資源簡介

(共35張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
15.1.2 線段的垂直平分
第1課時 線段的垂直平分
線的性質和判定
第十五章 · 軸對稱
線段的垂直平分線的性質和判定
知識目標
1.理解線段的垂直平分線的定義，明確其性質定理和判定定理。
2.能區分原命題與逆命題，識別互為逆定理的關系（如性質定理與判定定理互為逆命題），并舉例說明.
能力目標
1.獨立完成對垂直平分線性質及判定定理的邏輯推導，提升幾何論證的嚴謹性。
2.在復雜情境中，靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定定理，培養建模意識。
素質目標
1.感知數學知識與實際生活的普遍聯系。
2.培養學生的探索能力和進取精神。
3.通過反復推敲證明細節，樹立“言必有據”的理性精神，抵制直覺經驗的片面性。
教學難點
教學重點
“垂直”“平分”“等距”三要素的內在聯系
“性質”與“判定”的使用方向；在復合圖形中識別隱含的垂直平分線特征
知識講解
03
對應練習
05
情景創設
01
課堂小結
07
例題講解
04
鏈接中考
06
新知探索
02
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
回顧：線段的垂直平分線的定義
經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）．
A
B
l
C
符號語言：
點C是線段AB的中點，且l⊥AB于C，
直線l是線段AB的垂直平分線．
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
思考：線段是軸對稱圖形嗎？
請畫一條線段 AB，你能找到線段的對稱軸嗎？
A
B
思考：線段的對稱軸和它有怎樣的關系？
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
“小小設計師”
中興公園附近有兩個小區，現在要在建一座商場，要求從商場到兩個小區的距離差不多，請問該商場要建在哪里才能符合要求？
小區1
小區2
分析問題，尋找對應
如圖，直線 l 垂直平分線段 AB，點 P1，P2，P3，…在 l 上，分別比較點 P1，P2，P3，… 與點 A 的距離和這些點與點 B 的距離，你有什么發現？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
l
P1
P2
P3
我量一量,發現P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B...
沿l對折， P1A 與 P1B，P2A 與 P2B，P3A 與 P3B 都重合,說明P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
猜想：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
如果直線l垂直平分線段AB，點P為直線l上任意一點，則PA=PB.
A
B
l
P
C
你能驗證這一結論嗎？
分析問題，尋找對應
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點P 在l 上．
求證：PA =PB．
證明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
猜想證明：


