資源簡介

2024-2025學年下期_____學校義務教育質量監測
七年級 數學
（考試時間：120分鐘，總分150分）
注意事項：
1．答題前，考生在答題卷上務必將自己的學校、姓名、考號填寫清楚，并貼好條形碼．請認真核準條形碼上的考號、姓名和科目．
2．解答選擇題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．
3．解答填空題、解答題時，請在答題卷上各題的答題區域內作答．
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．（注意：在試題卷上作答無效）
1. 下列字母圖片中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，若，，則的長度為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 把不等式的解集表示在數軸上，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 用邊長相等的兩種正多邊形進行密鋪，其中一種是正八邊形，則另一種正多邊形可以是（　　）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五邊形 D. 正六邊形
6. 若，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在中，，將繞著點逆時針旋轉后得到．若，則的度數為（ ）．
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
8. 下列關于三角形的性質描述錯誤的是（ ）
A. 三角形具有穩定性
B. 三角形的高線不一定在三角形的內部
C. 三角形的外角和為360°
D. 三角形的一個外角等于兩個內角之和
9. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（　　）
A. 90°-α B. 90°+ α C. D. 360°-α
10. 我國古代數學問題：現有甲、乙兩錢袋，甲袋裝的黃金比乙袋裝的黃金多10枚，從甲袋取8枚黃金放到乙袋，乙袋的黃金數量就是甲袋的兩倍．設甲袋原有黃金枚，乙袋原有黃金枚，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，點為上一點，連結并取的中點，連接，，取的中點，連結．若的面積為24，則的面積為（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
12. 我們把稱為二階行列式，規定它的運算法則．例如：，則下列結論：
①若，則的取值范圍是；
②若整數、滿足，則的值為6或10；
③若非負數、滿足，則有理數的取值范圍是．
正確的個數為（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空題：本大題共．6個小題，每小題4分，共24分．請把答案直接填在答題卡對應題目中的橫線上．（注意：在試題卷上作答無效）
13. 已知，用含x的式子表示y，則______．
14. 若一個邊形的內角和等于它外角和的5倍，則的值為_____．
15. 已知，，為的三邊，化簡：______．
16. 若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則a的值為____．
17. 如圖，在中，將沿著射線的方向平移到的位置．若，點是的中點，，則四邊形的周長為_____．
18. 若關于的一元一次不等式組有且只有個整數解，且關于的方程的解為非負整數，則符合條件的所有整數的和是______．
三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出相應的文字說明、證明過程或演算步驟．（注意：在試題卷上作答無效）
19. 解下列方程（組）
（1）；
（2）
20. 解不等式組，把解集在下列數軸上表示出來，并求出不等式組的整數解．
21. 如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點都在格點上．
（1）作出關于直線的對稱圖形；
（2）求的面積；
（3）在直線上作一點，使的值最小．（保留作圖痕跡）
22. 如圖，在中，為邊上的高，點為邊上的一點，連接．
（1）當為邊上的中線時，若，的面積為，求的長；
（2）當為的平分線時，若，，求的度數．
23. 每年的4月23日為“世界讀書日”，為了讓學生學會讀書，愛上讀書，營造濃厚讀書氛圍，某校計劃購買心理學和科技類兩種書籍供學生閱讀，已知購買1本心理學書籍和3本科技類書籍共需155元，購買3本心理學書籍和2本科技類書籍共需185元．
（1）求心理學書籍和科技類書籍的購買單價分別為多少元？
（2）根據需求量，該校決定購入心理學書籍和科技類書籍共90本，其中心理學書籍的購入數量低于科技類書籍的數量，恰逢書店做“讀書節”優惠促銷活動：心理學書籍每本打8折，科技類書籍每本優惠2元．如果此次買書的總費用不超過2995元，那么有哪幾種購買方案？
24. 給出定義：對于關于、的二元一次方程（其中 ），若將其的系數與常數互換，得到的新方程稱為原方程的“鏡像方程”．例如方程的“鏡像方程”為．
（1）寫出的“鏡像方程”_____，以及它們組成的方程組的解為_____；
（2）若關于、的二元一次方程與其“鏡像方程”組成的方程組的解為，求的值．
（3）若關于、的二元一次方程的系數滿足，且與它的“鏡像方程”組成的方程組的解恰是關于、的二元一次方程的一個解，請直接寫出代數式的值．
25. 如圖，為直角三角形，，，點D為上一點，將沿翻折后得到．
（1）如圖1，當點E落在上時，求的度數；
（2）如圖2，當點E落在下方時，與相交于點F，且，試說明：；
