資源簡介

第2課時　直線方程的兩點式
學習目標 1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的兩點式、截距式，培養數學抽象的核心素養.2.掌握直線方程的兩點式、截距式的特點及適用范圍.　3.能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線方程的兩點式
問題1.我們知道已知兩點可以確定一條直線，在平面直角坐標系中，給定一個點P0(x0，y0)和斜率k，可得出直線方程.若給定直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，如圖，你能否得出直線的方程呢？
提示：由點斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，即＝(x1≠x2，y1≠y2).
直線方程的兩點式
名稱 兩點式方程
已知條件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意圖
方程形式
適用范圍 不表示垂直于坐標軸的直線
微提醒(1)當經過兩點(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y2)時，不能用直線方程的兩點式表示.(2)直線方程的兩點式與這兩個點的順序無關.(3)方程中等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.
(鏈教材P12練習T2)(1)已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在直線的方程；
(2)已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求這條直線的方程.
解：(1)A，B兩點橫坐標相同，直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2.
由直線方程的兩點式，可得直線AC的方程為＝，即x－y－3＝0.
同理可得直線BC的方程為＝，即x＋2y－6＝0.
所以三邊AB，AC，BC所在的直線方程分別為x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
(2)由直線經過點A(1，0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.
①當直線斜率不存在，即m＝1時，直線方程為x＝1；
②當直線斜率存在，即m≠1時，利用兩點式，可得直線方程為＝，即x－(m－1)y－1＝0.
綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；
當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
利用兩點式求直線的方程的步驟 第一步：首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸； 第二步：若不滿足，不能用兩點式求方程，可直接結合圖形寫方程；若滿足，可用兩點式寫出方程. 注意：若點的坐標中含有參數，需注意對參數的討論.
對點練1.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC邊所在的直線方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
解：(1)BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，
由兩點式，得＝，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0.
(2)設BC的中點為M(a，b)，
則a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC邊的中線過點A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
任務二　直線方程的截距式
問題2.若給定直線上兩點A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
提示：＋＝1.
直線方程的截距式
名稱 截距式方程
已知條件 在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b(a≠0，b≠0)
示意圖
方程形式 ＝1
適用范圍 不表示垂直于坐標軸的直線及過原點的直線
微提醒(1)如果已知直線在兩坐標軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖.(3)與坐標軸平行和過原點的直線都不能用截距式表示.(4)過原點的直線的橫、縱截距都為零.
求過點(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程.
解：①當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時，可設直線l的方程為＋＝1.又l過點(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直線l的方程為＋＝1，即x－y＋1＝0.
②當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且為0時，即直線l過原點時，設直線l的方程為y＝kx，因為l過點(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直線l的方程為y＝x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[變式探究]
(變條件)若將本例中“截距互為相反數”改為“截距相等”，其他條件不變，求直線l的方程.
解：①當截距不為0時，
設直線l的方程為＋＝1，
又l過點(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7，
所以直線l的方程為x＋y－7＝0.
②當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx，
又l過點(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，
所以直線l的方程為y＝x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
應用截距式方程的注意事項 1.如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可. 2.選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直. 3.要注意截距式方程的逆向應用.
對點練2.(1)在x軸、y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有(　　)
A.2條 B.3條
C.4條 D.無數多條
答案：(1)A(2)B
解析：(1)由題意知a＝－3，b＝4代入＋＝1即可.故選A.
(2)當截距都為零時滿足題意要求，直線方程為y＝－x，當截距不為零時，設直線方程為＋＝1，所以＋＝1或＋＝1，所以滿足條件的直線共有3條.故選B.
任務三　截距式方程的應用
直線過點P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，求分別滿足下列條件的直線方程.
(1)△AOB的周長為12；
(2)△AOB的面積為6.
解：(1)設直線方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
由題意可知，a＋b＋ ＝12.①
又因為直線過點P，
