資源簡介

組合的應用(習題課)
學習目標 1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.　2.理解排列、組合中的多面手、分組分配等問題，培養數學運算、數學建模的核心素養.
任務一　有限制條件的組合問題
(一題多問)某班共有團員14人，其中男團員8人，女團員6人，并且男、女團員各有一名組長，現從中選6人參加學校的團員座談會.(用數字做答)
(1)若至少有1名組長當選，求不同的選法總數；
(2)若至多有3名女團員當選，求不同的選法總數；
(3)若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數.
解：(1)法一：至少有一名組長含有兩種情況：只有一名組長和恰有兩名組長，故共有·＋·＝2 079種.
法二：至少有一名組長可以采用排除法，有－＝2 079種.
(2)至多有3名女團員含有四種情況：有3名女團員，有2名女團員，有1名女團員，
沒有女團員，故共有＋＋＋＝2 534種.
(3)既要有組長當選，又要有女團員當選含兩類情況：
第一類：女組長當選，有種；
第二類：女組長不當選，男組長當選，從剩余7名男團員，5名女團員中選5人，
其中至少選擇1名女團員，有－種.
故共有＋－＝2 058種.
解決有限制條件的組合問題的策略
1.與解決有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法.
2.要正確理解題中的關鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類，合理分步.
3.要謹防重復或遺漏，當直接法中分類較復雜時，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略.
對點練1.小明準備從蘋果、香橙、水蜜桃和圣女果等六種水果中買三種.
(1)若不買蘋果，共有多少種買法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多買一種，共有多少種買法？
(3)若香橙和圣女果中至少買一種，且香橙和蘋果不同時買，共有多少種買法？
解：(1)若不買蘋果，共有＝10種買法.
(2)若香橙和水蜜桃中至多買一種，共有＋＝16種買法.
(3)當香橙和圣女果中只買香橙時，有種買法；
當香橙和圣女果中只買圣女果時，有種買法；
當香橙和圣女果都買時，有種買法.
故買法總數為＋＋＝12種.
任務二　與幾何圖形有關的組合問題
已知平面α∥β，在α內有4個點，在β內有6個點.
(1)過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同平面？
(2)以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？
(3)上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？
解：(1)所作出的平面有三類：①α內1點，β內2點確定的平面，有個；②α內2點，β內1點確定的平面，有·個；③α，β本身.
所以所作的平面最多有·＋·＋2＝98(個).
(2)所作的三棱錐有三類：①α內1點，β內3點確定的三棱錐，有·個；②α內2點，β內2點確定的三棱錐，有·個；③α內3點，β內1點確定的三棱錐，有·個.
所以最多可作出的三棱錐有：·＋·＋·＝194(個).
(3)因為當等底面積、等高的情況下三棱錐的體積相等，且平面α∥β，
所以體積不相同的三棱錐最多有＋＋·＝114(個).
解答與幾何有關的組合問題的策略
1.幾何圖形組合問題主要考查組合的知識和空間想象能力，題目多以立體幾何中的點、線、面的位置關系為背景.這類問題情境新穎，多個知識點交匯在一起，綜合性強.
2.解答幾何圖形組合問題的思考方法與一般的組合問題基本一樣，只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可.
3.計算時可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數.
對點練2.(1)以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數為(　　)
A.70 B.64
C.58 D.24
(2)平面上有8個點，其中有3個點在同一條直線上，除此之外，不再有任意三點共線，由這些點可以確定　　　　　條直線.
答案：(1)C　(2)26
解析：(1)由題意知：要使平行六面體的頂點為頂點構成四面體，則4個頂點不共面，8個頂點任選4個，有種；8個頂點任選4個，共面的有12種，所以以平行六面體的頂點為頂點的四面體有－12＝58個.故選C.
(2)先分類，再分步.當取3個共線的點中的兩個時，可確定1條；當取不共線的5個點中的兩個時，可確定＝10條；當取不共線的5個點中的一個與共線三個點點中的一個時，可確定＝15條；所以一共26條.
