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學習目標 1.學會解決點點、點線、線線對稱問題.　2.會應(yīng)用對稱關(guān)系解決最值問題.　3.通過點點、點線、線線對稱的學習，提升直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).
題型一　中心對稱問題
(1)求點(3，－1)關(guān)于點(2，4)的對稱點；
(2)(一題多解)求直線3x－y－4＝0關(guān)于點(2，－1)的對稱直線l的方程.
解：(1)設(shè)所求點為(x0，y0)，
由中點坐標公式得
即對稱點為(1，9).
(2)法一：設(shè)直線l上任意一點M的坐標為(x，y)，則此點關(guān)于點(2，－1)的對稱點為M1(4－x，－2－y)，
且M1在直線3x－y－4＝0上，
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
即3x－y－10＝0.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法二：在直線3x－y－4＝0上取兩點A(0，－4)，B(1，－1)，
則點A(0，－4)關(guān)于點(2，－1)的對稱點為A1(4，2)，點B(1，－1)關(guān)于點(2，－1)的對稱點為B1(3，－1).
可得直線A1B1的方程為3x－y－10＝0，
即所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法三：由平面幾何知識易知所求直線l與直線3x－y－4＝0平行，
則可設(shè)l的方程為3x－y＋c＝0(c≠－4).
在直線3x－y－4＝0上取一點(0，－4)，
則點(0，－4)關(guān)于點(2，－1)的對稱點(4，2)在直線3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
中心對稱的常見類型及解題策略
1.點關(guān)于點對稱
點P(x0，y0)關(guān)于點A(m，n)的對稱點P'(x'，y')，本質(zhì)是中點問題，所以可利用中點坐標公式求得，即由
2.直線關(guān)于點對稱
直線l關(guān)于點P對稱的直線l'滿足：(1)直線l'與直線l平行；(2)直線l上的任意一點關(guān)于點P的對稱點在直線l'上.直線l關(guān)于點P(x0，y0)的對稱直線l'的方程的三種求法：①設(shè)直線l'上任意一點N(x，y)，則其關(guān)于點P(x0，y0)的對稱點M的坐標為(2x0－x，2y0－y)，且點M在直線l上，將點M的坐標代入直線l的方程，化簡即可得直線l'的方程.②求出直線l上的兩個特殊點M，N關(guān)于點P的對稱點M'，N'的坐標，則直線M'N'的方程即為所求直線l'的方程.③若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，點P(x0，y0)，可設(shè)直線l'的方程為Ax＋By＋C'＝0(C'≠C).由點P到直線l和l'的距離相等，可列方程＝求解，進而可得直線l'的方程.
對點練1.(1)已知不同的兩點P(a，－b)與Q(b＋1，a－1)關(guān)于點(3，4)對稱，則ab＝(　　)
A.14 B.－14
C.5 D.－5
(2)與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線方程是(　　)
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
答案：(1)B(2)D
解析：(1)由題意知故ab＝7×(－2)＝－14.故選B.
(2)由平面幾何知識易知所求直線與已知直線2x＋3y－6＝0平行，則可設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋C＝0(C≠－6).在直線2x＋3y－6＝0上任取一點(3，0)，則點(3，0)關(guān)于點(1，－1)的對稱點(－1，－2)必在所求直線上，所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.所以所求直線方程是2x＋3y＋8＝0.故選D.
題型二　軸對稱問題
已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點P(4，5)關(guān)于l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關(guān)于l的對稱直線的方程.
解：(1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P'(x'，y')，
則線段PP'的中點在直線l上，且直線PP'垂直于直線l，
即
所以點P'的坐標為(－2，7).
(2)解方程組
則點在所求直線上.
在直線y＝x－2上任取一點M(2，0)，
設(shè)點M關(guān)于直線l的對稱點為M'(x0，y0)，
則
點M'也在所求直線上，
由兩點式得直線方程為＝，
化簡得7x＋y＋22＝0，即為所求直線方程.
軸對稱的常見類型及解題策略
1.點關(guān)于直線對稱
(1)基本方法：設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點為P'(x'，y')，則線段PP'的中點在已知直線上且直線PP'與已知直線垂直.即解此方程組可得x'，y'，即得點P'的坐標.