線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 線段的垂直平分線的性質
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
∵直線 l⊥AB，垂足為 C，
AC = BC，點 P 在 l 上，
∴PA = PB.
幾何語言：
P
A
B
l
C
分析問題，尋找對應
把上面線段的垂直平分線的性質的題設和結論反過來，得到的命題還成立嗎？即如果 PA = PB，那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
猜想：點 P 在線段 AB 的垂直平分線上
A
B
P
已知：如圖，在△ABP 中 PA = PB.
求證：點 P 在線段 AB 的垂直平分線上.
分析問題，尋找對應
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
證明：過點P 作線段AB 的垂線PC，
垂足為點C．則∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，
PC =PC（公共邊），
∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴AC =BC．
又PC⊥AB，
∴點P 在線段AB 的垂直平分線上．
P
A
B
C
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 線段垂直平分線的判定
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
∵ PA = PB，
∴點 P 在 AB 的垂直平分線上..
幾何語言：
P
A
B
l
C
線段的垂直平分線可以看成與這條線
段兩個端點距離相等的所有點的集合.
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
“小小設計師”
中興公園附近有兩個小區，現在要在建一座商場，要求從商場到兩個小區的距離差不多，請問該商場要建在哪里才能符合要求？
小區1
小區2
商場應該建在兩個小區連線的垂直平分線上才符合要求
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 對比角的平分線與線段的垂直平分線
名稱 角平分線 線段垂直平分線
圖示
性質
判定
C
A
B
O
D
E
P
A
B
P
C
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
分析上面關于線段的垂直平分線的兩個命題，它們的題設和結論有什么關系？你還學習過其他具有類似關系的命題嗎？
分組討論
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
兩個命題的題設、結論正好相反.
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 互逆命題與互逆定理
兩個命題的題設、結論正好相反.
我們把具有這種關系的兩個命題叫作互逆命題. 如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.
線段的垂直平分線的性質與判定
“對頂角相等”與“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”
一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.
都成立
成立
不成立
線段的垂直平分線的性質和判定
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 互逆命題與互逆定理
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.
線段的垂直平分線的性質與判定
“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”
角的平分線的性質與判定
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例1
解
已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.
求證：OE是CD的垂直平分線.
A
B
O
E
D
C
證明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.
∴ OE是CD的垂直平分線.
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
（1）寫出命題“全等三角形的面積相等"的逆命題 .
（2）直角三角形的兩個銳角互余的逆命題為 .
（3）命題"正方形是軸對稱圖形”的逆命題是 .
例2
交換原命題的題設和結論
面積相等的三角形全等
有兩個角互余的三角形是直角三角形
軸對稱圖形是正方形
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，在△ABC中，DE是線段BC的垂直平分線，點F是線段AC的中點，其中CF=5,AB=8，則ΔABE的周長為 .
例3
解
[答案]18
[詳解]解:∵DE是BC的垂直平分線，交AC于點E，
∴EB=EC,
∵點F是線段AC的中點， AC=2CF，
∵△ABE的周長是AB+BE+AE=AB+EC+AE
=AB+AC,CF=5,AB=8,
∴AB+BE+AE=AB+AC=8+2x5=18.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.如圖，AD⊥BC，BD = DC，點 C 在 AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關系？AB + BD 與 DE 有什么關系？
A
B
E
D
C
解：AB = AC = CE，AB + BD = DE.
理由：
∵AD⊥BC，BD = DC，
∴AD 是 BC 的垂直平分線.
∴AB = AC.
又點 C 在 AE 的垂直平分線上，
∴AC = CE.
∴AB = AC = CE.
又 BD = DC，
∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.如圖, AB=AC, MB=MC. 直線AM 是線段BC 的垂直平分線嗎 為什么
解：∵AB=AC,MB=MC,
∴直線AM是線段BC的垂直平分線，(到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上)
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.
(1)兩直線平行，同位角相等；
(2)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；
(3)全等三角形的對應角相等.
解：(1)同位角相等，兩直線平行，為真命題
(2)如果兩個實數的絕對值相等，那么它們也相等，為假命題
(3)如果兩個三角形的對應角相等，那么它們為全等三角形，為假命題
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
4. 如圖，P 是 △ABC 內一點，若 PB = PC，則點 P 在（ ）
A.∠ABC 的平分線上
B.∠ACB 的平分線上
C.邊 AB 的垂直平分線上
D.邊 BC 的垂直平分線上
D
5.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點D,則△BDC的周長是 (　 　)
A.8 B.9 C.10 D.11
C
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
6. 如圖，公園里有一塊三角形草坪(△ABC)，現準備在該三角形草坪內種一棵樹，使得該樹到△ABC 三個頂點的距離相等，則該樹應種在（ ）
A.三條邊的垂直平分線的交點處
B.三條角平分線的交點處
C.三條高的交點處
D.三條中線的交點處
A
鏈接中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.(2025·江蘇連云港·中考真題)如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，則△AEG的周長為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[答案]C
[分析]本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得AE=BE，AG=CG，再由三角形的周長公式計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵，
[詳解]解:∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC,
∴AE=BE,AG=CG，
∴△AEG的周長為AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7,
鏈接中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.(2025·四川達州·中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC-8,BC=5，線段AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，則△BDC的周長為( )
A.21 B.14 C.13 D.9
[答案]C
[分析]本題主要考查了線段垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線的性質可得AD=BD，據此根據三角形周長計算公式求解即可.
[詳解]解:.線段AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，
∴AD=BD,
∴△BDC的周長=BD+BC+CD=BC+CD+AD=BC+AC=8+5=13,
故選: C.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
垂直平分線性質及判定定理
完成對垂直平分線性質及判定定理的邏輯推導
能區分原命題與逆命題
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 線段的垂直平分線的性質
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
∵直線 l⊥AB，垂足為 C，
AC = BC，點 P 在 l 上，
∴PA = PB.
幾何語言：
P
A
B
l
C
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 線段垂直平分線的判定
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
∵ PA = PB，
∴點 P 在 AB 的垂直平分線上..
幾何語言：
P
A
B
l
C
線段的垂直平分線可以看成與這條線
段兩個端點距離相等的所有點的集合.
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 對比角的平分線與線段的垂直平分線
名稱 角平分線 線段垂直平分線
圖示
性質
判定
C
A
B
O
D
E
P
A
B
P
C
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
知識點 互逆命題與互逆定理
兩個命題的題設、結論正好相反.
我們把具有這種關系的兩個命題叫作互逆命題. 如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.
一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
課后作業
A層：P69習題 15.1：4、6題.
B層：P69習題 15.1：5題.
下 課

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