所以＋＝1，②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得
所以所求直線的方程為＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)設直線方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
由題意可知
所以所求直線的方程為＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
[變式探究]
(變條件)是否存在這樣的直線同時滿足下列條件：(1)△AOB的周長為12；(2)△AOB的面積為6.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
解：由本例知，
滿足條件：△AOB的周長為12的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
滿足條件：△AOB的面積為6的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
所以同時滿足(1)、(2)兩個條件的直線方程為3x＋4y－12＝0.
直線方程與三角形的面積、周長之間的關系 解決直線與坐標軸圍成的三角形面積或周長問題時，一般選擇直線方程的截距式，若設直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b，則直線與坐標軸所圍成的三角形的 面積為S＝｜a｜｜b｜，周長c＝｜a｜＋｜b｜＋ .
對點練3.已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸所截得的線段長為 ，求直線l的方程.
解：設所求直線為＋＝1，則與x軸、y軸的交點分別為(a，0)，(0，b)，
由勾股定理知a2＋b2＝37.
又k＝－＝6，
所以
因此所求直線l的方程是x－＝1或－x＋＝1，
即6x－y－6＝0或6x－y＋6＝0.
任務 再現 1.直線的兩點式方程.2.直線的截距式方程.3.截距式方程的應用
方法 提煉 分類討論思想、數形結合思想
易錯 警示 容易疏忽兩點式和截距式方程的使用條件；利用截距式求直線方程時易忽略過原點的情況
1.過點(1，2)，(5，3)的直線方程是(　　 )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案：B
解析：因為所求直線過點(1，2)，(5，3)，所以所求直線方程是＝.故選B.
2.過兩點A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D
解析：由于直線過A(0，3)，B(－2，0)兩點，所以直線在x軸、y軸上的截距分別為－2，3，由截距式可知，方程為＋＝1.故選D.
3.已知A(2，－1)，B(6，1)，則在y軸上的截距是－3，且經過線段AB中點的直線方程為　　　　　　.
答案：3x－4y－12＝0
解析：因為A(2，－1)，B(6，1)，則線段AB的中點為E(4，0)，又因為所求直線在y軸上的截距為－3，故所求直線方程為－＝1，即3x－4y－12＝0.
4.已知A(4，0)，B(0，5)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是　　　　.
答案：5
解析：直線AB的方程為＋＝1，顯然xy取得最大值時，x，y＞0，又因為＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，當且僅當x＝2，y＝時取等號.
課時分層評價3　直線方程的兩點式
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.直線2x－y＋2＝0在x軸上的截距是(　　)
A.－1 B.1
C.－2 D.2
答案：A
解析：令y＝0，則2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直線2x－y＋2＝0在x軸上的截距是－1.故選A.
2.已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在的直線方程為(　　)
A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0
C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0
答案：B
解析：由中點坐標公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由兩點式可得直線MN的方程為＝，即2x＋y－8＝0.故選B.
3.若直線l過點(－1，－1)和(2，5)，且點(91，b)在直線l上，則b的值為(　　)
A.180 B.181
C.182 D.183
答案：D
解析：因為直線l過點(－1，－1)和(2，5)，由直線的兩點式方程，得直線l的方程為＝，即y＝2x＋1.由于點(91，b)在直線l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故選D.
4.兩直線－＝1與－＝1的圖象可能是圖中的哪一個(　　)
答案：B
解析：直線－＝1的斜率為k1＝，直線－＝1的斜率為k2＝，所以直線－＝1與直線－＝1斜率的符號相同，故只有B選項符合題意.故選B.
5.若直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)經過點(1，2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，＝(　　)
A. B.
C. D.2　　
答案：B
解析：因為直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)經過點(1，2)，所以＋＝1，則a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，當且僅當＝，即b＝a時，等號成立，所以直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值為3＋2，此時b＝a，則＝＝.故選B.
6.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.＝k不能表示過點M(x1，y1)且斜率為k的直線方程
B.在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為＋＝1
C.直線y＝kx＋b與y軸的交點到原點的距離為b
D.過兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線方程為(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0
答案：AD
解析：對于A，＝k表示過點M(x1，y1)且斜率為k的直線去掉點(x1，y1)，故A正確；對于B，在x軸，y軸上的截距分別為a，b，只有ab≠0時，直線方程為＋＝1，故B錯誤；對于C，直線y＝kx＋b與y軸的交點坐標是(0，b)，交點到原點的距離為，故C錯誤；對于D，過兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線當x1≠x2時，直線方程為y－y2＝(x－x2)，變形為(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，當x1＝x2時，直線方程為x＝x2，也適合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正確.故選AD.
7.已知直線l的兩點式方程為＝，則l的斜率為　　　　.
答案：－
解析：易得直線＝過(－5，0)，(3，－3)，故l的斜率為＝－.
8.已知直線l過點(－3，4)且方向向量為(1，－2)，則l在x軸上的截距為　　　　.
