資源簡介

2025年黑龍江省佳木斯二十中中考數學二模試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列計算正確的是（　　）
A. 2a3 3a2=6a6 B.
C. （2ab3）3=6a3b9 D.
2.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A. B. C. D.
3.一個幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成的，其左視圖和主視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數最少有（　?。?br/>A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
4.如表是杭州市今年3月份某周7天“日最高氣溫統計表”（單位：℃）.在這組數據中，以下說法正確的是（　　）
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
最高氣溫（℃） 18 20 18 14 18 23 15
A. 平均數為17，眾數為18 B. 中位數為18，眾數為18
C. 平均數為18，中位數為14 D. 中位數為14，方差為7
5.對于實數a,b定義新運算：a b=ab2-b,若關于x的方程1 x=2k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍（　?。?br/>A. B. C. 且k≠0 D. k＜-且k≠0
6.若關于x的分式方程無解，則a的值為（　?。?br/>A. 1 B. C. 1或 D. -1或
7.為豐富小區居民的業余文化生活，某社區計劃出資600元全部用于采購甲、乙、丙三種圖書.甲種圖書每本40元，乙種圖書每本30元，丙種圖書每本25元，其中甲種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），則此次采購的方案有（　?。?br/>A. 6種 B. 5種 C. 4種 D. 3種
8.如圖，點A在雙曲線y1=（x＞0）上，連接AO并延長，交雙曲線y2=（x＜0）于點B，點C為x軸上一點，且AO=AC，連接BC，若△ABC的面積是6，則k的值為（　?。?br/>A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成.作菱形CDEF，使點D，E，F分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H.當AB=BC，∠BOC=30°，DE=4時，EH的長為（　　）
A. B. C. D. 3
10.如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與端點重合），點F是CD延長線上的點，且BE=DF，連接EF交AD于點G，過點A作AH⊥EF，垂足為H，連接BH，AF.下列結論：①AH=HE；②∠AFE=∠HBE；③△AFG∽△HBE；④若，則.其中正確的結論有（　?。?br/>A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。
11.黑龍江省有大森林、大草原、大濕地、大湖泊、大冰雪，是我國北方重要生態安全屏障.全省森林面積20.12萬平方公里，國家級自然保護區46個，均居全國前列.2023年黑龍江空氣質量優良天數比例達94.2%，綠色成為高質量發展的亮麗底色.20.12萬用科學記數法表示為______.
12.函數中，自變量x的取值范圍是______.
13.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，對角線AC⊥BD于點O，若添加一個條件后，可使得四邊形ABCD是正方形，則添加的條件可以是______.（不再增加其他線條和字母）

14.春節期間，小明和小亮分別從三部影片《哪吒之魔童降世》、《唐探1900》、《封神第二部：戰火西岐》中隨機選擇一部觀看，則他們選擇的影片相同的概率為______.
15.若不等式組的解集是x＜2，則a的取值范圍是______.
16.如圖，CD為⊙O的直徑，點D平分.若∠C=28°，則∠CDB= ______度.
17.圓錐的底面半徑為5，側面積為60π，則其側面展開圖的圓心角等于______．
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=2，點M、N分別為AB、BC邊上的動點，點D、E分別為CN，MN的中點，則DE+EN的最小值是______.
19.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，點D為BC的中點，點E為AB上一點，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE與△ABC的直角邊垂直，則BE的長為______.
20.如圖，在矩形ABCD中，AB=1，CB=2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；…按照此規律作下去.若矩形ABCD的面積記作S1，矩形ACC1B1的面積記S2，矩形AC1C2B2的面積記作S3，…，則S2025的值為______.
三、解答題：本題共8小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
21.(本小題5分)
先化簡，再求值：，其中，m=2sin60°-π0.
22.(本小題6分)
如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的位置均在小方格格點上.
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1.
（2）將△ABC繞點原點O逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標.
（3）在（2）的條件下，求在旋轉的過程中邊AC掃過的面積.（結果保留π）
23.(本小題6分)
如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，-3），拋物線的頂點為M.