(2)常見結(jié)論：
點P(x0，y0)關(guān)于x軸的對稱點為P'(x0，－y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于y軸的對稱點為P'(－x0，y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線x＝a的對稱點為P'(2a－x0，y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝b的對稱點為P'(x0，2b－y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝x的對稱點為P'(y0，x0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝－x的對稱點為P'(－y0，－x0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝x＋b的對稱點為P'(y0－b，x0＋b)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝－x＋b的對稱點為P'(－y0＋b，－x0＋b).
2.直線關(guān)于直線對稱
(1)基本方法：①若已知直線l1與已知對稱軸相交，則交點必在與直線l1對稱的直線l2上，然后求出直線l1上任意一點(除交點外)關(guān)于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線l2的方程.
②若已知直線l1與已知對稱軸平行，則直線l1關(guān)于對稱軸對稱的直線l2與直線l1平行，可以利用直線l1與對稱軸間的距離等于直線l2與對稱軸間的距離求解；也可以求出直線l1上任意一點關(guān)于對稱軸對稱的點，利用點斜式寫出直線l2的方程.
(2)常見結(jié)論：
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為Ax－By＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于y軸對稱的直線的方程為－Ax＋By＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于直線y＝x對稱的直線的方程為Ay＋Bx＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于直線y＝－x對稱的直線的方程為－Ay－Bx＋C＝0.
對點練2.已知P(－1，2)，M(1，3)，直線l：y＝2x＋1.
(1)求點P關(guān)于直線l的對稱點R的坐標；
(2)求直線PM關(guān)于直線l對稱的直線方程.
解：(1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點R的坐標為(x，y)，
則有
解得所以R的坐標為.
(2)因為M(1，3)的坐標滿足直線l的方程，
又點P關(guān)于直線l的對稱點為R，
則直線MR即為所求的直線，由兩點式得所求直線方程為11x＋2y－17＝0.
題型三　與對稱有關(guān)的最值(范圍)問題
已知直線l：3x－y－1＝0及點A(4，1)，B(0，4)，C(2，0).
(1)試在l上求一點P，使｜AP｜＋｜CP｜最小，并求這個最小值；
(2)試在l上求一點Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大，并求這個最大值.
解：(1)設(shè)C關(guān)于直線l的對稱點C'的坐標為(a，b)，
則
即C'(－1，1)，
則直線AC'的方程為y＝1，
聯(lián)立
即交點為P，此時｜AP｜＋｜CP｜最小，最小值為｜AC'｜＝＝4＋1＝5.
(2)設(shè)B關(guān)于直線l的對稱點B'的坐標為(m，n)，
則
解得得B'(3，3)，
直線AB'的方程為＝，即2x＋y－9＝0，
聯(lián)立即Q(2，5)，
由對稱性知，｜BQ｜＝｜B'Q｜，｜AQ｜－｜BQ｜＝｜AQ｜－｜B'Q｜≤｜AB'｜(當且僅當Q，B'，A三點共線時取“＝”)，
所以l上的點Q(2，5)，是使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大的點.
此時最大值為｜AB'｜＝＝.
利用對稱性求距離的最值問題
由平面幾何知識(三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點中某一點，如A關(guān)于直線l的對稱點A'，得直線A'B的方程，再求其與直線l的交點即可.對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解.
對點練3.在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q.使得：
(1)P到B(0，4)與A(4，1)的距離之差最大；
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小.
解：(1)如圖所示，
設(shè)點B關(guān)于l的對稱點B'的坐標為(a，b)，連接BB'，則·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0.①
因為BB'的中點在直線l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
所以點B'的坐標為(5，－1).
于是AB'所在直線的方程為＝，即2x＋y－9＝0.
易知｜PB｜－｜PA｜＝｜PB'｜－｜PA｜，當且僅當P，B'，A三點共線時，｜PB'｜－｜PA｜最大.
所以聯(lián)立直線l與AB'的方程，解得x＝，y＝，
即直線l與AB'的交點坐標為.
故點P的坐標為.
(2)如圖所示，
設(shè)點C關(guān)于l的對稱點為C'，可求得C'的坐標為(1，2)，
所以AC'所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，當且僅當Q，A，C'三點共線時，｜QA｜＋｜QC'｜最小.
