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學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間坐標(biāo)系建立的過(guò)程與必要性.　2.能建立空間直角坐標(biāo)系解決空間幾何問(wèn)題，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型一　利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱建系
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，｜AC｜＝｜BC｜＝｜CC1｜＝2.
(1)求證：AB1⊥BC1；
(2)求點(diǎn)B到平面AB1C1的距離.
解：(1)證明：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
依題意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2).所以＝(－2，2，2)，＝(0，－2，2).
因?yàn)椤ぃ?－2，2，2)·(0，－2，2)＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)由(1)知＝(－2，0，2)，＝(－2，2，2).
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面AB1C1的法向量，
由
所以
令z1＝1，則n1＝(1，0，1)，因?yàn)椋?－2，2，0)，
所以點(diǎn)B到平面AB1C1的距離為d＝
＝＝.
1.在長(zhǎng)方體、正方體中，一般選擇共頂點(diǎn)的三條相互垂直的棱為坐標(biāo)軸建系.
2.直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的鄰邊，也可構(gòu)造此類(lèi)建系模型.
對(duì)點(diǎn)練1.如圖，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求：
(1)平面ABCD的一個(gè)法向量；
(2)平面SAB的一個(gè)法向量；
(3)平面SCD的一個(gè)法向量.
解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD，AB，AS所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1).
(1)因?yàn)镾A⊥平面ABCD，
所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.
(2)因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
所以AD⊥平面SAB，
所以＝是平面SAB的一個(gè)法向量.
(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).
設(shè)平面SCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n⊥，n⊥，
所以
所以取y＝－1，得x＝2，z＝1，
所以n＝(2，－1，1).
所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一個(gè)法向量.
題型二　利用正棱錐底面中心與高所在的直線(xiàn)建系
如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA＝AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn).若平面AEF與棱PC交于點(diǎn)G，求平面AEGF與平面ABCD的夾角的余弦值.
解：如圖所示，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，則OA，OB，OP兩兩互相垂直.
所以以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)镻A＝AB＝2，由勾股定理易知OA＝OB＝OP＝＝2.
從而可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，F(xiàn)(0，－1，1).
所以＝(－2，1，1)，＝(－2，－1，1).
設(shè)平面AEGF的法向量為n＝(x，y，z)，
則
可取x＝1，解得y＝0，z＝2，
從而得到平面AEGF的一個(gè)法向量為n＝(1，0，2).
平面ABCD的法向量顯然可取為m＝(0，0，1)，
從而cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面AEGF與平面ABCD的夾角的余弦值是.
正棱錐底面中心與頂點(diǎn)的連線(xiàn)與底面垂直，建系時(shí)常作z軸.
對(duì)點(diǎn)練2.已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.
(1)求∠DEB的余弦值；
(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.
解：(1)如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，
知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E.
所以＝，＝.
所以cos〈，〉＝＝，
即cos∠DEB＝.
(2)因?yàn)锽E⊥VC，所以·＝0，
又＝(－a，a，－h(huán))，
即·(－a，a，－h(huán))＝0，
所以a2－－＝0，所以h＝a.
此時(shí)cos〈，〉＝＝
＝－＝－，
即cos∠DEB＝－.
題型三　利用線(xiàn)面、面面的垂直關(guān)系建系
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，點(diǎn)E為棱PD上一點(diǎn)(不與P，D重合)，平面BCE交棱PA于點(diǎn)F.
(1)求證：BC∥EF；
(2)若E為PD中點(diǎn)，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值.
解：(1)證明：因?yàn)锽C∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
(2)取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，
因?yàn)锳B＝BC，且∠ABC＝60°，
所以△ABC為等邊三角形，
所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD.
所以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AM，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則A(0，0，0)，C(，1，0)，E(0，2，1).
所以＝(0，2，1)，＝(，1，0).