任務三　分組、分配問題
角度1　不同元素的分組分配問題
(多選題)下列說法正確的為(　　)
A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法
B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法
C.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，有30種不同的分法
D.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540種不同的分法
答案：ACD
解析：對于A，法一：6本不同的書中，先取2本給甲，再從剩余的4本中取2本給乙，最后2本給丙，共有種不同的分法；法二：6本不同的書平均分成3組，有種方法，再分每人一組，共有＝種方法，故A正確；對于B，6本不同的書中，先取1本作為一組，再從剩余的5本中取2本作為一組，最后3本作為一組，共有種，再將3組分給甲、乙、丙三人，共有種，故B不正確；對于C，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，所以共有＝30種分法；對于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3種情況討論：①一人4本，其他兩人各1本，共有＝90種；②一人1本，一人2本，一人3本，共有＝360種，③每人2本，共有＝90種，故共有90＋360＋90＝540種.故選ACD.
分組、分配問題的規律方法
1.分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
(1)完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
(2)部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后則需除以n?。?br/>(3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.
2.分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以先分組后分配.
角度2　相同元素的分組分配問題
(雙空題)將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為　　　　　　　，
恰有一個空盒子的方法數為　　　.
答案：35　175
解析：先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，故每個盒子都不空的方法數共有＝35種；若恰有一個空盒子，先選出一個空盒子，有種選法，并在8個小球之間的7個空隙中任選3個空隙各插入一塊隔板，有種插法，故由分步乘法計數原理恰有一個空盒子的方法數共有·＝175種.
相同元素分配問題的處理策略
1.隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.
2.將n個相同的元素分給m個不同的對象(每個對象至少有一個元素)(n≥m)，有種方法.可描述為(n－1)個空隙中插入(m－1)塊隔板.
對點練3.(1)已知A，B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有(　　)
A.24種 B.70種
C.48種 D.50種
(2)某校準備參加2025年高中數學聯賽，把10個選手名額分配給高三年級的3個教學班.若每班至少一個名額，則不同的分配方案有　　　　種.(用數字作答)
(3)將5名大學生分配到3個鄉鎮當村官.每個鄉鎮至少一名，則不同分配方案有　　　種.
答案：(1)D　(2)36　(3)150
解析：(1)根據題意，分三種情況：①A公司承包2項工程，剩余4項工程B公司承包，則有＝15種方式，②A公司承包3項工程，剩余3項工程B公司承包，則有＝20種方式，③A公司承包4項工程，剩余2項工程B公司承包，則有＝15種方式，所以承包方式共有15＋20＋15＝50種.故選D.
(2)根據題意，只需把10個名額分成3份，每份至少一個名額即可，分別對應3個班，選用隔板法，即將10個名額排成一列，共9個間隔，即9個空位，從其9個空位中，選取2個，插入隔板就符合題意，即＝36種分配方案.
(3)依題意，要使每個鄉鎮至少一名，可以有“2∶2∶1”或“3∶1∶1”兩種分配方案.按照“2∶2∶1”分配時，有·＝90種方法；按照“3∶1∶1”分配時，有·＝60種方法.由分類加法計數原理，可得不同分配方案有90＋60＝150種.
任務四　排列與組合的綜合問題
從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.(以下問題均用數字作答)
(1)甲、乙、丙三人恰有兩人在內，有多少種排法？
(2)甲、乙、丙三人全在內，且甲在乙、丙之間(可以不相鄰)有多少種排法？
解：(1)由于甲、乙、丙三人中恰有兩人在內，所以可以分3步完成：
第1步，從3人中選中2人，有種選法.
第2步，從其余4人中選出3人，有種選法.
第3步，將選出的5個人全排列，有種排法.
根據分步乘法計數原理，不同的排法有××＝1 440種.
(2)由于三人全在內，且甲在乙、丙之間，所以可以分3步完成：
第1步，從其余4人中選出2人，有種選法.
第2步，將2人安排到5個位置中的2個位置，有種方法.
第3步，剩余3個位置排甲、乙、丙三人，有2種方法.
根據分步乘法計數原理，不同排法有××2＝240種.
[變式探究]
(變條件)甲、乙、丙都在內，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法？
解：由于甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，所以分3步完成：
第1步：從其余4人中選出2人，有種選法.
第2步：將甲、乙捆綁與選出的2人排列，有×種方法.
