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第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì)（單元檢測）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.函數(shù)y＝|x|在區(qū)間[－2，－1]上(　　)
A.單調(diào)遞減　　 B.單調(diào)遞增
C.先減后增　　 D.先增后減
2.設(shè)函數(shù)f (x)＝則f (f (3))＝(　　)
A.　　　B.3　　　C.　　　D.
3.若函數(shù)f (x)＝ax2－1，a為一個正數(shù)，且f (f (－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A.1　　　 B.0　　　
C.－1　　　 D.2
4.已知函數(shù)f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.[－1，1] B.[－2，0]
C.[0，2] D.[－2，2]
5.函數(shù)y＝的值域是(　　)
A. B.
C.[0，1] D.[0，＋∞)
6.若冪函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則整數(shù)m＝(　 )
A.4　　 B.3
C.2　　 D.1
7.函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0)的圖象與x＝1的交點個數(shù)是(　　)
A.1 B.2
C.0或1 D.1或2
8.如圖，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(　　)
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A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9.下列四個圖形中可能是函數(shù)y＝f(x)圖象的是(　　)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(A　))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D　))
10.如果函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.>0 B.(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C.f (a)≤f (x1)f (x2)
11.定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，則下列不等式中成立的是(　　)
A.f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) B.f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
C.f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a) D.f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上．
12.已知函數(shù)f(x)＝－1，且f(a)＝3，則a的值為________
13.若函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________
14.已知冪函數(shù)f(x)＝(n∈Z)為偶函數(shù)，且滿足f(3)＜f(5)，則m＋n＝________
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（12分）黨的二十大報告提到“堅持山水林田湖草沙一體化保護和系統(tǒng)治理”，水資源是其中重要一環(huán)，嚴(yán)重制約我國經(jīng)濟發(fā)展、嚴(yán)重影響人民生活的程度．為了節(jié)約用水，某市打算出臺一項水費政策，規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費1.2元，若超過5噸而不超過6噸時，超過的部分的水費按原價的200%收費，若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費按原價的400%收費．如果某人本季度實際用水量為x(x≤7)噸，試計算本季度他應(yīng)交的水費y(單位：元)．
16.（15分）已知函數(shù)f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．
17.（16分）設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為U＝{x|x∈R且x>0}，且滿足條件f (4)＝1．對任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，且當(dāng)x1≠x2時，有>0．
(1)求f (1)的值；(2)如果f (x＋6)＋f (x)>2，求x的取值范圍．
18.（16分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且當(dāng)x＞0時，f(x)＞－1．
(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；
(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4．
19.（18分）已知函數(shù)f(x)＝－x2＋mx－m．
(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0，求實數(shù)m的值．
(2)若函數(shù)f(x)在 [－1，0]上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍．
(3)是否存在實數(shù)m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，說明理由．
參考答案及解析：
一、單選題
1.A 解析：函數(shù)y＝|x|的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)，又因為[－2，－1](－∞，0)，所以函數(shù)y＝|x|在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減．
2.D　解析：∵f (3)＝≤1，∴f (f (3))＝＋1＝．故選D．
3.A　解析：∵f (－1)＝a－1，∴f (f (－1))＝f (a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，∴a＝0或a＝1．又a>0，∴a＝1．故選A．
4.D　解析：依題意，可得或或解得－2≤a≤2．
5.A　解析：由題得y＝＝＝．∵0≤－＋≤，∴0≤y≤，即原函數(shù)的值域為．故選A．
6.C　解析：由題意可得冪函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，所以m2－4m為偶數(shù)．又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4，故m＝2．
