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章末綜合提升
探究點一　直線的方程
已知點A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).求：
(1)BC邊上的中線所在直線的方程；
(2)BC邊上的高所在直線的方程；
(3)三角形ABC的面積.
解：(1)因為A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，
所以線段BC的中點坐標為( 1，).
易知BC邊上的中線所在直線的斜率不存在，
所以BC邊上的中線所在的直線方程為x＝1.
(2)因為kBC＝＝，
所以BC邊上的高所在直線的斜率k＝－4，
所以BC邊上的高所在直線的方程為y－3＝－4(x－1)，即4x＋y－7＝0.
(3)因為直線BC的方程為y－0＝(x＋1)，即x－4y＋1＝0，則點A到直線BC的距離d＝＝.
又｜BC｜＝＝，
所以S△ABC＝××＝5.
求直線方程的關注點
方法 直接法、待定系數法
關鍵 掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉化，能根據條件靈活選用方程
注意 當不能確定某種條件是否具備時，要另行討論條件不滿足的情況
對點練1.(1)已知直線l的一個法向量為(1，－2)，且經過點A(1，0)，則直線l的方程為(　　)
A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0
(2)經過點(1，3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是(　　)
A.x＋y＝4 B.y＝x＋2
C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2
答案：(1)C(2)D
解析：(1)直線l的一個法向量為(1，－2)，所以設直線l的方程為x－2y＋C＝0，代入點A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直線l的方程為x－2y－1＝0.故選C.
(2)當直線過原點時，方程為y＝3x，符合題意；當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1，將點(1，3)代入直線方程中，則＋＝1，解得a＝－2，所以直線方程為y＝x＋2，綜上，所求直線的方程為y＝3x或y＝x＋2.故選D.
探究點二　兩條直線的平行與垂直
已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a，b的值.
(1)直線l1過點(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直；
(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標原點到l1，l2的距離相等.
解：(1)因為l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又點(－3，－1)在l1上，
所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)因為l1∥l2且l2的斜率為1－a，
所以l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分別表示為
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
因為原點到l1與l2的距離相等，
所以4＝，解得a＝2或a＝.
因此
直線一般式方程下兩直線的平行與垂直
　　已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
對點練2.(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數a的值為　　　　.
(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝　　　　.
答案：(1)－3(2)－1
解析：(1)因為直線l1：ax－3y＋1＝0與l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3.
(2)因為直線l1：x＋my＋6＝0與l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以解得m＝－1.
探究點三　兩直線的交點與距離問題
已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直線l2：4x－2y－1＝0和直線l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距離是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：
①P是第一象限的點；
②P點到l1的距離是P點到l2的距離的；
③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶？若能，求出P點坐標；若不能，請說明理由.
解：(1)l2的方程即為2x－y－＝0，
所以l1和l2的距離d＝＝，
所以｜a＋｜＝.
因為a＞0，所以a＝3.
(2)設點P(x0，y0)，若P點滿足條件②，
則P點在與l1和l2平行的直線l'：2x－y＋c＝0上，且＝×，
即c＝或c＝.
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若點P滿足條件③，由點到直線的距離公式，得＝·，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
因為點P在第一象限，
所以3x0＋2＝0不符合題意.
聯立方程
解得x0＝－3，y0＝，應舍去.
聯立
解得x0＝，y0＝.
所以P( ，)即為同時滿足三個條件的點.
1.平面直角坐標系中的距離公式
2.兩條直線的位置關系的研究以兩直線的交點為基礎，通過交點與距離涵蓋直線的所有問題.
3.解決解析幾何中的交點與距離問題，往往是代數運算與幾何圖形直觀分析相結合，培養數學運算的核心素養.
對點練3.(1)若點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是，則實數a的值為(　　)
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
(2)(一題多解)已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且點P(0，4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數為(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：(1)C(2)C
解析：(1)因為點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是，所以＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，所以實數a的值為－1或5.故選C.
(2)法一：由即直線l過點(1，2).設點Q(1，2)，因為｜PQ｜＝＝＞2，所以滿足條件的直線l有2條.故選C.