第3步：將丙插空有3種方法.
根據分步乘法計數原理，不同排法共有×××3＝216種.
解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列.
對點練4.有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數.
(1)有女生但人數必須少于男生；
(2)某男生必須包括在內，但不擔任數學課代表；
(3)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數學課代表.
解：(1)先選后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有＋種，后排有種，共·＝5 400(種).
(2)先選后排，但先安排該男生，有··＝3 360(種).
(3)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有種，再安排該男生有種，其余3人全排有種，共··＝360(種).
任務再現 1.有限制條件的組合問題.2.與幾何圖形有關的組合問題.3.分組、分配問題.4.排列與組合的綜合問題
方法提煉 分類討論、插空法、隔板法、均分法
易錯警示 分類不當；平均分組理解不到位
1.甲乙兩人分別從a，b，c，d，e五項不同科目中隨機選三項學習，則兩人恰好有兩項科目相同的選法有(　　)
A.30種 B.60種
C.45種 D.90種
答案：B
解析：兩人恰好有兩項科目相同的選法為＝60種.故選B.
2.兩位同學分4本不同的書，每人至少分1本，4本書都分完，則不同的分發方式共有(　　)
A.10種 B.14種
C.20種 D.24種
答案：B
解析：①一個人一本，另一個人三本有＝8種；②每人各2本有＝6種，所以一共有14種.故選B.
3.有8個點在同一平面內，其中任意三點不共線，從中任選三點為頂點，可以作　　　　個三角形.
答案：56
解析：因8個點中，任意三點不共線，且選定三點為頂點的三角形只有一個，故這樣的三角形有＝＝56個.
4.現有9件產品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，從中抽取3件產品.
(1)試問共有多少種不同的抽法？
(2)抽出的3件產品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種？
(3)抽出的3件產品中至少有1件二等品的抽法共有多少種？
解：(1)從9件產品中抽取3件產品共有＝84種.
(2)從9件產品中抽取3件產品，其中一等品、二等品、三等品各1件有＝24種.
(3)“抽出的3件產品中至少有1件二等品”的對立事件是“抽取的3件產品沒有一件二等品”，
因此抽出的3件產品中至少有1件二等品共有－＝64種.
課時分層評價35　組合的應用(習題課)
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.從5名學生中選出3名參加社團活動，其中甲必須入選的選法有(　　)
A.6種 B.8種
C.12種 D.16種
答案：A
解析：從5名學生中選出3名參加社團活動，其中甲必須入選的選法有＝＝6種.故選A.
2.從1，3，5，7，9這五個數字中任取3個，從2，4，6，8這四個數中任取2個，組成數字不重復的五位數的個數是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：從1，3，5，7，9中任取3個數有種方法，從2，4，6，8中任取2個數有種方法，再把取出的5個數全排列共有種.故選D.
3.如圖是2024年法國巴黎奧運會和殘奧會吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會的吉祥物有一個“腿”被設計成了假肢，現將4個奧運會吉祥物和2個殘奧會吉祥物排成一排，則不同的排法有(　　)
A.6種 B.12種
C.15種 D.60種
答案：C
解析：從一排的6個位置選2個擺放殘奧會吉祥物即可(剩下的4個位置放奧運會吉祥物)，＝15.故選C.
4.在直角坐標xOy平面中，平行直線x＋y－a＝0(a＝0，1，2，3，4，5)與平行直線2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)組成的圖形中，平行四邊形共有(　　)
A.25個 B.36個
C.100個 D.225個
答案：D
解析：從平行直線x＋y－a＝0中選2條，再從平行直線2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)中選2條，即可確定1個平行四邊形，所以可確定平行四邊形的個數為×＝15×15＝225個.故選D.
5.某人工智能研發公司從5名程序員與3名數據科學家中選擇3人組建一個項目小組，該小組負責開發一個用于圖象識別的深度學習算法.已知選取的3人中至少有1名負責算法的實現與優化的程序員和1名負責數據的準備與分析的數據科學家，且選定后3名成員還需有序安排，則不同的安排方法的種數為(　　)
A.240 B.270
C.300 D.330
答案：B
解析：選取的3人中有1名程序員和2名科學家的組合有種；選取的3人中有2名程序員和1名科學家的組合有種；由題意，不同的安排方法有＝270種.故選B.
