資源簡介

學習目標 1.通過圓錐曲線方程的學習，進一步體會數形結合思想在最值(范圍)問題中的應用.　2.能根據圓錐曲線的有關性質解決有關最值(范圍)的綜合問題.　3.借助于圓錐曲線的最值(范圍)問題，進一步提升直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養.
題型一　范圍問題
如圖，以原點O為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設A為大圓上任意一點，連接OA交小圓于點B，設∠AOx＝θ，過點A，B分別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點M.
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)點E，F分別是軌跡C上兩點，且·＝0，求△EOF面積的取值范圍.
解：(1)因為∠AOx＝θ(0≤θ＜2π)，所以A(2cos θ，2sin θ)，B(cos θ，sin θ).
設M(x，y)，則(θ是參數)，
消去θ得＋y2＝1，
即動點M的軌跡C的方程為＋y2＝1.
(2)如圖所示，因為·＝0，
所以OE⊥OF，
當直線OE或OF的斜率不存在時，易得＝×2×1＝1；
當直線OE和OF的斜率都存在時，設lOE：y＝kx(k≠0)，E(x1，y1)，
則lOF：y＝－，
由
所以｜OE｜＝＝，
同理可得｜OF｜＝＝，
所以＝｜OE｜·｜OF｜＝2.
令t＝k2＋1＞1，
則S△EOF＝2＝2
＝2∈.
綜上，△EOF面積的取值范圍為.
圓錐曲線中求取值范圍問題的五種常用方法
1.利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍.
2.利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系.
3.利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.
4.利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍.
5.利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.
對點練1.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點坐標為(，0)，且點(0，－1)在C上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(1，0)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，P為線段MN的中點，A為C的左頂點，求直線PA的斜率k的取值范圍.
解：(1)由題意，得
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)當直線l的斜率為0時，AP的斜率k＝0.
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x＝my＋1，
聯立方程組得(m2＋4)y2＋2my－3＝0.
Δ＞0顯然成立.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
則y1＋y2＝－，
所以y0＝－，
則x0＝my0＋1＝－＋1＝，
而點A的坐標為(－2，0)，
所以直線AP的斜率k＝＝.
①當m＝0時，k＝0.
②當m≠0時，｜k｜＝＝.
因為＝｜2m｜＋≥4，當且僅當｜2m｜
＝時，等號成立.
所以0＜≤，從而－≤k≤且k≠0.
綜上所述，斜率k的取值范圍為.
題型二　最值問題
已知O為坐標原點，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，e＝，橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為－2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設T為直線x＝－3上任意一點，過F1的直線交橢圓C于點P，Q，且·＝0，求的最小值.
解：(1)由題意知，＝，
而a－c＝－2，
又a2＝b2＋c2，得a＝，b＝，
故橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，因為·＝0，
故⊥，設T(－3，m)，
所以｜TF1｜＝，直線TF1的斜率為－m，
當m≠0時，直線PQ的斜率為，
直線PQ的方程為x＝my－2.
當m＝0時，直線PQ的方程為x＝－2，
也符合方程x＝my－2.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，
得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
｜PQ｜＝＝＝，
＝＝
＝≥＝，
當且僅當＝，
即m＝±1時，等號成立.
所以.
圓錐曲線最值問題的求解方法
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.
對點練2.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(2，0)，離心率為，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設點P(3，m)(m＞0)，過F作PF的垂線交橢圓于A，B兩點.求△OAB面積的最大值.
解：(1)由橢圓C的右焦點為F(2，0)，
可得c＝2，又離心率為，
所以a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)由題意知，kPF＝＝m，
所以kAB＝－，
故直線AB的方程為y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，
由可得(3＋m2)y2－4my－2＝0，
Δ＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
所以｜y1－y2｜＝＝＝，
所以△OAB的面積S＝×｜OF｜×｜y1－y2｜＝，
令t＝＞1，
所以S＝＝≤＝，
當且僅當＝t，即t＝，m＝1時取等號，
所以△OAB面積的最大值為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共21張PPT)
重點突破(四) 圓錐曲線中的最值(范圍)問題
　
第二章　§4　直線與圓錐曲線的位置關系
學習目標
1.通過圓錐曲線方程的學習，進一步體會數形結合思想在最 值(范圍)問題中的應用.
2.能根據圓錐曲線的有關性質解決有關最值(范圍)的綜合
問題.
3.借助于圓錐曲線的最值(范圍)問題，進一步提升直觀想象、 邏輯推理、數學運算的核心素養.
題型一　范圍問題
典例
1
規律方法
圓錐曲線中求取值范圍問題的五種常用方法
1.利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍.
2.利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系.
3.利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.
4.利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍.
5.利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.
返回
題型二　最值問題
典例
2
規律方法
圓錐曲線最值問題的求解方法
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.
返回

展開更多......

收起↑