法二：依題意，設經過直線l1與l2交點的直線l的方程為2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，
即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由題意得＝2，化簡得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0，故滿足條件的直線l有2條.故選C.
探究點四　對稱問題
(1)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，一束光線從點F(－1，0)出發經AC反射后，再經BC上點D反射，落到點E(1，0)上.則點D的坐標為(　　)
A. B.
C.(1，2) D.(2，1)
(2)已知點A(2，0)，B(－2，－4)，P在直線l：x－2y＋8＝0上，則｜PA｜＋｜PB｜的最小值等于　　　　.
答案：(1)C(2)12
解析：(1)根據入射光線與反射光線關系可知，分別作出F，E關于AC，BC的對稱點G，H，連接GH，交BC于D，則D點即為所求，如圖所示，因為AC所在直線方程為y＝x＋3，F(－1，0)，設G(x，y)，則解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2)，由BC所在直線方程為y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直線GH方程為y＝2，由解得D(1，2).故選C.
(2)設A關于l的對稱點為A'(m，n)，則解得m＝－2，n＝8，所以A'(－2，8)，則＝＝12，所以｜PA｜＋｜PB｜的最小值是12.
1.點關于點的對稱問題：是對稱問題中最基礎最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點關于點的對稱進行求解.熟練掌握和靈活運用中點坐標公式是處理這類問題的關鍵.
2.點關于直線的對稱問題：是點關于點的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：(1)兩點連線與已知直線互相垂直，斜率乘積等于－1；(2)兩點的中點在已知直線上.
3.直線關于點的對稱問題：可轉化為直線上的點關于此點對稱的問題，這里需要注意的是兩對稱直線是平行的，我們往往利用平行直線系去求解.
對點練4.(1)與直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是(　　)
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
(2)已知點M(3，5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點P和Q，則△MPQ周長最小為　　　　　　　.
答案：(1)D(2)4
解析：(1)設所求直線上一點的坐標為(x，y)，則其關于點(1，－1)對稱的點的坐標為(2－x，－2－y)，則點(2－x，－2－y)在直線2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化簡得2x＋3y＋8＝0.故選D.
(2)由點M(3，5)及直線l，可求得點M關于l的對稱點為M1(5，1).同樣可求得點M關于y軸的對稱點為M2(－3，5).則周長最小值為｜M1M2｜＝＝4.
探究點五　圓的方程
已知△ABC的頂點C(2，－8)，直線AB的方程為y＝－2x＋11，AC邊上的高BH所在直線的方程為x＋3y＋2＝0.
(1)求頂點A和B的坐標；
(2)求△ABC外接圓的一般式方程.
解：(1)聯立所以頂點B(7，－3).
因為AC⊥BH，所以kAC·kBH＝－1，已知kBH＝－，所以kAC＝3，
所以設直線AC的方程為y＝3x＋b，
將C(2，－8)代入得b＝－14，所以直線AC的方程為y＝3x－14.
由可得頂點A(5，1).
(2)設△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
將A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三點的坐標分別代入，
得
所以△ABC外接圓的一般式方程為x2＋y2－4x＋6y－12＝0.
1.圓的方程中有三個參數，即標準方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三個獨立條件建立方程組求解.
2.求圓的方程時，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待定系數法求解.
對點練5.已知圓的半徑為，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為4，求圓的方程.
解：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10，
則圓心為(a，b)，半徑r＝，
圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離d＝.
由半弦長、弦心距、半徑組成的直角三角形得d2＋＝r2，
即＋8＝10，所以(a－b)2＝4.
又因為b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
探究點六　直線與圓、圓與圓的位置關系
已知圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，直線l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0，m∈R.
(1)證明：不論m取任何實數，直線l與圓C恒交于兩點；
(2)當直線l被圓C截得的弦長最短時，求此最短弦長及直線l的方程.
解：(1)證明：因為l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0，
所以m(2x＋y－7)＋(x－y＋1)＝0，
因為m∈R，所以
故直線l過定點A(2，3).
因為圓C的圓心為C(－1，2)，r＝4，＝＜4，則點A在圓內.
所以直線l與圓C恒交于兩點.
(2)由(1)知直線l過定點A(2，3)，所以當直線l被圓C截得的弦長最短時有l⊥AC，
弦心距d＝ ＝，
所以最短弦長為2＝2＝2.
因為kAC＝＝，所以kl＝－3，故直線l的方程為3x＋y－9＝0.
已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；
(2)求過點(2，3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程.
解：(1)把圓C1與圓C2都化為標準方程形式，得圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，圓C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
則C1(－2，2)，r1＝；C2(4，－2)，r2＝.
因為｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2，
所以圓C1與圓C2相切.
兩圓方程相減得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，此方程即為過切點的兩圓公切線的方程.
(2)由圓系方程，可設所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