（1）求拋物線的解析式，并寫出M點的坐標；
（2）若點P是線段AC上一個動點，連接OP，問是否存在點P，使得以點O、C、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由.
24.(本小題7分)
第二十二屆中國綠色食品博覽會上，我省采用多種形式，全方位展示“寒地黑土”“綠色有機”金字招牌，大力推介以下綠色優質農產品：A.“龍江奶”；B.“龍江肉”；C.“龍江米”；D.“龍江雜糧”；E.“龍江菜”；F.“龍江山珍”等，為了更好地了解某社區對以上六類綠色優質農產品的關注程度，某校學生對社區居民進行了抽樣調查（每位居民只選最關注的一項），根據調查統計結果，繪制了如圖所示的不完整統計圖.請根據兩幅統計圖中的信息，解答下列問題：
（1）本次參與調查的居民有多少人？
（2）補全條形統計圖，在扇形統計圖中C類的百分比是______；
（3）如果該社區有4000人，估計關注“龍江雜糧”的居民有多少人？
25.(本小題8分)
某校無人機社團進行無人機表演訓練，甲無人機以a m/s的速度從地面起飛勻速上升，同時乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛下降，8s時甲、乙無人機分別到達各自訓練計劃指定的高度開始表演，24s時乙無人機完成表演動作，以m/s的速度繼續飛行上升，30s時與甲無人機匯合，此時距離地面的高度為b m,甲、乙兩架無人機以相同的速度下降返回地面.甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（m）與無人機飛行的時間x（s）之間的函數關系如圖所示.請結合圖象解答下列問題.
（1）a= ______，b= ______.
（2）求線段MN所在直線的函數表達式.
（3）兩架無人機表演訓練到多少s時，它們距離地面的高度差為6m？（直接寫出答案即可）
26.(本小題8分)
旋轉是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數學知識相結合來解決實際問題，某學校數學興趣小組在研究三角形旋轉的過程中，進行如下探究：如圖1，△ABC和△DMN均為等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，點D為BC中點，△DMN繞點D旋轉，連接AM、CN.在△DMN旋轉過程中，易證AM=CN（不需要證明）.
（1）當點M、N在△ABC內且C、M、N三點共線時，如圖2，線段AM、CM、DM之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明；
（2）當點M、N在△ABC外且C、M、N三點共線時，如圖3，猜想AM、CM、DM之間的數量關系，直接寫出結論，不需要證明.
27.(本小題10分)
某商場準備購進A和B兩種款式的書包，每個A款式書包比B款式書包的進價多25元，用20000元購進A款式書包的數量與用15000元購進B款式書包的數量相同，請解決下列問題：
（1）A款式書包和B款式書包每個的進價各是多少元？
（2）若每個A款式書包的售價為140元，每個B款式書包的售價為100元，商場決定同時購A款式書包、B款式書包共500個，且全部售出，請求出所獲利潤y（單位：元）與A款式書包的數量x（單位：個）的函數關系式，若商場用不低于40000元且不高于40250元的資金購進A和B兩種款式的書包，則有幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，商場用獲得的最大利潤的全部用于福利院的慈善，其中購買文具花費915元，其余部分全部再次購進A、B兩種款式的書包送給福利院，請直接寫出捐贈A款式書包、B款式書包各是多少個？
28.(本小題10分)
如圖，矩形AOCB的邊OA、OC的長分別是方程x2-7x+12=0的兩個根（OC＞OA），折疊矩形AOCB，使AB邊落在x軸上，點B與點E重合.
（1）求折痕AD所在直線解析式.
（2）將直線AD沿x軸負方向以每秒1個單位長度的速度平移，直接寫出直線AD掃過矩形EODF的面積S與運動的時間t（0≤t≤4）的關系式.
（3）點P是直線AD上一點，在平面內是否存在一點M，使得以A、B、P、M為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點M的坐標.若不存在，說明理由.