6.(多選題)某學生在物理，化學，生物，政治，歷史，地理這六門課程中選擇三門作為選考科目，則下列說法正確的是(　　)
A.若任意選擇三門課程，則總選法為
B.若物理和歷史至少選一門，則總選法為
C.若物理和歷史不能同時選，則總選法為－
D.若物理和歷史至少選一門且不能同時選，則總選法為
答案：ACD
解析：對于A，若任意選擇三門課程，選法總數為種，故A正確；對于B，若物理和歷史選一門，有種方法，其余兩門從剩余的4門中選2門，有種選法，若物理和歷史選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的4門中選1門，有種選法，由分步乘法計數原理知，選法總數為＋種，故B錯誤；對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數為－＝－種，故C正確；對于D，由選項B的分析知，若物理和歷史至少選一門且不能同時選，有種選法，故D正確.故選ACD.
7.某校的4名體育教師對足球、籃球、羽毛球3個運動興趣小組進行指導，要求每項運動至少有一名教師指導，每名教師指導一項運動，則分派方法共有　　　種.
答案：36
解析：先將4名教師分成3組的方法有＝6種，將3組教師分配指導3個運動興趣小組的方法有＝6種，所以總的分派方法共有6×6＝36種.
8.人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有　　　　　種排法.
答案：252
解析：由題意可知，每排5人，身高定序，選出5人即按序排好，第一步，先定前排，從10人中選5人按身高排好，有＝＝252種方法，第二步，再定后排，前排選定后，余下5人在后排且定序排好，只有1種排法.由分步乘法計數原理得，共有252×1＝252種排法.
9.一個詞典里包含10個不同的單詞，其中有4個以字母“A”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇5個單詞組成一個新的子集，其中至少包含兩個“A”開頭，一共有　　　個這樣的子集.(要求用數字作答)
答案：186
解析：從含有4個以字母“A”開頭的10個不同的單詞選擇5個單詞，其中至少包含兩個“A”開頭的選法可分為4類，第一類：所選5個單詞中，有且只有兩個“A”開頭的單詞，符合要求的選法有個；第二類：所選5個單詞中，有且只有三個“A”開頭的單詞，符合要求的選法有個；第三類：所選5個單詞中，有且只有四個“A”開頭的單詞，符合要求的選法有個；由分類加法計數原理可得，符合要求的子集共有＋＋＝186個.
10.(15分)從6名男生，5名女生中選舉3人分別擔任班長，學習委員和體育委員.
(1)若擔任班長，學習委員和體育委員的3人中有女生，則不同的情況有多少種？
(2)若擔任班長和學習委員的學生性別不同，則不同的情況有多少種？
解：(1)由題意知擔任班長，學習委員和體育委員的3人中有女生，
可從11人中入選3人，減去全是選男生的情況，再分配擔任不同的職務，
故不同的情況有－＝870種.
(2)若擔任班長和學習委員的學生性別不同，
則不同的情況有＝540種.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.四面體的頂點和各棱的中點共10個點.在這10個點中取4個不共面的點，則不同的取法種數為(　　)
A.141 B.144
C.150 D.155
答案：A
解析：從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類.第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱所對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形(其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱)，它的4頂點共面，有3種.以上三類情況不合要求應減掉，所以不同的取法共有－4－6－3＝141種.故選A.
12.(多選題)現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加暑期志愿者服務活動，有翻譯、導購員、收銀員、倉庫管理員四項工作可供選擇，每人至多從事一項工作，下列說法正確的是(　　)
A.若5人每人可任選一項工作，則有45種不同的選法
B.若安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，其余3人中任選2人分別從事導購、倉庫管理工作，則有12種不同的方案
C.若倉庫管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有60種不同的方案
D.若每項工作至少安排1人，每人均需參加一項工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有126種不同的方案
答案：ACD
解析：對于A，若5人每人可任選一項工作，每人有4種選法，共有45種，故A正確；對于B，若安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，其余3人中任選2人分別從事導購、倉庫管理工作，則共有＝6種，故B錯誤；對于C，若倉庫管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有＝60種，故C正確；對于D，若每項工作至少安排1人，每人均需參加一項工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，分兩種情況：從余下三名同學中選一人從事翻譯工作，此時有··＝108種；從余下三名同學中選兩人從事翻譯工作，此時有·＝18種；所以共有108＋18＝126種，故D正確.故選ACD.