點(2，3)在此圓上，將此點坐標代入方程解得λ＝.
所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
1.直線與圓問題的類型
(1)求切線方程：可以利用待定系數法結合圖形或代數法求得.
(2)弦長問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數法結合弦長公式求解.
2.(1)圓與圓的位置關系主要是通過圓心距與兩半徑長的和或兩半徑長的差的絕對值的大小關系來判斷.
(2)求兩圓的公切線方程時，主要利用圓心到直線的距離等于半徑求解.特別地，當兩圓相切時，與求兩圓公共弦所在直線方程的方法類似，將兩圓的方程相減即得兩圓公切線方程.
(3)靈活地運用圓系方程進行解題可以使問題化繁為簡，提高運算效率.
對點練6.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線l：4x－3y－3＝0截得的弦長為2.
(1)求圓C的方程；
(2)設P是直線x＋y＋4＝0上的動點，過點P作圓C的切線PA，切點為A，證明：經過A，P，C三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.
解：(1)設圓心C(a，0)(a＞0)，
則圓心C到直線l：4x－3y－3＝0的距離d＝，
由題意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4，
解得a＝2或a＝－(舍去).
所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.
(2)證明：因為P是直線x＋y＋4＝0上的動點，
設P(m，－m－4)，
因為PA為圓C的切線，所以PA⊥AC，
即過A，P，C三點的圓是以PC為直徑的圓.
設圓上任一點Q(x，y)，
則·＝0，
因為＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)，
所以·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令
所以經過A，P，C三點的圓必過定點(－1，－3)和(2，0).
(2024·北京卷)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為(　　)
A. B.2
C.3 D.3
答案：D
解析：化圓的方程為標準方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以該圓的圓心(1，－3)到直線x－y＋2＝0的距離為＝＝3.
溯源(北師版P23例23)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0.
點評：兩題都是考查點到直線的距離問題，而高考題高于教材，彰顯綜合性，又考查由圓的一般方程求圓心等特征量問題.二者考查本質幾乎相同，體現了真題源于教材而高于教材的命題理念.
(2023·新課標Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sin α＝(　　)
A.1 B.
C. D.
答案：B
解析：法一：因為x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圓心C(2，0)，半徑r＝，過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，因為｜PC｜＝＝2，則｜PA｜＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，則sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝( )2－( )2＝－＜0，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故選B.
法二：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝.過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，連接AB(圖略)，可得｜PC｜＝＝2，則｜PA｜＝｜PB｜＝＝，因為｜PA｜2＋｜PB｜2－2｜PA｜·｜PB｜cos∠APB＝｜CA｜2＋｜CB｜2－2｜CA｜·｜CB｜cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，則3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB為鈍角，則cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α為銳角，所以sin α＝＝.故選B.
溯源(北師版P39A組T8)已知直線2x－y－1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0相切，求切點坐標.
點評：兩題都是考查直線與圓相切問題，而高考題高于教材，涉及圓的兩條公切線問題和三角恒等變換(主要是二倍角)，體現了知識的內在聯系，導向明確，符合新高考試題命題的趨勢.從高考題可以得到如下啟示：在平時的學習中，要用聯系的觀點看待知識，建立相關的知識聯系，形成知識的多元聯系表示方式，提升認知水平.
(2023·新課標Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為”的m的一個值　　　　.
答案：2(2，－2，，－中任意一個皆可以)
解析：設點C到直線 AB 的距離為d，由弦長公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2.
溯源(北師版P40B組T1)已知圓C：x2＋y2＋2x－2y＋m＝0與x軸交于A，B兩點，若｜AB｜＝4，求實數m的值.
點評：兩題都是考查直線與圓的位置關系問題，涉及數形結合思想和邏輯推理能力.教材習題主要考查弦長問題，而高考題不僅考查弦長，還涉及求面積問題，同時還具有開放性特點，所以無論是考查內容，還是考查的深度、廣度都高于教材，具有很好的導向作用.
(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程　　　　　　.
答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確)
解析：圓x2＋y2＝1的圓心坐標為O(0，0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心坐標為C(3，4)，半徑r2＝4，如圖所示，
因為｜OC｜＝r1＋r2，所以兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.因為kO C＝，所以l1的斜率為－，設直線l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(負值舍去)，則l1：3x＋4y－5＝0；由圖可知，l2：x＝－1；l2與l3關于直線y＝x對稱，聯立解得l2與l3的交點為，在l2上取一點(－1，0)，設該點關于y＝x的對稱點為(x0，y0)，則.所以＝＝，則l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程為x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確).