答案：－1
解析：因為直線l的方向向量為(1，－2)，所以直線斜率k＝－2，又直線l過點(－3，4)，所以直線方程為y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x軸上的截距為－1.
9.(易錯題)過點P(1，2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為　　　　　　.
答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析：當直線過原點即在坐標軸上的截距均為零時，得直線方程為2x－y＝0；當在坐標軸上的截距不為零時，可設直線方程為－＝1，將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直線方程為x－y＋1＝0.所以所求直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.
10.(13分)直線l過點P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當｜OA｜＝｜OB｜時，求直線l的方程；
(2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直線l的方程.
解：(1)設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，且A(a，0)，B(0，b)，
由｜OA｜＝｜OB｜，得a＝b，由直線l過點P( ，2)，得＋＝1，解得
所以直線l的方程為3x＋3y－10＝0.
(2)設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，
由題意知，a＋b＝7　①，
因為直線l過點P，所以＋＝1　②，
聯立①②，解得
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(多選題)已知直線＋＝1經過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是(　　)
A.＞ B.＞
C.(b－a)(b＋a)＞0 D.＞
答案：AB
解析：因為直線＋＝1經過第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0，由直線的斜率小于1，可得0＜－＜1，結合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由絕對值的性質，可得＞，故A正確；由冪函數y＝的單調性知， ＞，故B正確；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C錯誤；由＜0，＞0，得＜，故D錯誤.故選AB.
12.若直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為　　　　　　　　.
答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0
解析：因為直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0.設直線方程為＋＝1，則｜a｜＝｜b｜.因為｜a｜·｜b｜＝｜a｜2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6時，b＝±6，當a＝－6時，b＝±6，所以直線l的方程為x±y＋6＝0或x±y－6＝0.
13.(雙空題)若直線l過點(4，1)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB面積的最小值為　　　　，當△AOB的面積取最小值時直線l的方程是　　　　　　　　.
答案：8　x＋4y－8＝0
解析：設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，因為直線l過點(4，1)，所以＋＝1.又＋≥2，所以1≥2，即ab≥16，當且僅當＝，即a＝8，b＝2時取等號，所以(S△AOB)min＝×16＝8，此時直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0.
14.(15分)一河流同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃在河邊共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？
解：如圖所示，以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立平面直角坐標系，
則點A(0，300)，B(x，700)，設B點在y軸上的射影為H，則x＝｜BH｜＝＝300，
故點B(300，700)，
設點A關于x軸的對稱點為A'(0，－300)，
則直線A'B的斜率k＝，直線A'B的方程為y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，則點P(90，0)，
故水電站建在河邊P(90，0)處電線用料最省.
15.(5分)(新情境)數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，則△ABC的歐拉線方程為(　　)
A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0
答案：C
解析：因為△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心為G，因為kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心為BC的中點D(，0)，因為三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，所以△ABC的歐拉線為直線GD，所以△ABC的歐拉線方程為＝，即4x＋3y－6＝0.故選C.
16.(17分)如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
解：以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，在線段EF上取一點P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，則矩形PQCR即為要建的矩形草坪，設矩形PQCR的面積是S，則S＝｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n).
又因為P(m，n)在直線EF：＋＝1上，
所以＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
當m＝5時，S有最大值，此時＝＝5，
即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時，可使草坪面積最大.
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第2課時　直線方程的兩點式
　
第一章　§1　直線與直線的方程
1.3　直線的方程
學習目標
1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的兩點式、截距式，培養數學抽象的核心素養.
2.掌握直線方程的兩點式、截距式的特點及適用范圍.　
3.能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線方程的兩點式
問題導思
新知構建
直線方程的兩點式
名稱 兩點式方程
已知條件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意圖