參考答案
1.解：A、2a3 3a2=6a5，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、（2ab3）3=8a3b9，故此選項不符合題意；
D、=-1，故此選項符合題意；
故選：D．
2.解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意，
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，
故選：D．
3.解：由題中所給出的主視圖知物體共三列，且左側一列高兩層，
由左視圖可知左側兩層，右側一層，所以圖中的小正方體第一層最少為4個，第二層1個，最少為5個．
故選：C．
4.解：這組數據的平均數是=18，中位數是18，眾數是18，
方差=×[3×（18-18）2+（20-18）2+（14-18）2+（23-18）2+（15-18）2]=．
故選：B．
5.解：∵1 x=2k,
∴x2-x=2k,
方程化為一般式為x2-x-2k=0，
∵方程有兩個不相等的實數根，
∴Δ=（-1）2-4×（-2k）＞0，
解得k＞-．
故選：A．
6.解：原方程去分母得x-3a=2ax-6a,
整理得（2a-1）x=3a,
當2a-1=0，a=時，
0x=無解，則原方程無解，符合題意，
當a≠時，
若原方程無解，那么它有增根x=3，
則3（2a-1）=3a,
解得：a=1，
綜上，a的值為1或，
故選：C．
7.解：當購買5本甲種圖書時，設購買x本乙種圖書，y本丙種圖書，
根據題意得：40×5+30x+25y=600，
∴，
又∵x,y均為正整數，
∴或，
此時有2種方案；
當購買6本甲種圖書時，設購買m本乙種圖書，n本丙種圖書，
根據題意得：40×6+30m+25n=600，
∴，
又∵m,n均為正整數，
∴或，
此時有2種方案；
綜上所述，此次采購的方案有2+2=4（種）．
綜上所述，只有選項C正確，符合題意，
故選：C．
8.解：如圖，過A作AD⊥x軸于D．
由題意，設A（a,）（a＞0），
∵AO=AC，AD⊥OC，
∴OC=2OD=2a.
又設直線OA為y=mx,
∴ma=．
∴m=．
∴直線OA為y=x.
聯立，
∴x2=．
∴x=±．
∴B（-，-）．
∴S△ABC=S△BOC+S△AOC
=OC |yB|+OC |yA|
=×2a（+）
=k.
又∵S△ABC=6，
∴k=6．
∴k=4．
故選：C．
9.解：∵四邊形CDEF是菱形，DE=4，
∴CD=DE=CF=EF=4，CF∥DE，CD∥EF，
∵∠CBO=90°，∠BOC=30°，
∴OD=2DE=8，OE=DE=4，
∴CO=CD+DO=12，
∴BC=AB=CO=6，OB=BC=6，
∵∠A=90°，
∴AO===6，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠BOC=30°，
∴BE=EF=2，
∵EH⊥AB，
∴EH∥OA，
∴△BHE∽△BAO，
∴，
∴=，
∴EH=2，
故選：B．
10.解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°
在△ABE與△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠DAF+∠DAE=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
又∵AH⊥EF，
∴∠EAH+∠AEF=90°，
∴∠EAH=∠AEF=45°，
∴AH=HE，故①正確；
∵∠AFE=∠AEF=45°，AH⊥EF，
∴∠AHE=∠ABE=90°，
∴點A，點B，點E，點H四點共圓，
∴∠HBE=∠HAE=45°，
∴∠AFE=∠HBE=45°，故②正確；
即∠AFG=∠HBE=45°，
∵點A，點B，點E，點H四點共圓，
∴∠BHE=∠EAB=∠DAF，即：∠BHE=∠FAG，
∴△AFG∽△HBE，故③正確；
∴，
∴AF HE=AG BH，
∵，
∴，
∵AH⊥EF，由等腰直角三角形可知，AE=AF，，
∴，
∴，故④錯誤，
綜上，正確的結論有①②③，
故選：C．
11.解：20.12萬=201200=2.012×105，
故答案為：2.012×105．
12.解：根據題意得：1-2x≥0且4-x≠0，
解得：，
故答案為：．
13.解：添加AC=BD，
理由：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；
∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形，
故答案為：AC=BD．
14.解：分別記三部影片《哪吒之魔童鬧?！贰ⅰ短铺?900》、《封神第二部：戰火西岐》為A，B，C，畫樹狀圖如下：
∴P（他們選擇的影片相同）=．
故答案為：．
15.解：解2x-1＜3 得：x＜2，
∵不等式組的解集為：x＜2，
根據“小小取小”得：a≥2．
故答案為：a≥2．