溯源(北師版P38例10)已知圓C與x軸和y軸都相切，且與圓O：x2＋y2＝1相外切，求圓C的方程.
點評：兩題都是考查直線與圓的相切問題，教材題目主要考查與x軸、y軸相切，圓與圓相切問題，綜合性較強.而高考題主要考查一條直線與兩圓相切，即公切線方程問題，兩題關聯性較強，高考題具有明顯的開放性，所以高考題更符合新高考命題的發展方向.
(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是　　　　.
答案：
解析：因為點A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直線AB關于y＝a對稱的直線的斜率為，所以對稱直線方程為y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圓心(－3，－2)，半徑為1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈.
溯源(北師版P39A組T9)經過點A(－1，2)的直線與圓x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直線l的斜率的取值范圍.
點評：兩題都是考查由直線與圓的位置關系求參數問題，具有較強的相關性.又因高考題涉及對稱性的知識，顯然考查的廣度、深度都高于教材題目.直線與圓、圓與圓的位置關系是本章的重點，所以要能夠運用代數法與幾何法解決這兩類問題.
單元檢測卷(一)　直線與圓
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.直線x＝2 025的傾斜角為(　　)
A.0° B.90°
C.180° D.不存在
答案：B
解析：因為直線x＝2 025與x軸垂直，所以直線x＝2 025的傾斜角為90°.故選B.
2.已知直線l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，則l1，l2間的距離為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：將直線l1方程化為4x＋2y－2＝0，由平行直線間的距離公式得d＝＝.故選C.
3.若直線l1：ax＋y－4＝0與直線l2：x－y－2＝0的交點位于第一象限，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－1，2) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：當a＝－1時，l1：x－y＋4＝0，此時l1∥l2，不滿足題意；當a≠－1時，解方程組解得－1＜a＜2，即實數a的取值范圍為(－1，2).故選A.
4.已知點P在圓(x＋1)2＋y2＝2上，則點P到直線x＋y－5＝0距離的最小值為(　　)
A. B.
C.2 D.3
答案：C
解析：(x＋1)2＋y2＝2的圓心C(－1，0)，r＝，圓心C(－1，0)到直線x＋y－5＝0的距離d＝＝＝3，故圓(x＋1)2＋y2＝2上的動點P到直線x＋y－5＝0的距離的最小值為3－＝2.故選C.
5.冰糖葫蘆是中國傳統小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖①所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖②所示，且山楂的半徑(圖②中圓的半徑)為2，竹簽所在的直線方程為2x＋y＝0，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為(　　)
A.2x＋y±2＝0 B.2x＋y±＝0
C.2x＋y±4＝0 D.2x＋y±2＝0
答案：D
解析：因為竹簽所在的直線方程為2x＋y＝0，設與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為2x＋y＋c＝0，由兩平行直線間的距離公式，可得＝2，解得c＝±2，所以與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為2x＋y±2＝0.故選D.
6.若直線l：kx－y－2＝0與曲線C：＝x－1有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是(　　)
A. B.
C.∪ D.
答案：B
解析：直線l：kx－y－2＝0恒過定點(0，－2)，由＝x－1，得到(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)，所以曲線C表示以點(1，1)為圓心，半徑為1，且位于直線x＝1右側的半圓(包括點(1，2)，(1，0))，如圖所示，當直線l經過點(1，0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k＝2，當l與半圓相切時，由＝1，得k＝，由圖可知，當＜k≤2時，l與曲線C有兩個不同的交點.故選B.
7.已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2＝－2y＋3，直線l經過點(1，0)且與直線x－y＋1＝0垂直，若直線l與圓C交于A，B兩點，則△OAB的面積為(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案：A
解析：由題意，得圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓心為(0，－1)，半徑r＝2.因為直線l經過點(1，0)且與直線x－y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率為－1，方程為y－0＝－(x－1)，即為x＋y－1＝0.又圓心(0，－1)到直線l的距離d＝＝，所以弦長｜AB｜＝2＝2＝2.又坐標原點O到弦AB的距離為＝，所以△OAB的面積為×2×＝1.故選A.
8.在平面直角坐標系中，已知點A(2，0)，B(0，2)，圓C：(x－a)2＋y2＝1.若圓C上存在點M，使得｜MA｜2＋｜MB｜2＝12，則實數a的值不可能是(　　)
A.－1 B.0
C.1＋2 D.－2
答案：D
解析：設M(x，y)，由題意可知｜MA｜2＋｜MB｜2＝12＝(x－2)2＋y2＋x2＋(y－2)2 (x－1)2＋(y－1)2＝4，即M(x，y)是圓C：(x－a)2＋y2＝1與圓D：(x－1)2＋(y－1)2＝4的交點，由兩圓位置關系可知圓心距滿足：2－1≤｜CD｜≤1＋2，即∈ a∈[1－2，1＋2 ]，a的值不可能是－2.故選D.
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)
9.已知直線l：x＋y－2＝0，則下列選項中正確的有(　　)
A.直線l在y軸上的截距是2
B.直線l的斜率為
C.直線l不經過第三象限
D.直線l的一個方向向量為v＝(－，3)
答案：ACD
解析：對于A，直線方程可變為y＝－x＋2，在y軸上的截距是2，故A正確；對于B，斜率k＝－，故B錯誤；對于C，由直線方程y＝－x＋2可知，直線l不經過第三象限，故C正確；對于D，該直線的一個方向向量為(1，－)，與v＝(－，3)平行，故D正確.故選ACD.
10.已知AB為圓C：x2＋y2＝4的直徑，直線l：y＝kx＋1與y軸交于點M(A，B，M三點不共線)，則下列結論正確的是(　　)
A.l與C恒有公共點
B.△ABM是鈍角三角形
