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第一章 集合與常用邏輯用語（單元測試）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，則(　　)
A.M N B.N M
C.M∩N＝ D.M∪N＝R
2.命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　)
A.x∈R，x≠1或x≠－1 B.x∈R，x≠1且x≠－1
C.x∈R，x≠1或x≠－1 D.x∈R，x≠1且x≠－1
3.若集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝(　　)
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.2
4.已知全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，則A＝(　　)
A.(－2，1] B.(－3，－2)∪[1，3)
C.[－2，1) D.(－3，－2]∪(1，3)
5.下列各組中集合P與Q，表示同一個集合的是(　　)
A.P是由元素1，，π構成的集合，Q是由元素π，1，|－|構成的集合
B.P是由π構成的集合，Q是由3.141 59構成的集合
C.P是由2，3構成的集合，Q是由有序數對(2，3)構成的集合
D.P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數構成的集合，Q是方程x2＝1的解集
6.已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)
A.{x|x≤0或x≥1} B.{x|x≤－1或x≥2}
C.{x|0＜x＜1} D.{x|－1＜x＜2}
7.關于命題p：“ x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列判斷正確的是(　　)
A.該命題是全稱量詞命題，且為假命題 B.該命題是存在量詞命題，且為真命題
C. p： x∈N，6x2－7x＋2＞0 D. p： x N，6x2－7x＋2＞0
8.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是(　　)
A.a<0　　 B.a>0　　
C.a<－1　　 D.a>1
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9.下列式子中，可以是x2＜1的充分條件的有(　　)
A.x＜1 B.0＜x＜1
C.－1＜x＜1 D.－1＜x＜0
10.下列命題正確的有(　　)
A.A∪ ＝ B.(A∪B)＝(A)∪(B)
C.A∩B＝B∩A D.(A)＝A
11.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，則滿足條件的實數x可能為(　　)
A.2　　 B.－2　　
C.－3　　 D.1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上．
12.已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分條件，則實數a的取值范圍是________
13.設a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，b}，若P＝Q，則a2 023＋b2 024＝________
14.若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則＋的可能取值所組成的集合中元素的個數為________，所有元素的和為________
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（14分）已知集合M滿足：{1，2}M {1，2，3，4，5}，寫出集合M所有的可能情況．
16.（14分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．
(1)求A；(2)求B∪(A)．
17.（15分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求滿足下列條件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．
18.（16分）已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
19.（18分）設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求實數a的值；(2)若A∪B＝A，求實數a的取值范圍．
參考答案及解析：
一、單選題
1.B　解析：由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N M．故選B．
2.D　解析：命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是“x∈R，x≠1且x≠－1”．故選D．
3.C　解析：因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，且M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C．
4.D　解析：因為全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，所以A＝{x|－3＜x≤－2或1＜x＜3}＝(－3，－2]∪(1，3)．故選D．
5.A　解析：由于A中P，Q的元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而選項B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合．故選A．
6.B 解析：題圖中陰影部分對應的集合為(M∪N)，因為M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜2}，所以(M∪N)＝{x|x≤－1或x≥2}．故選B．
7.C　解析：命題p為存在量詞命題，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p為假命題．命題p的否定 p： x∈N，6x2－7x＋2＞0．故選C．
8.C　解析：方程有一個正根和一個負根時，根據根與系數的關系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故選C．
二、多選題
9.BCD　解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，A顯然不能使－1＜x＜1成立，BCD滿足題意．
10.CD　
解析：A∪ ＝A，故A錯誤；(A∪B)＝(A)∩(B)，故B錯誤；A∩B＝B∩A，故C正確；(A)＝A，故D正確．故選CD．
11.AC　
解析：因為2∈M，所以3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2．
若3x2＋3x－4＝2，則x＝－2或x＝1．當x＝－2或x＝1時，x2＋x－4＝－2，不滿足集合中元素的互異性，所以舍去．若x2＋x－4＝2，則x＝－3或x＝2．
當x＝－3或x＝2時，3x2＋3x－4＝14，滿足集合中元素的互異性．
綜上所述，x＝－3或x＝2，故選AC．
三、填空題
12.答案：{a|a≥2}　
解析：由題意得x≥2a－1?x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故實數a的取值范圍是{a|a≥2}．
13.答案：0　
解析：由P＝Q可知a＝－1，b＝1．
∴a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋12 024＝－1＋1＝0
14.答案:3，0　
解析：當a，b同正時，＋＝＋＝1＋1＝2；當a，b同負時，＋＝＋＝－1－1＝－2；當a，b異號時，＋＝0．∴＋的可能取值所組成的集合中元素共有3個，且3個元素的和為2＋(－2)＋0＝0．
四、解答題
15.解：由題意可以確定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一個，因此依據集合M的元素個數分類如下：
含有3個元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4個元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5個元素：{1，2，3，4，5}．
故滿足條件的集合M為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
16.解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，
∴A＝{x|x＜－1或x＞2}．
(2)B∪(A)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．
17.解：(1)因為9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，
所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3，
檢驗知a＝5或a＝－3．
(2)因為{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)，
所以a＝5或a＝－3．
當a＝5時，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此時A∩B＝{－4，9}，與A∩B＝{9}矛盾，故舍去；
當a＝－3時，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，滿足題意．
綜上可知，a＝－3．
18.證明：必要性：因為a＋b＝1，所以a＋b－1＝0．
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
充分性：因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
又ab≠0，所以a≠0且b≠0．
因為a2－ab＋b2＝＋b2>0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1．
綜上可得，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
19.解：(1)由題可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}．因為A∩B＝{2}，所以2∈B，將2代入集合B中，得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1．
當a＝－5時，集合B＝{2，10}符合題意；
當a＝1時，集合B＝{2，－2}，符合題意．
綜上所述，a＝－5或a＝1．
(2)若A∪B＝A，則B A．
因為A＝{1，2}，所以B＝ 或B＝{1}或{2}或{1，2}．
若B＝ ，則Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a＜0，解得a＞3；
若B＝{1}，則不存在滿足式子同時成立的a值；
若B＝{2}，則不存在滿足式子同時成立的a值；
若B＝{1，2}，則不存在滿足式子同時成立的a值．
綜上所述，a＞3．

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