16.解：連接BC，
∵點D平分，∠C=28°，
∴，
∴∠BCD=∠ACD=28°，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CBD=90°，
∴∠CDB=90°-∠BCD=62°，
故答案為：62．
17.解：設圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，母線長為R，
根據題意得： 2π 5 R=60π，解得R=12，
所以，解得n=150，
即圓錐的側面展開圖的圓心角為150°．
故答案為：150°．
18.解：作點C關于AB的對稱點C'，CC'交AB于點F，連接CM，C'M，過點C'作C'H⊥BC于點H，
則MC=MC'，AB垂直平分CC'，
∵點D、E分別為CN，MN的中點，
∴DE=CM，
∴DE+EN=MC+MN=（CM+MN）=（MC'+MN）≥C'H，
∴DE+EN的最小值是C'H，
∵∠C=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CF=1，∠BCF=60°，
∴CC'=2CF=2，∠CC'H=90°-∠BCF=30°，
∴CH=CC'=1，
∴C'H===，
∴DE+EN的最小值是，
故答案為：．
19.解：如圖1，EF⊥BC，且點F與點C在直線AB異側，設DF交AB于點G，
∵∠C=90°，∠B=30°，BC=6，點D為BC的中點，
∴AC⊥BC，∠A=90°-∠B=60°，BD=CD=BC=3，
∴EF∥AC，
∴∠GEF=∠A=60°，
由翻折得FD=BD=3，BE=FE，∠F=∠B=30°，
∴∠EGD=∠GEF+∠F=90°，
∵∠BEF=180°-∠GEF=120°，
∴∠DEB=∠DEF=×（360°-∠BEF）=120°，
∴∠EDF=∠EDB=180°-∠DEB-∠B=30°，
∴∠EDF=∠F，
∴FE=DE，
∵EG⊥DF，∠EGF=90°，
∴FG=DG=FD=，
∴GE=FE，
∵FG===FE=，
∴BE=FE=；
如圖2，EF⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴∠FED=∠BDE，
∵∠FED=∠BED，
∴∠BDE=∠BED，
∴BE=BD=3；
如圖3，EF⊥BC，且點F與點C在直線AB同側，設EF交BC于點H，
∵∠EHD=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴∠BEF=∠A=60°，
∴∠DEF=∠DEB=∠BEF=30°，
∵∠F=∠B=30°，
∴∠DEF=∠F，
∴ED=FD=BD=3，
∴EH=FH，DH=ED=，
∴EH===，
∴BE=FE=2EH=3，
綜上所述，BE的長為或3或3，
故答案為：或3或3．
20.解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴AC=，
∵按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，
∴矩形ACC1B1的邊長和矩形ABCD的邊長的比為：2，
∴矩形ACC1B1的面積和矩形ABCD的面積的比5：4，
S1=2×1=2，
S2=2×，
S，

S．
故答案為：2×．
21.解：
22.解：（1）△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，點A2（-4，-3）；
（3）由勾股定理得，OA==5，OC==，
∴旋轉的過程中邊AC掃過的面積為：=-=．
23.解：（1）將點A（-3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+2ax+c,
∴，
解得，
∴y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴M（-1，-4）；
（2）存在點P，使得以點O、C、P為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：
當y=0時，x2+2x-3=0，
解得x=1或x=-3，
∴B（1，0），
∴AB=4，
設直線AC的解析式為y=kx+b,
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
設P（m,-m-3），
當△OCP∽△CAB時，，
∴=，
解得CP=2，
∴2=|t|，
解得t=-2，
∴P（-2，-1）；
當△OCP∽△BAC時，，
∴=，
解得OP=，
∴=，
解得m=-或m=-（舍），
∴P（-，-）；
綜上所述：P點坐標（-2，-1）或（-，-）．
24.解：（1）34÷17%=200（人），
答：本次參與調查的居民有200人；
（2）選擇B．“龍江肉”的學生人數為：200×15%=30（人）；
選擇C．“龍江米”的學生人數為：200-18-46-34-12-30=60（人），
補全條形統計圖如圖所示：