C.△ABM的面積的最大值為1
D.l被C截得的弦的長度最小值為2
答案：ABD
解析：直線l：y＝kx＋1與y軸交于點M，所以M(0，1)，且M在圓C：x2＋y2＝4內部，所以l與C恒有公共點，故A正確；因為點M在圓C：x2＋y2＝4內部，所以∠AMB為鈍角，所以△ABM是鈍角三角形，故B正確；M到AB的最大距離，即到圓心的距離為1，所以≤×4×1＝2，故C錯誤；l被C截得的弦的長度最小時，圓心到直線的距離最大，且此距離為M到圓心的距離為1，故弦長的最小值為2＝2，故D正確.故選ABD.
11.已知圓M：x2＋y2＋4x＝0和圓N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B兩點，則下列說法正確的是(　　)
A.AB⊥MN
B.直線AB的方程為x＋y＋3＝0
C.線段AB的長為
D.M到直線AB的距離與N到直線AB的距離之比為1∶4
答案：ABC
解析：對于A，因為兩個圓相交，所以圓心M，N所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B，因為圓M：x2＋y2＋4x＝0和圓N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B兩點，所以兩圓方程相減得到4x＋4y＋12＝0，即AB：x＋y＋3＝0，故B正確；對于C，圓M：x2＋y2＋4x＝0化為標準方程是(x＋2)2＋y2＝4，圓心M(－2，0)到直線AB：x＋y＋3＝0的距離為d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2＝，故C正確；對于D，因為圓N：x2＋y2－4y－12＝0化為標準方程是x2＋(y－2)2＝16，圓心N(0，2)到直線AB：x＋y＋3＝0的距離為d'＝＝，所以M到直線AB的距離與N到直線AB的距離之比為d∶d'＝∶＝1∶5，故D錯誤.故選ABC.
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，將答案填在題中的橫線上.)
12.已知直線l過點(－1，6)且方向向量為(2，－3)，則l在y軸上的截距為　　　　.
答案：
解析：因為直線l的方向向量為(2，－3)，所以直線斜率k＝－，又直線l過點(－1，6)，所以直線方程為y－6＝－(x＋1)，即3x＋2y－9＝0，令x＝0，得y＝，所以l在y軸上的截距為.
13.由點A(－3，3)發出的光線l經x軸反射，反射光線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，則l的方程為　　　　　　　　.
答案：3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
解析：已知圓的標準方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它關于x軸對稱的圓的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1，設光線l所在直線的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，即kx－y＋3k＋3＝0，由題設知對稱圓的圓心C'(2，－2)到這條直線的距離等于1，即d＝＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.故所求的直線方程是y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
14.某市為了改善城市中心環境，計劃將市區某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內一個高塔，施工單位在某平臺O的北偏東45°方向40 m處設立觀測點A，在平臺O的正西方向240 m處設立觀測點B，已知經過O，A，B三點的圓為圓C，規定圓C及其內部區域為安全預警區.以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，經觀測發現，在平臺O的正南方向200 m的P處，有一輛小汽車沿北偏西45°方向行駛，則小汽車　　　　進入安全預警區.(填“會”或“不會”)
答案：會
解析：由題意得A(40，40)，B(－240，0)，設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因為圓C經過O，A，B三點，所以所以圓C的方程為x2＋y2＋240x－320y＝0，即(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圓心為C(－120，160)，半徑r＝200，小汽車行駛路線所在直線的斜率為－1，又點P的坐標是(0，－200)，所以小汽車行駛路線所在直線的方程為y＝－x－200，圓心C到直線y＝－x－200的距離d＝＝120＜r，所以直線y＝－x－200與圓C相交，即小汽車會進入安全預警區.
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.(13分)已知直線l經過點P(－2，5)，且斜率為－.
(1)求直線l的方程；
(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程.
解：(1)由直線方程的點斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直線方程為3x＋4y－14＝0.
(2)由直線m與直線l平行，可設直線m的方程為3x＋4y＋C＝0(C≠－14)，
由點到直線的距離公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直線m的方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
16.(15分)已知直線l經過直線l1：x－2y＋3＝0，l2：x＋y－3＝0的交點P，且A(3，2)，B(－1，－2)兩點到直線l的距離相等.
(1)求直線l的一般式方程；
(2)若點A，B在直線l的同側，且Q為直線l上一個動點，求｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值.
解：(1)由所以交點P(1，2).
①當所求直線與直線AB平行時，
直線AB的斜率為kAB＝＝1，
則所求直線的方程為y－2＝1×(x－1)，即x－y＋1＝0.
②當所求直線過AB的中點時，
則所求直線垂直于x軸.
故所求直線方程為x＝1，即x－1＝0.
綜上所述，所求直線方程為x－y＋1＝0或x－1＝0.
(2)因為點A，B在直線l的同側，所以直線l的方程為x－y＋1＝0，
設點A關于直線l的對稱點為C(x0，y0)，
則
化簡可得
所以點C(1，4).
因為｜AQ｜＋｜BQ｜≥｜CB｜＝＝2.
當Q，B，C三點共線時等號取到，
故｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值為2.
17.(15分)已知k∈R，圓C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0.
(1)若圓C與圓x2＋y2＝1外切，求實數k的值；
(2)求圓心C的軌跡方程；
(3)是否存在定直線l，使得動圓C截直線l所得的弦長恒為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