方程形式 _______________________________
適用范圍 不表示 坐標軸的直線
垂直于

微提醒
(1)當經過兩點(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y2)時，不能用直線方程的兩點式表示.(2)直線方程的兩點式與這兩個點的順序無關.(3)方程中等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.
(鏈教材P12練習T2)(1)已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在直線的方程；
解：A，B兩點橫坐標相同，直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2.
所以三邊AB，AC，BC所在的直線方程分別為x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
典例
1
解：由直線經過點A(1，0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.
(2)已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求這條直線的方程.
①當直線斜率不存在，即m＝1時，直線方程為x＝1；
綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；
當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
規律方法
利用兩點式求直線的方程的步驟
第一步：首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸；
第二步：若不滿足，不能用兩點式求方程，可直接結合圖形寫方程；若滿足，可用兩點式寫出方程.
注意：若點的坐標中含有參數，需注意對參數的討論.
對點練1.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC邊所在的直線方程；
解： BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0.
返回
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
解：設BC的中點為M(a，b)，
又BC邊的中線過點A(－3，2)，
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
任務二　直線方程的截距式
問題導思
新知構建
直線方程的截距式
名稱 截距式方程
已知條件 在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b(a≠0，b≠0)
示意圖
方程形式 ________________
適用范圍 不表示 坐標軸的直線及過 的直線
垂直于
原點
微提醒
(1)如果已知直線在兩坐標軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖.(3)與坐標軸平行和過原點的直線都不能用截距式表示.(4)過原點的直線的橫、縱截距都為零.
求過點(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程.
綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
典例
2
變式探究
(變條件)若將本例中“截距互為相反數”改為“截距相等”，其他條件不變，求直線l的方程.
解：①當截距不為0時，
所以直線l的方程為x＋y－7＝0.
②當截距為0時，設直線l的方程為y＝kx，
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
規律方法
應用截距式方程的注意事項
1.如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數法確定其系數即可.
2.選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直.
3.要注意截距式方程的逆向應用.
√
(2)過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有
A.2條 B.3條
C.4條 D.無數多條
√
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任務三　截距式方程的應用
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
典例
3
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)△AOB的面積為6.
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
變式探究
(變條件)是否存在這樣的直線同時滿足下列條件：(1)△AOB的周長為12；(2)△AOB的面積為6.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
解：由本例知，
滿足條件：△AOB的周長為12的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
滿足條件：△AOB的面積為6的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
所以同時滿足(1)、(2)兩個條件的直線方程為3x＋4y－12＝0.
規律方法
由勾股定理知a2＋b2＝37.
即6x－y－6＝0或6x－y＋6＝0.
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課堂小結
任務再現 1.直線的兩點式方程.2.直線的截距式方程.3.截距式方程的應用
方法提煉 分類討論思想、數形結合思想
易錯警示 容易疏忽兩點式和截距式方程的使用條件；利用截距式求直線方程時易忽略過原點的情況
隨堂評價
√
√
3.已知A(2，－1)，B(6，1)，則在y軸上的截距是－3，且經過線段AB中點的直線方程為　 　　　　　.
3x－4y－12＝0
返回
4.已知A(4，0)，B(0，5)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是　.
5
課時分層評價
令y＝0，則2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直線2x－y＋2＝0在x軸上的截距是－1.故選A.
√
1.直線2x－y＋2＝0在x軸上的截距是
A.－1 B.1
C.－2 D.2
√
2.已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在的直線方程為
A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0
C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0
√
3.若直線l過點(－1，－1)和(2，5)，且點(91，b)在直線l上，則b的值為
A.180 B.181
C.182 D.183
√
√

√
√
8.已知直線l過點(－3，4)且方向向量為(1，－2)，則l在x軸上的截距為　　.
因為直線l的方向向量為(1，－2)，所以直線斜率k＝－2，又直線l過點(－3，4)，所以直線方程為y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x軸上的截距為－1.
－1
9.(易錯題)過點P(1，2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為　 　　　　　.
2x－y＝0或x－y＋1＝0
所以直線l的方程為3x＋3y－10＝0.
(2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直線l的方程.
由題意知，a＋b＝7　①，
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0.
√
√

12.若直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為　 　　　　　　　.
x±y＋6＝0或x±y－6＝0

13.(雙空題)若直線l過點(4，1)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB面積的最小值　，當△AOB的面積取最小值時直線l的方程是　　　　　　　.
8
x＋4y－8＝0

14.(15分)一河流同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃在河邊共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？
解：如圖所示，以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，
建立平面直角坐標系，
故點B(300，700)，
設點A關于x軸的對稱點為A'(0，－300)，
令y＝0，得x＝90，則點P(90，0)，
故水電站建在河邊P(90，0)處電線用料最省.
15.(5分)(新情境)數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，則△ABC的歐拉線方程為
A.4x－3y－6＝0
B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0
D.3x＋4y－3＝0
√

16.(17分)如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
解：以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸建立平面
直角坐標系，如圖所示，在線段EF上取一點P(m，n)，
作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，則矩形PQCR即為要建
的矩形草坪，設矩形PQCR的面積是S，則S＝
｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n).
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即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時，可使草坪面積最大.

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