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第四章　指數函數與對數函數（單元測試）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.有下列各式：①＝a；②；③＝a；④＝．
其中正確的個數是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知函數y＝ax－a＋b(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(2，2)，則a，b的值分別為(　　)
A.1，2 B.2，1
C.2，2 D.1，1
3.一種新型電子產品計劃投產兩年后，使成本降36%，那么平均每年應降低成本(　　)
A.18% B.20%
C.24% D.36%
4.設a＝0.50.7，b＝0.70.5，c＝log0.75，則a，b，c的大小關系是(　　)
A.c＜b＜a B.c＜a＜b
C.a＜b＜c D.a＜c＜b
5.溶液酸堿度是通過PH計量的，PH的計算公式為PH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知某溶液的PH值為2.921，則該溶液中氫離子的濃度約為(取lg 2＝0.301，lg 3＝0.477)(　　)
A.1.2×10－3摩爾/升 B.1.2×10－4摩爾/升
C.6×10－3摩爾/升 D.6×10－4摩爾/升
6.若對數log(x－1)(4x－5)有意義，則x的取值范圍是(　　)
A. B. C.∪(2，＋∞) D.[2，3]
7.已知3a＝2，則log38－2log36＝(　　)
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2－1
8.若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數且f(2)＝1，則f(x)＝(　　)
A.log2x B.
C. D.2x－2
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9.函數y＝ax－(a＞0，a≠1)的圖象可能是(　　)
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx41A．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小樣\\全優人教數學必修第一冊(教師用書2023.8.9出教師用書)\\sx41A.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(A))　　　　　 eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx41B．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小樣\\全優人教數學必修第一冊(教師用書2023.8.9出教師用書)\\sx41B.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(B))　　　　　 eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx41C．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小樣\\全優人教數學必修第一冊(教師用書2023.8.9出教師用書)\\sx41C.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(C))　　　　　 eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "sx41D．TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\小樣\\全優人教數學必修第一冊(教師用書2023.8.9出教師用書)\\sx41D.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(D))
10.若函數f(x)唯一的零點在區間(1，3)，(1，4)，(1，5)內，那么下列說法中正確的是(　　)
A.函數f(x)在(1，2)或[2，3)內有零點 B.函數f(x)在(3，5)內無零點
C.函數f(x)在[2，5)內有零點 D.函數f(x)在[2，4)內不一定有零點
11.下列函數在區間[－1，3]上存在唯一零點的是(　　)
A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝－2
C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln (x＋2)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上．
12.寫出一個同時具有性質①②③的函數f(x)＝_______________
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②當x∈R時，f(x)＞0；③f(x)是增函數．
13.小明在學習二分法后，利用二分法研究方程x3－4x＋1＝0在(1，3)上的近似解，經過兩次二分后，可確定近似解x0所在的區間為________
14.當x∈[1，2]時，函數f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在x＝2時取得最大值，則實數a的取值范圍是________
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分）已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調性；
(3)求f(x)在區間上的值域．
16.（14分）有甲、乙兩種商品，經銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元，它們與投入資金m(萬元)的關系式為p＝m，q＝．今有3萬元資金投入這兩種商品．若設甲商品投資x萬元，投資兩種商品所獲得的總利潤為y萬元．
(1)寫出y關于x的函數表達式；
(2)如何分配資金可使獲得的總利潤最大？請求最大利潤的值．
17.（16分）人們早就發現了放射性物質的衰減現象．在考古工作中，常用14C的含量來確定有機物的年代．已知放射性物質的衰減服從指數規律：C(t)＝C0e－rt，
其中t表示衰減的時間，C0表示放射性物質的原始質量，C(t)表示經衰減了t年后剩余的質量．
為計算衰減的年代，通常給出該物質質量衰減一半的時間，稱其為該物質的半衰期．14C的半衰期大約是5 730年．人們又知道，放射性物質的衰減速度與其質量成正比．
1950年，在伊拉克發現一根古巴比倫王國時期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭，當時測定，其14C的衰減速度為4.09個/(g·min)，而新砍伐樹木燒成的木炭中14C的衰減速度為6.68個/(g·min)．請估算出漢謨拉比王朝所在年代．
18.（16分）設函數f(x)是定義域(0，＋∞)上的增函數，且f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋f≤2的解集．
19.(18分)已知函數f(x)＝loga(4－ax)．
(1)若當x∈時，函數f(x)有意義，求實數a的取值范圍．
(2)是否存在實數a，使得函數f(x)在[－5，21]上為增函數，并且在此區間的最小值為－1？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由．
參考答案及解析：
一、單選題
1.B　解析：由n次方根的定義可知①對；因為，所以②是錯的；因為，所以③是錯的；因為a2＋b2不是完全平方式，開不出來，所以④是錯的．所以只有①對．故選B．
2.B　解析：由于函數y＝ax－a＋b過定點(2，2)，所以a2-a＋b＝2，故a＝2，b＝1．
3.B　解析：設原來的成本為“1”，每年降低成本百分比為x，則兩年后的成本為1×(1－x)2＝1－0.36，解得x＝0.2，故每年應降低成本20%．故選B．
4.B 解析：因為a＝0.50.7∈(0，1)，0.70.5＞0.50.5＞0.50.7，c＝log0.75＜0，所以c＜a＜b．故選B．
5.A 解析：設該溶液中氫離子的濃度約為t摩爾/升，則－lg t＝2.921，從而t＝10－2.921＝101.079×10－4＝102lg 2＋lg 3×10－4＝1.2×10－3，所以溶液中氫離子的濃度約為1.2×10－3摩爾/升．故選A．
6.C 解析：x應滿足解得x＞且x≠2.