解：(1)由圓C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0，
化為標準方程為(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝42，
所以圓C的圓心為C(－k，－2k－5)，半徑r＝4.
因為圓C與圓x2＋y2＝1外切，
所以＝4＋1＝5，解得k＝0或k＝－4.
(2)由(1)得C(－k，－2k－5)，即消去k得y＝2x－5，
所以圓心C的軌跡方程為y＝2x－5.
(3)設直線l交圓C于A，B兩點，設C(－k，－2k－5)到直線l的距離為d，
則｜AB｜＝2，假設存在符合題意的定直線l，
則＝2，解得d＝，
即圓心C到直線l的距離恒為，
而圓心C的軌跡方程為2x－y－5＝0，
所以可設直線l的方程為2x－y＋t＝0(t≠－5)，
且＝，｜t＋5｜＝，
解得t＝－或t＝－，
所以存在符合題意的定直線l，且定直線l的方程為2x－y－＝0或2x－y－＝0.
18.(17分)已知圓心為C的圓經過A(3，0)，B(－1，4)兩點，且圓心在直線l1：y＝3x－1上.
(1)求圓C的方程；
(2)在直線l2：y＝－2x上是否存在一點Q，過點Q向圓C引兩切線，切點為E，F，使△QEF為正三角形？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由.
解：(1)設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
則
所以圓C的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)得，圓C的圓心C(1，2)，半徑r＝2，
假設存在點Q，如圖所示.
設Q(t，－2t)，
則∠CQE＝∠CQF＝30°，
則在Rt△QCE中，｜CQ｜＝2｜CE｜＝2r＝4，
即＝4，
解得t＝或－3，
則Q或Q(－3，6)，
所以存在點Q或Q(－3，6)使△QEF為正三角形.
19.(17分)在平面直角坐標系中，已知圓C經過原點和點P(2，0)，并且圓心在x軸上.
(1)求圓C的標準方程；
(2)設P1P2為圓C的動弦，且P1P2不經過點P，記k1，k2分別為弦P1P，P2P的斜率.
①若k1·k2＝－1，求△PP1P2面積的最大值；
②若k1·k2＝3，請判斷動弦P1P2是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.
解：(1)法一：幾何法
由已知得，圓心在直線x＝1和y＝0上，
從而圓心坐標為C(1，0)，半徑為r＝1，
所以圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝1.
法二：代數法
設圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知可得
解得a＝1，b＝0，r＝1，
所以圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)①法一：幾何法
因為k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P，從而直線P1P2經過圓心，從而｜P1P2｜＝2，
要使△PP1P2的面積最大，需使點P到直線P1P2的距離等于圓C的半徑1，
所以()max＝×2×1＝1.
法二：代數法
因為k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P，
從而直線P1P2經過圓心，△PP1P2是直角三角形，且｜P1P2｜＝2，
設｜P1P｜＝a，｜P2P｜＝b，則a2＋b2＝4，
又4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，當且僅當a＝b＝時取等號，
所以()max＝ab＝1.
②由k1·k2＝3，可知直線P1P2的斜率存在，
設直線P1P2的方程為y＝kx＋m，P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
由消去y，得(k2＋1)x2＋2(km－1)x＋m2＝0，
則Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝(※)
又k1·k2＝·＝＝＝3，
即(3－k2)x1x2－(km＋6)(x1＋x2)＋12－m2＝0，
代入(※)得，m2＋5km＋6k2＝0，
即(m＋2k)(m＋3k)＝0，
解得m＝－2k或m＝－3k.
當m＝－2k時，此時直線P1P2的方程為y＝k(x－2)，過定點P(2，0)(舍去).
當m＝－3k時，此時直線P1P2的方程為y＝k(x－3)，過定點(3，0).
故當k1·k2＝3，動弦P1P2過定點(3，0).
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章末綜合提升
　
第一章　直線與圓
體 系 構 建
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分 層 探 究
典例
1
規律方法
求直線方程的關注點
方法 直接法、待定系數法
關鍵 掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉化，能根據條件靈活選用方程
注意 當不能確定某種條件是否具備時，要另行討論條件不滿足的情況
√
對點練1.(1)已知直線l的一個法向量為(1，－2)，且經過點A(1，0)，則直線l的方程為
A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0
直線l的一個法向量為(1，－2)，所以設直線l的方程為x－2y＋C＝0，代入點A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直線l的方程為x－2y－1＝0.故選C.
√
(2)經過點(1，3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是
A.x＋y＝4 B.y＝x＋2
C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2
探究點二　兩條直線的平行與垂直
已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a，b的值.
(1)直線l1過點(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直；
解：因為l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又點(－3，－1)在l1上，
所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
典例
2
規律方法
直線一般式方程下兩直線的平行與垂直
已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
對點練2.(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數a的值為______.
－3
因為直線l1：ax－3y＋1＝0與l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3.
(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝_____.
－1

