tan x為偶函數．
12.答案：4　解析：由題意可得f (x)的周期為，則＝，∴ω＝4．
13.答案：4，－4　
解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，則t∈[－1，1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴當t＝1，即x＝時，ymax＝4；當t＝－1，即x＝－時，ymin＝－4.
三、解答題
14.解：y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因為x∈，所以tan x∈.
所以當tan x＝－1，即x＝－時，y取最小值1；
當tan x＝1，即x＝時，y取最大值5.
15.解：由y＝|tan x|，得y＝
其圖象如圖．
由圖象可知，函數y＝|tan x|是偶函數，最小正周期T＝π，單調遞增區間為(k∈Z)，單調遞減區間為(k∈Z).
16.解：(1)因為f (x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π．
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因為y＝3tan在(k∈Z)上單調遞增，
所以f (x)＝3tan在(k∈Z)上單調遞減．
故函數的最小正周期為4π，單調遞減區間為(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f ＝3tan＝3tan＝－3tan，
因為0<＜<，且y＝tan x在上單調遞增，
所以tan＜tan，所以f (π)＞f ．

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