7.A　 解析：∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2．故選A．
8.A 解析：函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數是f(x)＝logax.又因為f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
二、多選題
9.CD　解析：當a＞1時，∈(0，1)，因此x＝0時，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上單調遞增，故C符合；當0＜a＜1時，＞1，因此x＝0時，y＜0，且y＝ax－在R上單調遞減，故D符合．
10.ABD 解析：f(x)有唯一零點，該零點在區間(1，3)，(1，4)，(1，5)內，所以該零點在(1，3)內，于是可以在(1，2)內，也可能在[2，3)內，但不會在(3，5)內，A與B都正確．由于零點可能在[2，3)內，但不一定在[2，4)內，所以C錯誤，D正確．故選ABD．
11.BCD 解析：對于A，由f(x)＝x2－2x－8＝0，得x＝－2或x＝4，所以f(x)＝x2－2x－8在區間[－1，3]上無零點，故A錯誤；對于B，f(x)＝－2在[0，＋∞)上單調遞增，且f(0)＝－2，f(3)＝－2＞0，所以f(x)＝－2在區間[－1，3]上存在唯一零點，故B正確；對于C，f(x)＝2x－1－1在R上單調遞增，且f(－1)＝－1＜0，f(3)＝4－1＞0，所以f(x)＝2x－1－1在區間[－1，3]上存在唯一零點，故C正確；對于D，f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上單調遞減，且f(－1)＝1＞0，f(3)＝1－ln 5＜0，所以f(x)＝1－ln (x＋2)在區間[－1，3]上存在唯一零點，故D正確．故選BCD．
三、填空題
12.答案：2x(答案不唯一)　
解析：f(x)＝2x，滿足2x1＋x2＝2x1·2x2，即f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，滿足①；f(x)＝2x＞0，滿足②；f(x)＝2x在定義域內單調遞增，滿足③．
13.答案： 解析：根據題意，設f(x)＝x3－4x＋1，有f(1)＝－2，f(3)＝14，則f(1)f(3)＜0，f(x)在(1，3)上有零點，第一次運算，取x＝2，有f(2)＝1＞0，則f(x)在(1，2)上有零點，第二次運算，取x＝，有f＝－＜0，則f(x)在區間上有零點，則可確定近似解x0所在的區間為．
14.答案： 解析：當a＝0時，f(x)＝4x－3，顯然滿足條件；當a＞0時，對稱軸x＝－2－＜－2，故函數f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在[1，2]上單調遞增，故函數f(x)在x＝2時取得最大值；當a＜0時，要使函數f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在[1，2]上單調遞增，需對稱軸x＝－2－≥2，解得－≤a＜0．綜上可得，實數a的取值范圍是.
四、解答題
15.解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，因此f(x)的定義域為(0，＋∞).
(2)設0＜x1＜x2，則0＜4x1－1＜4x2－1，因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
(3)因為f(x)在區間上單調遞增，且＝0，f(2)＝log415，
所以f(x)在上的值域為[0，log415].
16.解：(1)由題意知，對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品的投資為(3－x)萬元，
所以y＝x＋(0≤x≤3)．
(2)令t＝(0≤t≤)，則x＝3－t2，
所以y＝(3－t2)＋t＝－＋．所以當t＝時，ymax＝＝1.05．
由t＝＝可求得x＝0.75，3－x＝2.25．
所以為了獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元，此時獲得最大利潤為1.05萬元．
17.解：因為14C的半衰期大約是5 730年，所以由衰減規律，得＝e－5 730r．
解得r＝．因此14C的衰減規律服從指數型函數C(t)＝C0＝C0·．
設發現漢謨拉比王朝字樣的木炭時(1950年)，該木炭已衰減了t0年．因為放射性物質的衰減速度與其質量成正比，所以＝，于是＝．
兩邊取以2為底的對數，得－＝log2
解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055
所以該木炭已衰減了約4 055年，即漢謨拉比王朝大約存在于公元前2100年．
18.解：(1)將x＝y＝1代入f＝f(x)－f(y)，
得f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0．
(2)因為f(6)＝1，所以2＝f(6)＋f(6)．
于是f(x＋3)＋f≤2等價于f(x＋3)－f(6)≤f(6)－f，即f≤f(6x)．
而函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，所以解得x≥．
因此滿足已知條件的不等式解集為．
19.解：(1)因為a＞0且a≠1，設t(x)＝4－ax，則t(x)＝4－ax為減函數，
所以當x∈時，t(x)＞t(3)＝4－3a，
要使f(x)有意義，則x∈時，4－ax＞0恒成立，
所以4－3a≥0，所以a≤．
又因為a＞0且a≠1，所以0＜a≤且a≠1．
所以a的取值范圍為(0，1)∪．
(2)由(1)知，a＞0且a≠1，t(x)＝4－ax為減函數，要使函數f(x)在[－5，21]上單調遞增，
根據復合函數的單調性可知0＜a＜1，
則f(x)min＝f(－5)＝loga(4＋5a)＝－1，解得a＝，
所以存在a＝使得函數f(x)在[－5，21]上單調遞增，并且在此區間的最小值為－1．

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