典例
3
規律方法
1.平面直角坐標系中的距離公式
規律方法
2.兩條直線的位置關系的研究以兩直線的交點為基礎，通過交點與距離涵蓋直線的所有問題.
3.解決解析幾何中的交點與距離問題，往往是代數運算與幾何圖形直觀分析相結合，培養數學運算的核心素養.
√
√
(2)(一題多解)已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且點P(0，4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數為
A.0 B.1
C.2 D.3

典例
4
√

(2)已知點A(2，0)，B(－2，－4)，P在直線l：x－2y＋8＝0上，則｜PA｜＋｜PB｜的最小值等于____.
12
規律方法
1.點關于點的對稱問題：是對稱問題中最基礎最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點關于點的對稱進行求解.熟練掌握和靈活運用中點坐標公式是處理這類問題的關鍵.
2.點關于直線的對稱問題：是點關于點的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：(1)兩點連線與已知直線互相垂直，斜率乘積等于－1；(2)兩點的中點在已知直線上.
3.直線關于點的對稱問題：可轉化為直線上的點關于此點對稱的問題，這里需要注意的是兩對稱直線是平行的，我們往往利用平行直線系去求解.
√
對點練4.(1)與直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
設所求直線上一點的坐標為(x，y)，則其關于點(1，－1)對稱的點的坐標為(2－x，－2－y)，則點(2－x，－2－y)在直線2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化簡得2x＋3y＋8＝0.故選D.
(2)已知點M(3，5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點P和Q，則△MPQ周長最小為______.
典例
5
規律方法
1.圓的方程中有三個參數，即標準方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三個獨立條件建立方程組求解.
2.求圓的方程時，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待定系數法求解.
典例
6
典例
7
規律方法
1.直線與圓問題的類型
(1)求切線方程：可以利用待定系數法結合圖形或代數法求得.
(2)弦長問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數法結合弦長公式求解.
規律方法
2.(1)圓與圓的位置關系主要是通過圓心距與兩半徑長的和或兩半徑長的差的絕對值的大小關系來判斷.
(2)求兩圓的公切線方程時，主要利用圓心到直線的距離等于半徑求解.特別地，當兩圓相切時，與求兩圓公共弦所在直線方程的方法類似，將兩圓的方程相減即得兩圓公切線方程.
(3)靈活地運用圓系方程進行解題可以使問題化繁為簡，提高運算效率.
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考 教 銜 接
真題
1
√