7.C　解析：結(jié)合函數(shù)的定義可知，若f：A→B成立，則任意x∈A，則有唯一確定的B與之對應(yīng)．由于x＝1不一定是定義域中的數(shù)，故x＝1可能與函數(shù)y＝f(x)沒有交點，故函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1至多有一個交點．
8.A　解析：由圖象可知兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m＜0，n＜0．由曲線C1，C2的圖象可知n＜m．
二、多選題
9.AD　解析：A，D都滿足函數(shù)的定義；在B中，當(dāng)x＝0時有兩個函數(shù)值與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)對應(yīng)的唯一性；在C中，存在一個x有兩個y與x對應(yīng)，不滿足函數(shù)對應(yīng)的唯一性．故選AD．
10.AB　解析:由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)y＝f (x)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增，則x1－x2與f (x1)－f (x2)同號，由此可知，選項A，B正確；對于選項C，D，因為x1，x2的大小關(guān)系無法判斷，所以無法判斷f (x)的單調(diào)性，故C，D錯誤．故選AB．
11.AC　解析：由g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f(x)的圖象重合得，當(dāng)a＞b＞0時，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．又由f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．[f(b)－f(－a)]－[g(a)－f(－b)]＝f(b)－f(－a)－g(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝f(b)＋f(a)－f(a)＋f(b)＝2f(b)＜2f(0)＝0，即f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)，A正確，B錯誤；[f(a)＋f(－b)]－[g(b)－g(－a)]＝f(a)＋f(－b)－g(b)＋g(－a)＝f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝f(a)－f(b)－f(b)＋f(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，即f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)，C正確，D錯誤．故選AC．
三、填空題
12.答案：16　
解析：因為f(x)＝－1，所以f(a)＝－1．又因為f(a)＝3，所以－1＝3，解得a＝16．
13.答案：[0，4]　
解析：∵f(x)的定義域為R，∴不等式ax2－2ax＋4≥0的解集為R，①a＝0時，4≥0恒成立；②a≠0時，解得0＜a≤4．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，4]．
14.答案：2　
解析：因為冪函數(shù)f(x)＝(n∈Z)為偶函數(shù)，所以解得m＝1，且n＝1，3，5，…．因為滿足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3為正偶數(shù)，所以n＝1，則m＋n＝1＋1＝2．
四、解答題
15.解：由題意知，當(dāng)0＜x≤5時，y＝1.2x；
當(dāng)5＜x≤6時，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6；
當(dāng)6＜x≤7時，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4．
所以y＝
16.解：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－＝
＝＝．
因為x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝在[3，5]上單調(diào)遞增．
(2)由(1)知f(x)在[3，5]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝3時，函數(shù)f(x)取得最小值，為f(3)＝；
當(dāng)x＝5時，函數(shù)f(x)取得最大值，為f(5)＝．
17.解：(1)因為對任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0．
(2)設(shè)00．
又因為當(dāng)x1≠x2時，>0，所以f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)＞f (x1)，
所以f (x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)．
令x1＝x2＝4，得f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝1＋1＝2，即f (16)＝2．
當(dāng)即x>0時，
原不等式可化為f [x(x＋6)]>f (16)．
又因為f (x)在定義域上為增函數(shù)，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8．
又因為x>0，所以x>2．
所以x的取值范圍為(2，＋∞)．
18.解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1．
證明如下：在R上任取x1＞x2，
則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1．
又因為f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以f(x)在R上是增函數(shù)．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4，得f(x2＋x＋1)＞f(3)．
又因為f(x)在R上是增函數(shù)，
所以x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1．
故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}．
19.解：(1)f(x)＝－－m＋，
則最大值為－m＋＝0，解得m＝0或m＝4．
(2)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是直線x＝，要使f(x)在 [－1，0]上單調(diào)遞減，應(yīng)滿足≤－1，解得m≤－2．
故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2]．
(3)①當(dāng)≤2，即m≤4時，f(x)在 [2，3]上單調(diào)遞減，
則即此時無解；
②當(dāng)≥3，即m≥6時，f(x)在[2，3]上單調(diào)遞增，
則即解得m＝6；
③當(dāng)2＜＜3，即4＜m＜6時，f(x)在[2，3]上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝處取最大值，
則＝－＋m·－m＝3，解得m＝－2或m＝6，不符合題意，舍去．
綜上可得，存在實數(shù)m＝6，使得f(x)在 [2，3]上的值域恰好是[2，3]．

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