（3）如圖3，當點E落在下方時，與相交于點F，連結，的平分線交的延長線于點G，交于點H．若，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．
參考答案
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．（注意：在試題卷上作答無效）
1. 下列字母圖片中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：選項A、B、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：C．
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
移項，，
系數化為1得：，
故選：B．
3. 已知，若，，則的長度為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
解：∵，，，
∴，，
∴．
故選：C．
4. 把不等式的解集表示在數軸上，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解：，
解得．
在數軸上表示為：
故選：A．
5. 用邊長相等的兩種正多邊形進行密鋪，其中一種是正八邊形，則另一種正多邊形可以是（　　）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五邊形 D. 正六邊形
【答案】B
解：正八邊形的每個內角為180° 360°÷8=135°，
A. 正三角形的每個內角60°，得135m+60n=360°，n=6 94m，顯然m取任何正整數時，n不能得正整數，故不能鋪滿；
B. 正四邊形的每個內角是90°，得90°+2×135°=360°，所以能鋪滿；
C. 正五邊形每個內角是180° 360°÷5=108°，得108m+135n=360°，m取任何正整數時，n不能得正整數，故不能鋪滿；
D. 正六邊形的每個內角是120度，得135m+120n=360°，n=3 98m，顯然m取任何正整數時，n不能得正整數，故不能鋪滿．
故選：B．
6. 若，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：A：兩邊同除以正數6，不等式方向不變，原式應變為，故選項A錯誤；
B：兩邊同減6，不等式方向不變，原式應變為，故選項B錯誤；
C：由，兩邊同乘，不等式方向改變，得，則，故選項C正確；
D：兩邊同乘正數6，不等式方向不變，原式應變為，再減1得，故選項D錯誤；
故選：C．
7. 如圖，在中，，將繞著點逆時針旋轉后得到．若，則的度數為（ ）．
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】A
由旋轉的性質可知：，，
∵，
，
，
故選：A．
8. 下列關于三角形的性質描述錯誤的是（ ）
A. 三角形具有穩定性
B. 三角形的高線不一定在三角形的內部
C. 三角形的外角和為360°
D. 三角形的一個外角等于兩個內角之和
【答案】D
三角形三邊確定后形狀唯一，具有穩定性，故A正確．
鈍角三角形的高線可能位于外部，直角三角形的高線在邊上，因此高線不一定在內部，故B正確．
三角形每個頂點處取一個外角，三個外角的和為360°，故C正確．
三角形的一個外角應等于與它不相鄰的兩個內角之和，而非任意兩個內角之和，若未強調“不相鄰”，故D錯誤．
故選D．
9. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（　　）
A. 90°-α B. 90°+ α C. D. 360°-α
【答案】C
解：四邊形中，，
和分別為、的平分線，
，
則．
故選：C．
10. 我國古代數學問題：現有甲、乙兩錢袋，甲袋裝的黃金比乙袋裝的黃金多10枚，從甲袋取8枚黃金放到乙袋，乙袋的黃金數量就是甲袋的兩倍．設甲袋原有黃金枚，乙袋原有黃金枚，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：設甲袋原有黃金枚，乙袋原有黃金枚，
甲袋比乙袋多10枚：直接列方程（或等價形式），
移動黃金后的數量關系：甲袋取出8枚后剩余枚，乙袋增加8枚后變為枚，
此時乙袋是甲袋的兩倍，故方程為，整理為
∴方程組為
故選A
11. 在中，點為上一點，連結并取的中點，連接，，取的中點，連結．若的面積為24，則的面積為（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
【答案】B
解：∵點是線段的中點，
∴，，
∴
∵的面積為，
∴，
∵點是線段的中點，
∴．
故選：B．
12. 我們把稱為二階行列式，規定它的運算法則．例如：，則下列結論：
①若，則的取值范圍是；
②若整數、滿足，則的值為6或10；
③若非負數、滿足，則有理數的取值范圍是．
正確的個數為（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
解：①∵，
∴，
解得：，故原結論正確；
②∵，
∴，
∴
∵，是整數，
∴是整數，
∴，
∴或，，，，，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
綜上，或6，，．故原結論錯誤；
③∵，
∴，
解得：，
∵，是非負數，即，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式組的解集為，故原結論正確．
綜上，結論①③正確，共2個．
故選B．
二、填空題：本大題共．6個小題，每小題4分，共24分．請把答案直接填在答題卡對應題目中的橫線上．（注意：在試題卷上作答無效）
13. 已知，用含x的式子表示y，則______．
【答案】
解：∵，
∴，
故答案：．
14. 若一個邊形的內角和等于它外角和的5倍，則的值為_____．
【答案】12