溯源(北師版P23例23)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0.
點評：兩題都是考查點到直線的距離問題，而高考題高于教材，彰顯綜合性，又考查由圓的一般方程求圓心等特征量問題.二者考查本質幾乎相同，體現了真題源于教材而高于教材的命題理念.
真題
2
√


溯源(北師版P39A組T8)已知直線2x－y－1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0相切，求切點坐標.
點評：兩題都是考查直線與圓相切問題，而高考題高于教材，涉及圓的兩條公切線問題和三角恒等變換(主要是二倍角)，體現了知識的內在聯系，導向明確，符合新高考試題命題的趨勢.從高考題可以得到如下啟示：在平時的學習中，要用聯系的觀點看待知識，建立相關的知識聯系，形成知識的多元聯系表示方式，提升認知水平.
真題
3

溯源(北師版P40B組T1)已知圓C：x2＋y2＋2x－2y＋m＝0與x軸交于A，B兩點，若｜AB｜＝4，求實數m的值.
點評：兩題都是考查直線與圓的位置關系問題，涉及數形結合思想和邏輯推理能力.教材習題主要考查弦長問題，而高考題不僅考查弦長，還涉及求面積問題，同時還具有開放性特點，所以無論是考查內容，還是考查的深度、廣度都高于教材，具有很好的導向作用.
(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程_____________________________________________.
真題
4
x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確)
圓x2＋y2＝1的圓心坐標為O(0，0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心坐標為C(3，4)，半徑r2＝4，如圖所示，


溯源(北師版P38例10)已知圓C與x軸和y軸都相切，且與圓O：x2＋y2＝1相外切，求圓C的方程.
點評：兩題都是考查直線與圓的相切問題，教材題目主要考查與x軸、y軸相切，圓與圓相切問題，綜合性較強.而高考題主要考查一條直線與兩圓相切，即公切線方程問題，兩題關聯性較強，高考題具有明顯的開放性，所以高考題更符合新高考命題的發展方向.
(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對
稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是_________.
真題
5

溯源(北師版P39A組T9)經過點A(－1，2)的直線與圓x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直線l的斜率的取值范圍.
點評：兩題都是考查由直線與圓的位置關系求參數問題，具有較強的相關性.又因高考題涉及對稱性的知識，顯然考查的廣度、深度都高于教材題目.直線與圓、圓與圓的位置關系是本章的重點，所以要能夠運用代數法與幾何法解決這兩類問題.
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單 元 檢 測 卷
√
1.直線x＝2 025的傾斜角為
A.0° B.90°
C.180° D.不存在
因為直線x＝2 025與x軸垂直，所以直線x＝2 025的傾斜角為90°.故
選B.
√

√
3.若直線l1：ax＋y－4＝0與直線l2：x－y－2＝0的交點位于第一象限，則實數a的取值范圍是
A.(－1，2) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√

√

√

√

√
√
√
√
√
√
√
√
√
√


12.已知直線l過點(－1，6)且方向向量為(2，－3)，則l在y軸上的截距為
____.

13.由點A(－3，3)發出的光線l經x軸反射，反射光線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，則l的方程為____________________________.
3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
會


②當所求直線過AB的中點時，
則所求直線垂直于x軸.
故所求直線方程為x＝1，即x－1＝0.
綜上所述，所求直線方程為x－y＋1＝0或x－1＝0.
19.(17分)在平面直角坐標系中，已知圓C經過原點和點P(2，0)，并且圓心在x軸上.
(1)求圓C的標準方程；
解：法一：幾何法
由已知得，圓心在直線x＝1和y＝0上，
從而圓心坐標為C(1，0)，半徑為r＝1，
所以圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝1.
即(3－k2)x1x2－(km＋6)(x1＋x2)＋12－m2＝0，
代入(※)得，m2＋5km＋6k2＝0，
即(m＋2k)(m＋3k)＝0，
解得m＝－2k或m＝－3k.
當m＝－2k時，此時直線P1P2的方程為y＝k(x－2)，過定點P(2，0)(舍去).
當m＝－3k時，此時直線P1P2的方程為y＝k(x－3)，過定點(3，0).
故當k1·k2＝3，動弦P1P2過定點(3，0).
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