13.若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是　　　.
答案：180
解析：根據題意，可將四位數分成兩類：第一類，數字0被取到，則可從2，4中任選一個，再從1，3，5中任選兩個，接著從除0外的另外三個數中取一個排在首位，剩下的在三個數位上全排，此時共有＝108個四位數；第二類，數字0沒被取到，故2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個，再與2，4共4個數字在四個數位上全排，此時共有＝72個四位數.根據分類加法計數原理，不同的四位數的個數是108＋72＝180.
14.(15分)從A，B，C等7人中選5人排成一排(寫出必要的數學式，結果用數字作答).
(1)若A必須在內，有多少種排法？
(2)若A，B，C三人不全在內，有多少種排法？
(3)若A，B，C都在內，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，有多少種排法？
解：(1)根據題意，若A必須在內，先在其余6人中選出4人，再與A全排列即可，一共有＝1 800種排法.
(2)根據題意，在7人中選出5人排成一排，有＝2 520種排法，
若A，B，C都在內，有＝720種排法，
則A，B，C三人不全在內的排法有2 520－720＝1 800種.
(3)根據題意，先在其他4人中選出2人，有＝6種選法，
將A，B看成一個整體，與選出2人全排列，有2＝12種排法，
排好后，有2個空位可用，在其中選出1個，安排C，有2種情況，
則有6×12×2＝144種排法.
(15、16，每小題5分，共10分)
15.(新定義)定義：如果集合U存在一組兩兩不交(兩個集合交集為空集時，稱為不交)的非空真子集A1，A2，…，Ak，且A1∪A2∪…∪Ak＝U，那么稱無序子集組A1，A2，…，Ak構成集合U的一個k劃分.已知集合I＝{x∈N｜≤0}，則集合I的所有劃分的個數為　　　　　.
答案：51
解析：由題意得，I＝＝，共有5個元素，則2劃分有＋＝15個，3劃分有＝25個，4劃分有＝10個，5劃分有1個，所以所有劃分的個數為51個.
16.(雙空題)為研究方程x＋y＋z＝8正整數解的不同組數，我們可以用“擋板法”：取8個相同的小球排成一排，這8個小球間有7個“空擋”，在這7個“空擋”中選擇2個“空擋”，在每個“空擋”插入1塊擋板，2塊擋板將這8個小球分成“三段”，每段小球的個數分別對應x，y，z的一個正整數解，由此可以得出此方程正整數解的不同組數為.據此原理，則方程w＋x＋y＋z＝10的正整數解的不同組數為　　　(用數字作答)；該方程自然數解的不同組數為　　　　(用數字作答).
答案：84　286
解析：由題意，則方程w＋x＋y＋z＝10的正整數解的不同組數為＝84，若w，x，y，z中沒有0，則有＝84種，若w，x，y，z中有1個為0，則有＝144種，若w，x，y，z中有2個為0，則有＝54種，若w，x，y，z中有3個為0，則有＝4種，該方程自然數解的不同組數為84＋144＋54＋4＝286.
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組合的應用(習題課)
　
第五章　§3　組合問題
學習目標
1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.
2.理解排列、組合中的多面手、分組分配等問題，培養數學 運算、數學建模的核心素養.
任務一　有限制條件的組合問題
典例
1
規律方法
解決有限制條件的組合問題的策略
1.與解決有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法.
2.要正確理解題中的關鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類，合理分步.
3.要謹防重復或遺漏，當直接法中分類較復雜時，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略.
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任務二　與幾何圖形有關的組合問題
典例
2
規律方法
解答與幾何有關的組合問題的策略
1.幾何圖形組合問題主要考查組合的知識和空間想象能力，題目多以立體幾何中的點、線、面的位置關系為背景.這類問題情境新穎，多個知識點交匯在一起，綜合性強.
2.解答幾何圖形組合問題的思考方法與一般的組合問題基本一樣，只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可.