設(shè)平面ACE的法向量為n＝(x，y，z)，
則
取x＝，則y＝－3，z＝6，得n＝(，－3，6).
因?yàn)锳M⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量為m＝(1，0，0).
設(shè)平面ACE與平面PAD的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝＝.
所以平面ACE與平面PAD夾角的余弦值為.
1.已知條件中的線(xiàn)面、面面垂直關(guān)系是建系的依據(jù).
2.如果題目中沒(méi)有明顯的垂直關(guān)系，可先根據(jù)已知條件，設(shè)法證明線(xiàn)面、面面垂直，進(jìn)而為建系做準(zhǔn)備.
對(duì)點(diǎn)練3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn).
(1)求證：AE⊥平面A1BD；
(2)求直線(xiàn)AB與平面A1BD所成角的正弦值.
解：(1)證明：如圖所示，取A1C1的中點(diǎn)G，連接DG，由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BD 平面ABC，
所以BD⊥平面ACC1A1.
由D，G分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，可得DG⊥AC，可得DG，DA，DB兩兩垂直.
所以以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DG，DA，DB所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(2，1，0)，E(1，－1，0)，B(0，0，)，B1(2，0，).
可得＝(1，－2，0)，＝(2，1，0)，＝(0，0，).
因?yàn)椤ぃ?，·＝0，
所以AE⊥DA1，AE⊥DB.
又DA1∩DB＝D，DA1，DB 平面A1BD，
所以AE⊥平面A1BD.
(2)由(1)可得AE⊥平面A1BD，則n＝＝(1，－2，0)，即為平面A1BD的一個(gè)法向量.
又＝(0，－1，)，設(shè)直線(xiàn)AB與平面A1BD所成的角為θ，
可得sin θ＝｜c(diǎn)os〈，n〉｜＝＝＝，
所以直線(xiàn)AB與平面A1BD所成角的正弦值為.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)(共27張PPT)
重點(diǎn)突破(六) 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建問(wèn)題
　
第三章　§4　向量在立體幾何中的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解空間坐標(biāo)系建立的過(guò)程與必要性.
2.能建立空間直角坐標(biāo)系解決空間幾何問(wèn)題，提升直觀想象、邏輯推 理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型一　利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱建系
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝
90°，｜AC｜＝｜BC｜＝｜CC1｜＝2.
(1)求證：AB1⊥BC1；
解：證明：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1
所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
典例
1
規(guī)律方法
1.在長(zhǎng)方體、正方體中，一般選擇共頂點(diǎn)的三條相互垂直的棱為坐標(biāo)軸建系.
2.直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的鄰邊，也可構(gòu)造此類(lèi)建系模型.
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題型二　利用正棱錐底面中心與高所在的直線(xiàn)建系
典例
2
規(guī)律方法
正棱錐底面中心與頂點(diǎn)的連線(xiàn)與底面垂直，建系時(shí)常作z軸.
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題型三　利用線(xiàn)面、面面的垂直關(guān)系建系
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，
點(diǎn)E為棱PD上一點(diǎn)(不與P，D重合)，平面BCE交棱PA于
點(diǎn)F.
(1)求證：BC∥EF；
解：證明：因?yàn)锽C∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
典例
3
(2)若E為PD中點(diǎn)，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值.
解：取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，
因?yàn)锳B＝BC，且∠ABC＝60°，
所以△ABC為等邊三角形，
所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD.
所以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AM，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
規(guī)律方法
1.已知條件中的線(xiàn)面、面面垂直關(guān)系是建系的依據(jù).
2.如果題目中沒(méi)有明顯的垂直關(guān)系，可先根據(jù)已知條件，設(shè)法證明線(xiàn)面、面面垂直，進(jìn)而為建系做準(zhǔn)備.
對(duì)點(diǎn)練3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是
2，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn).
(1)求證：AE⊥平面A1BD；
解：證明：如圖所示，取A1C1的中點(diǎn)G，連接DG，
由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.
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