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5.5.2　簡單的三角恒等變換（同步檢測）
一、選擇題
1.已知α∈，cos α＝，則tan ＝(　　)
A.3 B.－3
C. D.－
2.若sin (π－α)＝－且α∈，則sin 等于(　　)
A.－ B.－
C. D.
3.函數f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值為(　　)
A.1 B.－1
C. D.－
4.化簡·的結果為(　　)
A.tan α B.tan 2α
C.1 D.2
5.設a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，則有(　　)
A.b＞a＞c B.a＞b＞c
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
6.已知函數f (x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　)
A.f (x)的最小正周期為π，最大值為3 B.f (x)的最小正周期為π，最大值為4
C.f (x)的最小正周期為2π，最大值為3 D.f (x)的最小正周期為2π，最大值為4
7.函數f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)
A.最小正周期為π的奇函數 B.最小正周期為的奇函數
C.最小正周期為π的偶函數 D.最小正周期為的偶函數
8.(多選)若sin θ＝，＜θ＜3π，則(　　)
A.cos θ＝－ B.sin＝－
C.cos＝－ D.tan＝
9.(多選)下列選項中，值為的是(　　)
A.cos 72°cos 36° B.sin sin
C.＋ D.－cos215°
二、填空題
10.已知sin ＝，則cos2＝________
11.若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，則φ＝________
12.函數f(x)＝sin2x的最小正周期為________
13.已知等腰三角形的頂角的正弦值為，則它的底角的余弦值為________
三、解答題
14.證明：＝
15.已知函數f(x)＝2sin x cos x－2·cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和對稱中心；
(2)求f(x)的單調遞減區間；
(3)當x∈時，求函數f(x)的最大值及取得最大值時x的值．
16.如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形ABCD的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝向市政府大樓．設扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.
(1)將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數；
(2)若R＝45 m，求當θ為何值時，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(取≈1.414)
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參考答案及解析：
一、選擇題
1.D　解析：因為α∈，且cos α＝，所以∈，tan ＝－＝－＝－.
2.B　解析：由題意知sin α＝－，α∈，所以cos α＝－.因為∈，所以sin ＝cos ＝－＝－.故選B.
3.D　解析：由題意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，設t＝cos x(x∈[0，π])，y＝f(x)，則t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以當t＝，即x＝時，y取得最小值－.所以函數f(x)的最小值為－.故選D.
4.B 解析：原式＝·＝tan 2α.
5.A　解析：∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，∴b＞a＞c．故選A．
6.B　解析：易知f (x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f (x)的最小正周期為π，當x＝kπ(k∈Z)時，f (x)取得最大值，最大值為4．故選B．
7.D　解析：因為f(x)＝(1＋cos2x)·(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，又因為f(－x)＝f(x)，所以函數f(x)是最小正周期為的偶函數．故選D.
8.ABC　 解析：因為＜θ＜3π，所以cos θ＝－＝－，A正確；因為＜＜，所以sin＜0，cos ＜0，所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－，B，C正確；tan＝＝3，D錯誤．
9.AB　 解析：對于A，cos36°cos 72°＝＝＝＝，故A正確；對于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin ·cos ＝sin ＝，故B正確；對于C，原式＝＝＝＝＝4，故C錯誤；對于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D錯誤．故選AB.
二、填空題
10.答案：　 解析：因為cos＝sin ＝sin ＝，所以cos2＝＝＝.
11.答案：－　
解析：因為3sin x－cos x＝2＝2sin ，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
12.答案：π　解析：因為f(x)＝sin2x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
13.答案：或
解析：設等腰三角形的頂角為α，則底角為，由題意可知sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以cos＝sin ＝＝，所以cos＝或.
三、解答題
14.證明：左邊＝
＝＝＝＝.
右邊＝＝，所以左邊＝右邊，即等式成立．
15.解：(1)f(x)＝2sinx cos x－2cos2x＋＝sin2x－cos 2x＝2sin ，
∴f(x)的最小正周期為＝π.
由2x－＝kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)，
∴函數f(x)的對稱中心為(k∈Z).
(2)由2x－∈(k∈Z)，可得x∈(k∈Z)，
∴f(x)的單調遞減區間為(k∈Z).
(3)當x∈時，2x－∈，
∴2x－＝，即x＝時，函數f(x)取得最大值，最大值為.
16.解：(1)由題意，可知點M為的中點，所以OM⊥AD.
設OM與BC的交點為F，則BC＝2R sin θ，OF＝R cos θ，
所以AB＝OF－AD＝R cos θ－R sin θ，
所以S＝AB·BC＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R2·(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos 2θ)＝R2·sin －R2，θ∈.
(2)因為θ∈，所以2θ＋∈，所以當2θ＋＝，即θ＝時，S有最大值．
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故當θ＝時，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35 m2.

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