扇形統計圖中C類的百分比是60÷200×100%=30%，
故答案為：30%；
（3）4000×=920（人），
答：該社區有4000人，估計關注“龍江雜糧”的居民約為920人．
25.解：（1）30s時乙無人機距離地面的高度為16+×（30-24）=24（m），
∴b=24，
∴前8s甲無人機的速度為24÷8=3（m/s），
∴a=3．
故答案為：3，24．
（2）設線段MN所在直線的函數表達式為y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）．
將坐標M（0，20）和N（8，16）分別代入y=kx+b,
得，
解得，
∴線段MN所在直線的函數表達式為y=-x+20（0≤x≤8）．
（3）當0≤x≤8時，甲無人機y與x之間的函數關系式為y=3x；
當24≤x≤30時，乙無人機y與x之間的函數關系式為y=16+（x-24）=x-16．
當0≤x≤8時，它們距離地面的高度差為6m時，得|-x+20-3x|=6，
解得x=4或；
當24≤x≤30時，它們距離地面的高度差為6m時，得24-（x-16）=6，
解得x=．
答：兩架無人機表演訓練到4s或s或s時，它們距離地面的高度差為6m.
26.解：（1），
證明如下：如圖所示，連接AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵點D為BC中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD=∠DAC=49，
∴AD=CD，
∵△DMN為等腰直角三角形，∠MDN=90°，
∴DM=DN，∠MDA+∠ADN=∠ADN+∠NDC=90°，
∴∠MDA=∠NDC，
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND（SAS），
∴∠MAD=∠NCD，AM=CN，
∴CM=CN+MN=AM+MN，
∴CM-AM=CM-CN=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴，
∴；
（2）；
證明：如圖所示，連接AD，
根據（1）中的證明可知，AD=CD，∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴AM=CN，
∴CN+CM=AM+CM=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴MN=DM=DN，
∴AM+CN=DM．
27.解：（1）設A款式書包每個的進價為a元，則B款式書包每個的進價為（a-25）元．
根據題意，得=，
解得a=100，
經檢驗，a=100是所列分式方程的根，
100-25=75（元）．
答：A款式書包每個的進價為100元，則B款式書包每個的進價為75元．
（2）購買B款式書包（500-x）個，
則y=（140-100）x+（100-75）（500-x）=15x+12500，
∴y與x的函數關系式為y=15x+12500，
根據題意，得，
解得100≤x≤110，
∵x為整數，
∴有11種購買方案．
（3）∵15＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∵100≤x≤110，
∴當x=110時y值最大，y最大=15×110+12500=14150，
14150×=1415（元），
設購買A款式書包m個、B款式書包n個，
則100m+75n=1415-915，
經整理，得4m+3n=20，
該方程的正整數解為，
∴捐贈A款式書包2個、B款式書包4個．
28.解：（1）當y=0時，x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA、OC的長分別是方程x2-7x+12=0的兩個根（OC＞OA），
∴OC=4，OA=3，
由折疊可知，BC=EF=OD=3，
∴D（0，3），A（3，0），
設直線AD的解析式為y=kx+3，
∴3k+3=0，
解得k=-1，
∴直線AD的直線解析式為y=-x+3；
（2）當0≤t≤1時，直線AD掃過矩形EODF的區域為等腰直角三角形，故；
當1＜t≤3時，直線AD掃過矩形EODF的區域為一個等腰直角三角形加平行四邊形，故；
當3＜t≤4時，直線AD掃過矩形EODF的區域面積為矩形EODF的面積減去底部未掃過三角形的面積，即；
綜上，直線AD掃過矩形EODF的面積S與運動的時間t的關系式為；
（3）當AB⊥BP時，P（-1，4），此時BP=AB=4，
∴M（-1，0）；
當BP⊥AD時，
∵OA=OD，
∴∠OAD=45°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAD=45°，
∴P（1，2），
∴M點與P點關于AB對稱，
∴M（5，2）；
綜上所述：M（-1，0）或M（5，2）．
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