3.計算時可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數.
√
對點練2.(1)以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數為
A.70 B.64
C.58 D.24
(2)平面上有8個點，其中有3個點在同一條直線上，除此之外，不再有任意三點共線，由這些點可以確定　　條直線.
26
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任務三　分組、分配問題
典例
3
√
√
√
規律方法
分組、分配問題的規律方法
1.分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
(1)完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n??；
(2)部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后則需除以n！；
(3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.
2.分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以先分組后分配.
角度2　相同元素的分組分配問題
(雙空題)將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為　　，恰有一個空盒子的方法數為　　　.
35
175
典例
4
規律方法
對點練3.(1)已知A，B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有
A.24種 B.70種
C.48種 D.50種
√
(2)某校準備參加2025年高中數學聯賽，把10個選手名額分配給高三年級的3個教學班.若每班至少一個名額，則不同的分配方案有　　　種.(用數字作答)
36
(3)將5名大學生分配到3個鄉鎮當村官.每個鄉鎮至少一名，則不同分配方案有　　　種.
150
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任務四　排列與組合的綜合問題
典例
5
規律方法
解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列.
課堂小結
任務再現 1.有限制條件的組合問題.2.與幾何圖形有關的組合問題.3.分組、分配問題.4.排列與組合的綜合問題
方法提煉 分類討論、插空法、隔板法、均分法
易錯警示 分類不當；平均分組理解不到位
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隨堂評價
√
1.甲乙兩人分別從a，b，c，d，e五項不同科目中隨機選三項學習，則兩人恰好有兩項科目相同的選法有
A.30種 B.60種
C.45種 D.90種
√
2.兩位同學分4本不同的書，每人至少分1本，4本書都分完，則不同的分發方式共有
A.10種 B.14種
C.20種 D.24種
3.有8個點在同一平面內，其中任意三點不共線，從中任選三點為頂點，可以作　　個三角形.
56
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課時分層評價
√
1.從5名學生中選出3名參加社團活動，其中甲必須入選的選法有
A.6種 B.8種
C.12種 D.16種
√
√
3.如圖是2024年法國巴黎奧運會和殘奧會吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會的吉祥物有一個“腿”被設計成了假肢，現將4個奧運會吉祥物和2個殘奧會吉祥物排成一排，則不同的排法有
A.6種
B.12種
C.15種
D.60種
√
4.在直角坐標xOy平面中，平行直線x＋y－a＝0(a＝0，1，2，3，4，5)與平行直線2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)組成的圖形中，平行四邊形共有
A.25個 B.36個
C.100個 D.225個
√
5.某人工智能研發公司從5名程序員與3名數據科學家中選擇3人組建一個項目小組，該小組負責開發一個用于圖象識別的深度學習算法.已知選取的3人中至少有1名負責算法的實現與優化的程序員和1名負責數據的準備與分析的數據科學家，且選定后3名成員還需有序安排，則不同的安排方法的種數為
A.240 B.270
C.300 D.330
√
√
√
7.某校的4名體育教師對足球、籃球、羽毛球3個運動興趣小組進行指導，要求每項運動至少有一名教師指導，每名教師指導一項運動，則分派方法共有　　種.
36
8.人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有　　　種排法.
252
9.一個詞典里包含10個不同的單詞，其中有4個以字母“A”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇5個單詞組成一個新的子集，其中至少包含兩個“A”開頭，一共有　　　個這樣的子集.(要求用數字作答)
186
√
11.四面體的頂點和各棱的中點共10個點.在這10個點中取4個不共面的點，則不同的取法種數為
A.141 B.144
C.150 D.155
√
√
12.(多選題)現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加暑期志愿者服務活動，有翻譯、導購員、收銀員、倉庫管理員四項工作可供選擇，每人至多從事一項工作，下列說法正確的是
A.若5人每人可任選一項工作，則有45種不同的選法
B.若安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，其余3人中任選2人分別從事導購、倉庫管理工作，則有12種不同的方案
C.若倉庫管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有60種不同的
方案
D.若每項工作至少安排1人，每人均需參加一項工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有126種不同的方案
√

13.若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是　　　.
180
51

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