解：根據題意列方程，得：
，
解得：，
即邊數n等于12．
故答案為：12．
15. 已知，，為的三邊，化簡：______．
【答案】
解：∵的三邊長分別是，
∴必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，則，，
∴，
故答案為：．
16. 若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則a的值為____．
【答案】1
解：根據題意可得出，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故答案為：1．
17. 如圖，在中，將沿著射線的方向平移到的位置．若，點是的中點，，則四邊形的周長為_____．
【答案】
解：由平移的性質可得，
∵點是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的周長為，
故答案為；．
18. 若關于的一元一次不等式組有且只有個整數解，且關于的方程的解為非負整數，則符合條件的所有整數的和是______．
【答案】
解：
①式得，，
，
②式得，，
，
要使該一元一次不等式組有且只有個整數解，
該一元一次不等式組解集為，整數解為、、、，
，
解得；
關于的方程的解為非負整數，
，
，且為奇數，
綜合可得，或，
符合條件的所有整數的和是．
故答案為：．
三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出相應的文字說明、證明過程或演算步驟．（注意：在試題卷上作答無效）
19. 解下列方程（組）
（1）；
（2）
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：
將，得③
，得，
解得，
把代入①，得．
所以這個方程組解是．
20. 解不等式組，把解集在下列數軸上表示出來，并求出不等式組的整數解．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式組的解集為，
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示：
∴不等式組整數解為2，3．
21. 如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點都在格點上．
（1）作出關于直線的對稱圖形；
（2）求的面積；
（3）在直線上作一點，使的值最小．（保留作圖痕跡）
【小問1詳解】
解：如圖，即為所作，
；
【小問2詳解】
解：三角形的面積為：
【小問3詳解】
解：如圖，點即為所作．
22. 如圖，在中，為邊上的高，點為邊上的一點，連接．
（1）當為邊上的中線時，若，的面積為，求的長；
（2）當為的平分線時，若，，求的度數．
【小問1詳解】
解：為邊上的高，的面積為，
，
，
為邊上的中線，
；
【小問2詳解】
解：，，
，
為的平分線，
，
，，
，
．
23. 每年的4月23日為“世界讀書日”，為了讓學生學會讀書，愛上讀書，營造濃厚讀書氛圍，某校計劃購買心理學和科技類兩種書籍供學生閱讀，已知購買1本心理學書籍和3本科技類書籍共需155元，購買3本心理學書籍和2本科技類書籍共需185元．
（1）求心理學書籍和科技類書籍的購買單價分別為多少元？
（2）根據需求量，該校決定購入心理學書籍和科技類書籍共90本，其中心理學書籍的購入數量低于科技類書籍的數量，恰逢書店做“讀書節”優惠促銷活動：心理學書籍每本打8折，科技類書籍每本優惠2元．如果此次買書的總費用不超過2995元，那么有哪幾種購買方案？
【小問1詳解】
解：設心理學書籍的購買單價為x元，科技類書籍的購買單價為y元．
根據題意，列得方程組
，
解這個方程組，得
，
答：心理學書籍的購買單價為35元，科技類書籍的購買單價為40元．
【小問2詳解】
設購入心理學書籍m本，則購入科技類書籍本．
根據題意，得
解得：
∵m為正整數
∴或44
∴共有兩種方案
方案①：購入心理學書籍43本，購入科技類書籍47本；
方案②：購入心理學書籍44本，購入科技類書籍46本．
答：共有兩種方案，購入心理學書籍43本，購入科技類書籍47本；購入心理學書籍44本，購入科技類書籍46本．
24. 給出定義：對于關于、的二元一次方程（其中 ），若將其的系數與常數互換，得到的新方程稱為原方程的“鏡像方程”．例如方程的“鏡像方程”為．
（1）寫出的“鏡像方程”_____，以及它們組成的方程組的解為_____；
（2）若關于、的二元一次方程與其“鏡像方程”組成的方程組的解為，求的值．
（3）若關于、的二元一次方程的系數滿足，且與它的“鏡像方程”組成的方程組的解恰是關于、的二元一次方程的一個解，請直接寫出代數式的值．
【小問1詳解】
解：的“鏡像方程”為；
它們組成的方程組為，
解得：；
故答案為：；；
【小問2詳解】
解：由題意可知，的鏡像方程為，
聯立方程組得
方程組的解為，
解得
．
【小問3詳解】
解：，
．
與其鏡像方程所組成的方程組為，
解得：，
將代入方程中，得．
．
25. 如圖，為直角三角形，，，點D為上一點，將沿翻折后得到．
（1）如圖1，當點E落在上時，求的度數；
（2）如圖2，當點E落在下方時，與相交于點F，且，試說明：；
（3）如圖3，當點E落在下方時，與相交于點F，連結，的平分線交的延長線于點G，交于點H．若，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．
【小問1詳解】
解：，，
．
∵將沿翻折后得到，
．
．
小問2詳解】
解：根據翻折可得，
，
．
．
，
．
．
【小問3詳解】
解：，理由如下：
設，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
．

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