所以聯(lián)立直線AC'與l的方程，解得x＝，y＝，
即直線AC'與l的交點坐標為.
故點Q的坐標為.
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重點突破(一) 對稱與最值問題
　
第一章　§1　直線與直線的方程
學習目標
1.學會解決點點、點線、線線對稱問題.
2.會應(yīng)用對稱關(guān)系解決最值問題.
3.通過點點、點線、線線對稱的學習，提升直觀想象、數(shù)學 運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).
題型一　中心對稱問題
典例
1
(2)(一題多解)求直線 3x－y－4＝0關(guān)于點(2，－1)的對稱直線l的方程.
解：法一：設(shè)直線l上任意一點M的坐標為(x，y)，則此點關(guān)于點(2，－1)的對稱點為M1(4－x，－2－y)，
且M1在直線3x－y－4＝0上，
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
即3x－y－10＝0.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法二：在直線3x－y－4＝0上取兩點A(0，－4)，B(1，－1)，
則點A(0，－4)關(guān)于點(2，－1)的對稱點為A1(4，2)，點B(1，－1)關(guān)于點(2，－1)的對稱點為B1(3，－1).
可得直線A1B1的方程為3x－y－10＝0，
即所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法三：由平面幾何知識易知所求直線l與直線3x－y－4＝0平行，
則可設(shè)l的方程為3x－y＋c＝0(c≠－4).
在直線3x－y－4＝0上取一點(0，－4)，
則點(0，－4)關(guān)于點(2，－1)的對稱點(4，2)在直線3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
規(guī)律方法
規(guī)律方法

√
對點練1.(1)已知不同的兩點P(a，－b)與Q(b＋1，a－1)關(guān)于點(3，4)對稱，則ab＝
A.14 B.－14
C.5 D.－5
√
(2)與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線方程是
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
由平面幾何知識易知所求直線與已知直線2x＋3y－6＝0平行，則可設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋C＝0(C≠－6).在直線2x＋3y－6＝0上任取一點(3，0)，則點(3，0)關(guān)于點(1，－1)的對稱點(－1，－2)必在所求直線上，所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.所以所求直線方程是2x＋3y＋8＝0.故選D.
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題型二　軸對稱問題
典例
2
規(guī)律方法

規(guī)律方法
(2)常見結(jié)論：
點P(x0，y0)關(guān)于x軸的對稱點為P'(x0，－y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于y軸的對稱點為P'(－x0，y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線x＝a的對稱點為P'(2a－x0，y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝b的對稱點為P'(x0，2b－y0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝x的對稱點為P'(y0，x0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝－x的對稱點為P'(－y0，－x0)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝x＋b的對稱點為P'(y0－b，x0＋b)；
點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝－x＋b的對稱點為P'(－y0＋b，－x0＋b).
規(guī)律方法
2.直線關(guān)于直線對稱
(1)基本方法：①若已知直線l1與已知對稱軸相交，則交點必在與直線l1對稱的直線l2上，然后求出直線l1上任意一點(除交點外)關(guān)于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線l2的方程.
②若已知直線l1與已知對稱軸平行，則直線l1關(guān)于對稱軸對稱的直線l2與直線l1平行，可以利用直線l1與對稱軸間的距離等于直線l2與對稱軸間的距離求解；也可以求出直線l1上任意一點關(guān)于對稱軸對稱的點，利用點斜式寫出直線l2的方程.
規(guī)律方法
(2)常見結(jié)論：
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為Ax－By＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于y軸對稱的直線的方程為－Ax＋By＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于直線y＝x對稱的直線的方程為Ay＋Bx＋C＝0；
與直線Ax＋By＋C＝0關(guān)于直線y＝－x對稱的直線的方程為－Ay－Bx＋C＝0.
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題型三　與對稱有關(guān)的最值(范圍)問題
典例
3
規(guī)律方法
利用對稱性求距離的最值問題
由平面幾何知識(三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點中某一點，如A關(guān)于直線l的對稱點A'，得直線A'B的方程，再求其與直線l的交點即可.對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解.
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