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5.7　三角函數(shù)的應(yīng)用（同步檢測(cè)）
一、選擇題
1.有一沖擊波，其波形為函數(shù)y＝－sin 的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰，則正整數(shù)t的最小值是(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
2.如圖為一半徑為3米的水輪，水輪圓心O距水面2米，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(米)與時(shí)間x(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝A sin (ωx＋φ)＋2，則有(　　)
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A.ω＝，A＝5 B.ω＝，A＝3
C.ω＝，A＝3 D.ω＝，A＝5
3.如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h(厘米)由如下關(guān)系式確定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知當(dāng)t＝2時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，則小球在t＝0秒時(shí)h的值為(　　)
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A.－2 B.2 C.－ D.
4.已知簡諧振動(dòng)的振幅是，圖象上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過點(diǎn)，則該簡諧振動(dòng)的頻率和初相是(　　)
A.，　　　　B.，
C.，　　　　D.，
5.已知簡諧運(yùn)動(dòng)f(x)＝2sin 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　)
A.T＝6，φ＝ B.T＝6，φ＝
C.T＝6π，φ＝ D.T＝6π，φ＝
6.商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動(dòng)節(jié)某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sin (t≥0)，則在下列時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的為(　　)
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
7.在兩個(gè)彈簧上各有一個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的小球做上下自由振動(dòng)．已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由s1＝5sin，s2＝10cos 2t確定，則當(dāng)t＝ s時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系是(　　)
A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能確定
8.(多選)一半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，則(　　)
A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒
B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米
C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米
D.點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h＝4sin＋2
9.(多選)下圖是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(　　)
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A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.8 s B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cm
C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大 D.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零
二、填空題
10.已知某種交流電電流I(單位：A)隨時(shí)間t(單位：s)的變化規(guī)律可以用函數(shù)I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，則這種交流電電流在0.5 s內(nèi)往復(fù)運(yùn)行______次．
11.單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的位移s和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin ，則單擺的運(yùn)動(dòng)周期為________，最大位移是________
12.已知某地一天從4點(diǎn)到16點(diǎn)溫度變化曲線近似滿足y＝10sin ，x∈[4，16]，則該地這一段時(shí)間內(nèi)的最大溫差為________
13.如圖所示的圖象顯示的是相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24 h內(nèi)的變化情況，則水面高度y關(guān)于從夜間0時(shí)開始的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為________
三、解答題
14.如果某地夏天從8～14時(shí)的用電量變化曲線近似滿足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如圖所示．
(1)求這一段時(shí)間的最大用電量和最小用電量；
(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
15.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
經(jīng)長期觀測(cè)，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝A cos ωt＋b的圖象．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；
(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？
16.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面100 m，最低點(diǎn)距離地面10 m，摩天輪上均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1～36號(hào)的36個(gè)座艙．開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)t min后距離地面的高度為H m，轉(zhuǎn)一周需要30 min.
(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)若甲、乙兩人分別坐在1號(hào)和7號(hào)座艙里，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．
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參考答案及解析：
一、選擇題
1.C　解析：由y＝－sin 的圖象知，要使在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰，必須使區(qū)間[0，t]的長度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故選C.
2.B　解析：因?yàn)樗喌陌霃綖?，水輪圓心O距離水面2米，A＝3，又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，故轉(zhuǎn)一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝.
3.D　解析：因?yàn)楫?dāng)t＝2時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，故×2＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈(－π，π)，故φ＝，故h＝2sin ，故當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2sin ＝.故選D.
4.C　解析：由題意可知，A＝，32＋＝52，則T＝8，ω＝＝，y＝sin .由sin φ＝，得sin φ＝.因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝.因此頻率是，初相為.
5.A 解析：T＝＝＝6，因?yàn)閳D象過點(diǎn)(0，1)，所以sin φ＝.因?yàn)椋堞铡埽驭眨?
6.C 解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π].故選C．
7.C　解析：當(dāng)t＝時(shí)，s1＝5sin＝5sin＝－5，
當(dāng)t＝時(shí)，s2＝10cos＝10×＝－5，故s1＝s2．故選C．
8.ABC 解析：設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度為h(米)和t(秒)的函數(shù)解析式為h＝Asin(ωt＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜，由題意，hmax＝6，hmin＝－2，
∴解得
∵T＝＝60，∴ω＝＝，則h＝4sin＋2.
當(dāng)t＝0時(shí)，h＝0，∴4sin φ＋2＝0，則sin φ＝－，
又∵|φ|＜，∴φ＝－. h＝4sin＋2，故D錯(cuò)誤；
令h＝4sin＋2＝6，∴sin＝1，得t＝20秒，故A正確；
當(dāng)t＝155秒時(shí)，h＝4sin＋2＝4sin 5π＋2＝2米，故B正確；
當(dāng)t＝50秒時(shí)，h＝4sin＋2＝4sinπ＋2＝－2米，故C正確．
9.ABD　解析：由圖可得半個(gè)周期為0.4 s，所以周期為0.8 s，A正確；平衡位置為x軸，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)是－5，故振幅為5 cm，B正確；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)速度為零，故C錯(cuò)誤，D正確．
二、填空題
10.答案：25　 解析：∵周期T＝＝(s)，∴頻率為每秒50次，∴0.5 s往復(fù)運(yùn)行25次．
11.答案：1，6　 解析：T＝＝1，最大位移為振幅6.
12.答案：20 ℃
13.答案：y＝－6sin x
解析：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則A＝6，T＝＝12，ω＝.當(dāng)x＝9時(shí)，ymax＝6，故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z，取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin x.
三、解答題
14.解：(1)觀察圖象知8～14時(shí)這一段時(shí)間的最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度．
(2)觀察圖象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12
所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，所以y＝10sin ＋40.
將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝. 所以所求解析式為y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
15.解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知T＝12，所以ω＝.
又因?yàn)閠＝0時(shí)，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3時(shí)，y＝1.0，得b＝1.0，
所以振幅為，函數(shù)解析式為y＝cos t＋1(0≤t≤24).
(2)因?yàn)閥＞1時(shí)，才對(duì)沖浪愛好者開放，
所以y＝cos t＋1＞1，cos t＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.
因?yàn)?≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9＜t＜15.
16.解：(1)根據(jù)題意設(shè)H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，
因?yàn)槟衬μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面高度為100 m，最低點(diǎn)距離地面10 m，即
解得A＝45，B＝55，
因?yàn)殚_啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30 min，所以T＝＝30，解得ω＝，
因?yàn)閠＝0時(shí)，H(0)＝10，所以10＝45sin φ＋55，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以H(t)＝45sin ＋55，t∈[0，30].
(2)因?yàn)榧住⒁覂扇朔謩e坐在1號(hào)和7號(hào)座艙里，設(shè)甲、乙兩人對(duì)應(yīng)的位置分別為B，A，如圖所示．
INCLUDEPICTURE "sx98.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小樣\\全優(yōu)人教數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(教師用書2023.8.9出教師用書)\\sx98.TIF" \* MERGEFORMATINET
則∠AOB＝×(7－1)＝，經(jīng)過t min后甲距離地面的高度為H1＝45sin ＋55，點(diǎn)A始終落后B點(diǎn) rad，
所以乙距離地面的高度為H2＝45sin ＋55，
所以兩人距離地面的高度差為
h＝|H1－H2|＝45＝45
＝45＝45，t∈[0，30]，
當(dāng)t－＝或t－＝，即t＝10或t＝25時(shí)，h取得最大值為45 m.
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為45 m．

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